土力學(xué)第3章- 土的本構(gòu)關(guān)系

1、1. 1. 八面體應(yīng)力的基本知識(shí)八面體應(yīng)力的基本知識(shí)o邊長(zhǎng)為2的立方體，主應(yīng)力1、2、3分別與x、y、z軸平行，a,b,c,d,e,f點(diǎn)為六個(gè)面的中心點(diǎn)。1.八面體及八面體應(yīng)力的意義把立方體六個(gè)面的中心點(diǎn)連接起來(lái)，就成為八面體單元。o八面體應(yīng)力和八面體應(yīng)變：指八面體任意面上的法向應(yīng)力0及剪應(yīng)力0；相應(yīng)的法向應(yīng)變0及剪應(yīng)變0。他們分別是三個(gè)主應(yīng)力1、2、3和三個(gè)主應(yīng)變的函數(shù)，能夠綜合反映空間應(yīng)力狀態(tài)。1.八面體及八面體應(yīng)力的意義2.八面體應(yīng)力與應(yīng)變的計(jì)算公式可導(dǎo)出：)(31)(313210zyx222222213232231063131xyzxyzxzzyyxzyx313132102132322

2、21032 （21）八面體法向應(yīng)力八面體剪應(yīng)力八面體法向應(yīng)變八面體剪應(yīng)變八面體彈性模量：32111E31221E21331E（22）32132121E032132121312131EE0021E0021E（23）或（24）210EM0321213Ev03 1 2VE八面體彈性模量（25）（26）（27）213EKKM30)1 (200EG體積彈性模量（28）（29）（210）剪切模量3.強(qiáng)度理論 達(dá)到強(qiáng)度條件時(shí)的應(yīng)力軌跡線稱為強(qiáng)度包線。主要強(qiáng)度理論有三種。3.1 最大八面體剪應(yīng)力強(qiáng)度理論，也叫V.Mises條件當(dāng)八面體剪應(yīng)力0達(dá)到極限值c0時(shí)，就是破壞條件。00c202132322219c或或

3、（211）( )213232231031強(qiáng)度包絡(luò)面為一垂直于等傾斜面的圓柱面。3.強(qiáng)度理論如土的強(qiáng)度與八面體法向應(yīng)力有關(guān)（擴(kuò)展了的V.Mises條件）tg00000tgc 強(qiáng)度包絡(luò)面為通過(guò)原點(diǎn)和不通過(guò)原點(diǎn)的圓錐面。（212）3.強(qiáng)度理論3.2 最大剪應(yīng)力強(qiáng)度理論，也叫Tresca條件 當(dāng)最大剪應(yīng)力max達(dá)到極限值ct時(shí)就是破壞條件，與中主應(yīng)力無(wú)關(guān)。tc231max321 （213）tc232tc213tc231或（214）如果有一個(gè)式子為等號(hào)時(shí)，則材料進(jìn)入塑性狀態(tài)?；颍?15）02.2.2221322322221tttccc強(qiáng)度包絡(luò)面是一個(gè)垂直于八面體平面的正六角柱體面，而屈服面在平面上的軌跡

4、是一個(gè)正六邊形。3.2 最大剪應(yīng)力強(qiáng)度理論，也叫Tresca條件Tresca擴(kuò)展情況：ttg0max0maxtttgc（216）相應(yīng)的強(qiáng)度包絡(luò)面為通過(guò)原點(diǎn)和不通過(guò)原點(diǎn)的正六角形錐面。3.3 散體極限平衡理論，也叫MohrCoulomb條件破壞時(shí)的最大與最小主應(yīng)力之間的關(guān)系有minmaxPK31PK（）（217）KP按朗肯理論的被動(dòng)土壓力系數(shù)，2452tgKPsin1sin131sin2231310sinsinsin221321322322322221221（218） 強(qiáng)度包絡(luò)面為通過(guò)原點(diǎn)的不等頂角的六邊形錐面。3.3 散體極限平衡理論，也叫MohrCoulomb條件擴(kuò)展了的MohrCoulom

5、b條件 cKKPP2minmaxcos2sin1sin131c或 強(qiáng)度包絡(luò)面為不通過(guò)原點(diǎn)的不等頂角的六邊形錐面。 三種破壞條件的比較 3.強(qiáng)度理論2. 2. 土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系2土的三軸壓縮試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線基本形態(tài) o直剪儀o單向固結(jié)儀o常規(guī)三軸壓縮（23）試驗(yàn)儀 o真三軸壓縮（123）試驗(yàn)儀o平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)儀o空心圓柱試驗(yàn)儀 常用土工試驗(yàn)儀 非常規(guī)試驗(yàn)儀 常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)儀可進(jìn)行試驗(yàn) （1）三向等壓固結(jié)試驗(yàn)P123的排水壓縮試驗(yàn)e(e(v v) )p p曲線曲線 e elnplnp曲線曲線 （2）23不變，增加1直至破壞，可得一組應(yīng)力應(yīng)變曲

6、線超固結(jié)粘土和密實(shí)砂：加工軟化型曲線超固結(jié)土的qa曲線正常固結(jié)粘土和松砂、中密砂：加工硬化型曲線 正常固結(jié)土的q曲線雙曲線型：aabaq3.3.非線形彈性模型非線形彈性模型（1）E模型（DuncanChang）模型采用雙曲線公式代表正常固結(jié)粘性土試驗(yàn)曲線：aaba31（1） a、b試驗(yàn)常數(shù) （1）式改為： aaba31（2） 應(yīng)力應(yīng)變雙曲線函數(shù) 雙曲線函數(shù)坐標(biāo)變換公式（1）還可以改成：baa131（3） aaba313.3.非線形彈性模型非線形彈性模型通過(guò)求a、b得到彈性模量E.求求b:b:當(dāng)軸向應(yīng)變a時(shí)，偏應(yīng)力趨向一極限值（1 1-3 3）ultultbult1)(31（4） 若土樣破壞時(shí)的

7、偏應(yīng)力（即強(qiáng)度）為（13）f，令Rf等于破壞時(shí)的偏應(yīng)力與極限值之比，稱為破壞比：ultffR3131（5） （4）式代入（5）式得（消去偏應(yīng)力極限值）：ffRb31（6） baa131求求a:a:將公式（1）式 求導(dǎo)，切線模量Et為：231aatbaaE（7） 令a0，則原點(diǎn)的切線模量，即初始切線模量為：aEi1（8） 將（6）式 、（8）式 代入（1）、（7）式（消去a、b)，得到fafiaRE31311（9） 23111fafiitREEE（10） aaba31ffRb31Ei1a （9）式 代入（10） 式：iftESRE21（11） 其中fS3131稱為應(yīng)力水平。fafiaRE3131

8、1根據(jù)摩爾庫(kù)侖破壞準(zhǔn)則：sincos2121sin33131cffsin1sin2cos2331cf（12） 23111fafiitREEE（消去軸向應(yīng)變 ）a代入（11）式iftEcRE2331sin2cos2sin11（13） 試驗(yàn)常數(shù)：Rf、c、EinaaiPkPE3（14） Lg Eilg 3為一直線，截距k，斜率nnaaftPkPcRE32331sin2cos2sin11（15） 彈性模量E與試驗(yàn)常數(shù)：Rf、c、k、n、（Rf對(duì)不同的3含有不同的值，取平均值）有關(guān). iftESRE21消去S后t t推導(dǎo)推導(dǎo) 1與3的關(guān)系為雙曲線：331df （16） f、d為兩個(gè)待定常數(shù)。df113

9、121131dft（17） 過(guò)原點(diǎn)的初始切線泊桑比為fidf313初始切線泊桑比與3有如下關(guān)系aipFG3lg（18） G、F試驗(yàn)常數(shù)。2131lgdpFGat(19) 利用（1）式最后可得到：231lgApFGat（20） 式中 2331331sin2cos2sin11cRpkpdAfnaaif代入（17）式21131dftDuncanChang模型其有8個(gè)參數(shù)：c、Rf、k、n、d、F、G,試驗(yàn)為3組常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn).DuncanChang模型試驗(yàn)常數(shù)上海粉質(zhì)粘土cRfkndFG039.00.681250.528.48-0.127-0.16（2 2）K KG G模型模型用體積模量k與剪切模

10、量G代替E、。八面體應(yīng)力的基本公式：213232221032121323222103210323131v應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為：)1 (2)21 (3000EGEKGKv4 4彈塑性模型彈塑性模型（1）塑性增量理論土的應(yīng)變分為彈性應(yīng)變e eijij和塑性應(yīng)變p pijij，pijeijij塑性增量理論包括三個(gè)部分 屈服面理論 流動(dòng)規(guī)則理論 加工硬化規(guī)律理論即屈服面理論o在屈服面范圍內(nèi)，土體只發(fā)生彈性應(yīng)變，超越屈服面則同時(shí)發(fā)生彈性和塑性應(yīng)變。彈性變形與塑性變形o對(duì)于理想彈塑性材料，當(dāng)應(yīng)力的組合，使材料達(dá)到屈服狀態(tài)時(shí)，就可以認(rèn)為是破壞了，屈服面與破壞面重合，同是一個(gè)固定的面。o對(duì)于加工硬化材料，屈服應(yīng)力

11、是隨著荷載的提高與變形的增大而提高的。屈服面不同于破壞面，它不是一個(gè)固定的面,圖中由A點(diǎn)提高到B點(diǎn)。屈服面的形式：無(wú)帽模型、帽子模型。無(wú)帽模型 帽子模型 帶帽子的屈服線0,iHqpf 流動(dòng)規(guī)則o流動(dòng)規(guī)則也稱正交定律，是確定塑性應(yīng)變?cè)隽扛鞣至块g的相互關(guān)系，也即塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虻囊粭l規(guī)定。o流動(dòng)規(guī)則規(guī)定，塑性應(yīng)變?cè)隽颗c該點(diǎn)處的應(yīng)力存在正交關(guān)系：ijpijgd采用p、q以代ij，正交關(guān)系可寫成：qgdpgdppvd確定塑性應(yīng)變?cè)隽看笮〉暮瘮?shù)。塑性應(yīng)變?cè)隽扛鞣至颗c塑性勢(shì)面法線的方向余弦成正比塑性勢(shì)線0,Hqpgo相適應(yīng)的流動(dòng)規(guī)則：塑性勢(shì)線與屈服軌跡重合，即gf。o不相適應(yīng)的流動(dòng)規(guī)則：gf。 如果把應(yīng)力

12、空間與應(yīng)變空間重疊在一起，塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较蚺c塑性勢(shì)面法線的方向一致，也就是說(shuō)與塑性勢(shì)面正交。 加工硬化規(guī)律理論o加工硬化規(guī)律是決定一個(gè)給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變?cè)隽康囊粭l準(zhǔn)則。od可假定為11( 1)ijijggdddHAA H g塑性勢(shì)函數(shù)A硬化參數(shù)H的函數(shù)不同的學(xué)者建議不同的硬化規(guī)律計(jì)算A的數(shù)值ppvHH,qHpgHHfAppvg1 彈塑性模量矩陣Dep 1epTTepgDdgfDDDDfgAD（2 2）劍橋模型（）劍橋模型（Cambridge ModelCambridge Model）o適應(yīng)于正常固結(jié)粘土和弱超固結(jié)粘土o屈服軌跡：)()(fg pfddpv qfddp沿屈服軌跡有：

13、pfddpv 0dqqfdppfdf得 dpdqddppv修正劍橋模型的屈服軌跡 qfddp（2 2）劍橋模型（）劍橋模型（Cambridge ModelCambridge Model）屈服方程 0lnlnppMpq修正劍橋模型屈服方程： 02221pppMq屈服軌跡是橢圓曲線 修正劍橋模型的屈服軌跡假定變形消耗的功，即塑性功為pPMpdwd而塑性功的一般形式為ppvpqdpddwdpdqddppv代入（2 2）劍橋模型（）劍橋模型（Cambridge ModelCambridge Model）o屈服方程中含有變量p0，一個(gè)確定的p0值對(duì)應(yīng)一條屈服軌跡。oP0增加，屈服軌跡由一條曲線擴(kuò)展到另一

14、條曲線。oP0隱含了硬化的意義，與塑性應(yīng)變有關(guān)。oP0與塑性應(yīng)變的關(guān)系：（2）劍橋模型（Cambridge Model）ep關(guān)系A(chǔ)到E孔隙比變化aappeeelnln00aepppkeeelnln0akeppkeeelnln00彈性部分 塑性部分 avee1故 aapvppeklnln10得 pvakeaepp10aepppkeeelnln0修正劍橋模型最終屈服方程：pvakeaepppMq12221土體修正劍橋模型參數(shù)層號(hào) 土層eaMk（1）粘土0.7860.940.10660.022（2）淤質(zhì)粉質(zhì)粘土0.5621.120.0930.014（3）-1粉質(zhì)粘土0.6751.060.0970.0

15、15（3）-3粘土0.4981.170.0760.016（4）-1粉砂0.9241.650.040.01有限元網(wǎng)格（2 2）劍橋模型（）劍橋模型（Cambridge ModelCambridge Model）聯(lián)合預(yù)壓階段水平位移等值線（2 2）劍橋模型（）劍橋模型（Cambridge ModelCambridge Model）地基沉降等值線圖（2 2）劍橋模型（）劍橋模型（Cambridge ModelCambridge Model）5 5流變模型流變模型基本流變?cè)谢⒖藦椈桑ｎD粘壺及圣維南剛塑性體三種。（1 1）基本流變?cè)┗玖髯冊(cè)?虎克彈簧虎克彈簧反映材料的彈性，與時(shí)間無(wú)關(guān)。 E

16、（1） 土的有效應(yīng)力應(yīng)變E虎克彈簧常數(shù)牛頓粘壺牛頓粘壺反映材料的粘性，其應(yīng)力與應(yīng)變速率成線性關(guān)系。k（2） k粘滯系數(shù) 圣維南剛塑性體圣維南剛塑性體o由兩塊相互接觸，在接觸面上具有粘聚力和摩擦力的板組成，反映材料的剛塑性。o當(dāng)應(yīng)力小于流動(dòng)極限0時(shí)，圣維南體沒有變形；當(dāng)0時(shí)，達(dá)到屈服狀態(tài)，變形可無(wú)限增長(zhǎng)。o三種基本元件按不同方式加以組合，可得到各種不同的組合模型。o由彈簧和粘壺組成的稱為粘彈性模型，包括三種基本元件的稱為粘彈塑性模型。（2 2）賓哈姆模型（）賓哈姆模型（BinghamBingham）由于并聯(lián)，模型總應(yīng)力等于各元件應(yīng)力之和，各元件應(yīng)變相等并等于總應(yīng)變。k0000（3 3）彈塑性模型

17、）彈塑性模型E/00由于是串聯(lián)，總應(yīng)力即為各元件應(yīng)力，總應(yīng)變等于各元件應(yīng)變之和。（4 4）馬克斯威爾模型（）馬克斯威爾模型（MaxwellMaxwell）流變方程：kE（1） 在不變應(yīng)力作用下，初始應(yīng)變0/E，求解（1）得tkE（2） 若在t1時(shí)刻初應(yīng)力卸除，則tt1時(shí)刻的應(yīng)變?yōu)?tk（3） 卸荷后蠕變變形完全不能恢復(fù)。若土體獲得初始彈性應(yīng)變0后，總應(yīng)變保持不變，求解（1）得tkEeE（4） 在總應(yīng)變不變條件下，應(yīng)力隨時(shí)間衰減（如應(yīng)力不衰減，總應(yīng)變要增加）。Maxwell模型又稱松弛模型。tkE（5 5）伏埃脫模型（）伏埃脫模型（VoigtVoigt）伏埃脫模型又稱開爾文（Kelvin）模型。流變方程： kE（1） 在常應(yīng)力作用下，利用初始條件00（與串聯(lián)不一樣），解（1）得tkEeE1（2） 若在t1時(shí)刻初應(yīng)力卸去，則tt1時(shí)刻應(yīng)變?yōu)閠kEttkEeeE1（3） tt時(shí)，時(shí)，00，即應(yīng)變可完全恢復(fù)。若獲得初