高考理科第一輪復(fù)習(xí)課件(63基本不等式)

1、第三節(jié) 基本不等式1.1.基本不等式：基本不等式：（1 1）基本不等式成立的條件：）基本不等式成立的條件：_._.(2)(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪⒌臈l件：當(dāng)且僅當(dāng)_時取等號時取等號. .(3)(3) 稱為稱為a,ba,b的的_， 稱為稱為a,ba,b的的_._.(4)(4)語言敘述：兩個非負(fù)數(shù)的語言敘述：兩個非負(fù)數(shù)的_不小于它們的不小于它們的_. . abab2ab2ab算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平幾何平均數(shù)均數(shù)a0,b0a0,b0a=ba=b算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)2.2.基本不等式的變形基本不等式的變形（1 1）a+b a+b （a,b0a,b0）. .（2 2）

2、ab ab （a,bRa,bR）. .（3 3）a a2 2+b+b2 2_（a,bRa,bR）. .3 3利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值（1 1）兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若）兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若x x，y y為正實數(shù)，且為正實數(shù)，且a ab bs s，s s為定值，則為定值，則 等號當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柈?dāng)且僅當(dāng)_時成立時成立. .簡記：和定積最大簡記：和定積最大. .2 ab2ab2（）2ab2ab2sab4，x xy y（2 2）兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若）兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若x x，y y為正實數(shù)，且為

3、正實數(shù)，且xyxyp p，p p為定值，則為定值，則x xy y ，等號當(dāng)且僅當(dāng)，等號當(dāng)且僅當(dāng)_時成立時成立. .簡記：積定和最小簡記：積定和最小. .2 px xy y判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“”或或“”）. .（1 1） 成立的條件是成立的條件是ab0.( )ab0.( )（2 2）函數(shù)）函數(shù) 的最小值等于的最小值等于4.( )4.( )（3 3）x0 x0且且y0y0是是 的充要條件的充要條件.( ).( )（4 4）若）若a0a0，則，則 的最小值為的最小值為 ( )( )（5 5）若）若a,bRa,bR，則，則 ( )( )2abab2 （

4、）4fxcos xx0,cos x2（ ），（）xy2yx321aa2 a.222abab.22 （）【解析】【解析】（1 1）錯誤）錯誤. .當(dāng)當(dāng)ab0ab0 x0且且y0y0時一定有時一定有 但當(dāng)?shù)?dāng) 時，不時，不一定有一定有x0 x0且且y0y0，所以，所以x0 x0且且y0y0是是 的充分不必要條件的充分不必要條件. .2ab()02 ，2abab()2，42 cos x4cos x，4fxcos xcos x（ ）4cos xcos x，xy2yx ，xy2yxxy2yx（4 4）錯誤）錯誤. .雖有雖有 但不能說但不能說 就是就是 的最小值，因為的最小值，因為 的值與的值與a a有

5、關(guān)，不是一個定值有關(guān)，不是一個定值. .（5 5）正確）正確. . 由于由于所以不等式成立所以不等式成立. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4） （5 5）332211a2 a2 aaa，2 a321aa2222222ab2 abab2abab2442（）（） ，2 a1.1.下列不等式中正確的是下列不等式中正確的是( )( )（A A）若）若aRaR，則，則a a2 2+96a+96a（B B）若）若a,bRa,bR，則，則（C C）若）若a,b0a,b0，則，則（D D）若）若xRxR，則，則ab2abab2lglg alg b2221x1x1【解析】【解析】選選C

6、.C.對于對于A A，a a2 2+9-6a=+9-6a=（a-3a-3）2 20,a0,a2 2+96a,+96a,故故A A不正確不正確. .由基本不等式成立的條件知由基本不等式成立的條件知B B錯誤錯誤. .對于對于C C，當(dāng)，當(dāng)a,b0a,b0時，有時，有 所以所以故故C C選項正確選項正確. .對于對于D D，xR,xxR,x2 2+11, +11, 故故D D錯誤錯誤. .abab2，ab2lg2lg ablg ablg alg b2，222211xx11x1x1 2212x111,x1 （）2.2.若若x0,y0 x0,y0，且，且 則則xyxy的最大值為的最大值為( )( )（

7、A A） （B B） （C C） （D D） 【解析】【解析】選選D.D.由基本不等式可得由基本不等式可得 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時，時，xyxy取最大值取最大值 故選故選D.D.1xy3，2 332 319136221xy13xy2236（） （），1xy61.363.3.函數(shù)函數(shù)f f（x x）=3=3x x+3+3-x-x的最小值是的最小值是( )( )（A A）2 2 （B B）1 1 （C C）3 3 （D D）【解析】【解析】選選A.A.由于由于3 3x x0,30,3-x-x00，所以，所以f f（x x）=3=3x x+3+3-x-x= = 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)3 3x x=3=3-x

8、-x，即，即x=0 x=0時函數(shù)取得最小值時函數(shù)取得最小值2.2.2 2xx133xx12 323，4.4.某公司租地建倉庫，每月土地占用費某公司租地建倉庫，每月土地占用費y y1 1與倉庫到車站的距離與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費成反比，而每月庫存貨物的運費y y2 2與倉庫到車站的距離成正比，與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站如果在距離車站1010千米處建倉庫，這兩項費用千米處建倉庫，這兩項費用y y1 1和和y y2 2分別為分別為2 2萬萬元和元和8 8萬元萬元. .那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站站_千米

9、處千米處. .【解析】【解析】設(shè)倉庫到車站的距離為設(shè)倉庫到車站的距離為x x千米，由題意設(shè)千米，由題意設(shè) y y2 2=k=k2 2x x，而當(dāng)，而當(dāng)x=10 x=10時，時，y y1 1=2=2，y y2 2=8=8，于是，于是k k1 1=20, =20, 因此因此 yy1 1+y+y2 2= = 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=5x=5時取時取等號，所以倉庫應(yīng)建在離車站等號，所以倉庫應(yīng)建在離車站5 5千米處千米處. .答案：答案：5 511ky,x24k5，12204y,yx,x5204x2 168,x55 5已知已知a a，b b為正實數(shù)且為正實數(shù)且a+b=1a+b=1，則，則 的最小值為的最小值

10、為_._.【解析】【解析】a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,等號成立的條件為等號成立的條件為答案：答案：9 9 11(1)(1)ab1abb1a112,12,aaabb11baba(1)(1)(2)(2)52()549,ababab 同理1ab.2考向考向 1 1 利用基本不等式判斷命題真假利用基本不等式判斷命題真假【典例【典例1 1】（1 1）（）（20132013撫州模擬）已知撫州模擬）已知0 0a ab b，且，且a+b=1,a+b=1,下列不等式中，一定成立的是下列不等式中，一定成立的是( )( )loglog2 2a a-1-1；loglog2 2a+loga+log2

11、 2b b-2;-2;loglog2 2(b-a)(b-a)0;0;(A)(A) (B) (B) (C) (C) (D) (D)2balog1.ab()（2 2）（）（20122012福建高考）下列不等式一定成立的是福建高考）下列不等式一定成立的是( )( )（A A）（B B）（C C）x x2 2+12|x|+12|x|（D D）21lgxlg xx04（）（）1sin x2 xk ,kZsin x （）211 xRx1（）【思路點撥】【思路點撥】運用基本不等式和不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)知識運用基本不等式和不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)知識對每一項進(jìn)行分析判斷，注意基本不等式應(yīng)用的條件和等號成對每一

12、項進(jìn)行分析判斷，注意基本不等式應(yīng)用的條件和等號成立的條件是否滿足立的條件是否滿足. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】（1 1）選）選C.C.00a ab,a+b=1, b,a+b=1, 錯誤錯誤; ;00b-ab-a1 1，loglog2 2(b-a)(b-a)0 0，正確；，正確； 正確正確. .故故正確正確. .1a,2 2222221log alog1.1ab2 ab,211ab,log alog blog ablog244 錯誤；（），2baba2,log1abab()，（2 2）選）選C.C.由于由于 所以所以 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，故時取等號，故A A錯誤錯誤. . 當(dāng)當(dāng)sin x

13、0sin x1a1時，時，lg a+loglg a+loga a102.102.abab2221x2x ；【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】 給出下列結(jié)論：給出下列結(jié)論：若若x0 x0，則，則若若a0,b0a0,b0，則，則當(dāng)當(dāng) 時，時， 的最小值為的最小值為6 6；若若a,b0a,b0，且，且ab=2ab=2，則，則 其中正確結(jié)論的序號是其中正確結(jié)論的序號是_._.44x2 x4xx；lg alg blg a lg b2；x0,2 （）9sin xsin x22111.ab【解析】【解析】對于對于，只有當(dāng)，只有當(dāng)x0 x0時，才有時，才有 成立，成立，故故錯誤；對于錯誤；對于，雖然有，雖然有a0,b0

14、a0,b0，但，但lg alg a和和lg blg b不一定都不一定都是正數(shù)，因此不一定有是正數(shù)，因此不一定有 故故錯誤；對于錯誤；對于，雖然當(dāng)，雖然當(dāng) 時，時，sin x0sin x0，所以，所以 但其中的等號成立的條件是但其中的等號成立的條件是即即sin x=3sin x=3，這顯然是不可能的，因此不能說，這顯然是不可能的，因此不能說的最小值為的最小值為6 6，故，故錯誤；對于錯誤；對于，由于，由于 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b= a=b= 時取等號，所以時取等號，所以正確正確. .答案：答案：44x2 x4xxlg alg blg a lg b,2x0,2 （）9sin xsin x92 si

15、n x6sin x，9sin xsin x，9sin xsin x2222222211abababa b42ab14 ，2考向考向 2 2 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值【典例【典例2 2】（1 1）若）若x0 x0，則函數(shù)，則函數(shù) 的最小值為的最小值為_._.（2 2）（）（20132013宿州模擬）已知宿州模擬）已知x x0 0，y y0 0，xy=x+2yxy=x+2y，若，若xym-2xym-2恒成立，則實數(shù)恒成立，則實數(shù)m m的最大值是的最大值是_._.（3 3）（）（20132013余姚模擬）已知正數(shù)余姚模擬）已知正數(shù)a,ba,b滿足滿足 則則a+ba+b的的取值范圍是取

16、值范圍是_._.16fx1xx （ ）113ab ，【思路點撥】【思路點撥】（1 1）因為）因為x0 x0，所以可對，所以可對 利用基本利用基本不等式求最小值不等式求最小值. .（2 2）利用基本不等式構(gòu)造關(guān)于）利用基本不等式構(gòu)造關(guān)于xyxy的不等式，求的不等式，求xyxy的最小值的最小值. .（3 3）一種思路是根據(jù)）一種思路是根據(jù) 將將a+ba+b中的中的b b用用a a表示，然后用基表示，然后用基本不等式求范圍；另一種思路是對本不等式求范圍；另一種思路是對 變形，獲得變形，獲得a+ba+b與與abab的關(guān)系，然后利用解不等式消去的關(guān)系，然后利用解不等式消去abab建立建立a+ba+b的不

17、等式求解的不等式求解. .113ab ，113ab16x()x 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】（1 1）由于）由于x0 x0,b0a0,b0，可得，可得 于是于是 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，所以時取等號，所以a+ba+b的取值范的取值范圍是圍是113abab3a1，1a.31a13abaa3a13a1311211211243aa2a,1133a13333339(a)9 a33（）（）（）112aa1339(a)3，即4,).3方法二：由方法二：由 得得a+b=3ab.a+b=3ab.即即4 4（a+ba+b）33（a+ba+b）2 2，所以，所以 即即a+ba+b的取值范圍是的取值范圍是答案：答案

18、：113ab22abababab322由于（） ，所以（） ，4ab3，4,).34,)3【互動探究】【互動探究】本例題（本例題（3 3）中，條件不變，則）中，條件不變，則abab的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析】【解析】 即即9 9（abab）2 24ab4ab，所，所以以 即即abab的取值范圍是的取值范圍是答案：答案：ab2 ab3ab2 ab由于，所以，4ab9，4,).94,)9【拓展提升】【拓展提升】兩個正數(shù)的和與積的轉(zhuǎn)化兩個正數(shù)的和與積的轉(zhuǎn)化基本不等式具有將基本不等式具有將“和式和式”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“積式積式”和將和將“積式積式”轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為“和式和式”的放縮功能，因此可以用

19、在一些不等式的證明中，的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍. . 如果條件等式中，同如果條件等式中，同時含有兩個變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式時含有兩個變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對兩個正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進(jìn)行求解對兩個正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進(jìn)行求解. .【變式備選】【變式備選】（1 1）若正實數(shù)）若正實數(shù)x,yx,y滿足滿足2x+y+6=xy,2x+y+6=xy,則則xyxy的最小值的最小值是是_【解析】【解析】 令令xy=txy=t2 2（t t0 0

20、）, ,可得可得 注意到注意到t t0 0，解得，解得 故故xyxy的最小值為的最小值為18.18.答案：答案：1818xy2xy62 2xy6,2t2 2t60 ，t3 2,（2 2）（）（20132013?？谀M）函數(shù)?？谀M）函數(shù)f f（x x）= = （0 x0 x）的最小值是的最小值是_._.【解析】【解析】因為因為0 x0 x，所以，所以0sin x1.00y0得得x4x4（x-4x-4舍去），舍去），所以函數(shù)在（所以函數(shù)在（4,+)4,+)上單調(diào)遞增，于是當(dāng)上單調(diào)遞增，于是當(dāng)x=5x=5時，時，y y取得最小值取得最小值13 18013 180元元. .12y3(2x 15040

21、0) 5 800 x16900 x5 800 x5 .x （ ）（）216y900 1x 由于（），【拓展提升】【拓展提升】注意變量的取值范圍注意變量的取值范圍在利用基本不等式解決實際應(yīng)用問題時，一定要注意問題中所在利用基本不等式解決實際應(yīng)用問題時，一定要注意問題中所涉及變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域，分析在該范圍內(nèi)是否涉及變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域，分析在該范圍內(nèi)是否存在使基本不等式的等號成立的變量值，若存在，則可利用基存在使基本不等式的等號成立的變量值，若存在，則可利用基本不等式求解，若使基本不等式的等號成立的變量值不在函數(shù)本不等式求解，若使基本不等式的等號成立的變量值不在函數(shù)定義域內(nèi)

22、，則應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求最定義域內(nèi)，則應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求最值值. .【變式備選】【變式備選】某種汽車，購車費用為某種汽車，購車費用為1010萬元，每年的保險費、萬元，每年的保險費、汽油費約為汽油費約為0.90.9萬元，年維修費第一年是萬元，年維修費第一年是0.20.2萬元，以后逐年遞萬元，以后逐年遞增增0.20.2萬元萬元. .這種汽車使用多少年時，它的年平均費用最少？這種汽車使用多少年時，它的年平均費用最少？【解析】【解析】由于由于“年維修費第一年是年維修費第一年是0.20.2萬元，以后逐年遞增萬元，以后逐年遞增0.20.2萬元萬元”，可知汽車每年維

23、修費構(gòu)成以，可知汽車每年維修費構(gòu)成以0.20.2萬元為首項，萬元為首項，0.20.2萬元萬元為公差的等差數(shù)列，因此，汽車使用為公差的等差數(shù)列，因此，汽車使用x x年時總的維修費用為年時總的維修費用為 萬元萬元. .設(shè)汽車的年平均費用為設(shè)汽車的年平均費用為y y萬元，則有萬元，則有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即x=10 x=10時，時，y y取得最小值取得最小值. .答：汽車使用答：汽車使用1010年時，它的年平均費用最少年時，它的年平均費用最少. .0.20.2xx220.20.2x100.9xx10 x0.1x2yxx10 x10 x1123,x10 x 10 10 xx10，【易錯誤區(qū)】【易錯誤區(qū)

24、】忽視基本不等式成立的條件致誤忽視基本不等式成立的條件致誤【典例】【典例】（20122012浙江高考）若正數(shù)浙江高考）若正數(shù)x x，y y滿足滿足x+3y=5xyx+3y=5xy，則，則3x+4y3x+4y的最小值是的最小值是( )( )（A A） （B B） （C C）5 5 （D D）6 6【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】本題在求解中容易出現(xiàn)的錯誤是：對本題在求解中容易出現(xiàn)的錯誤是：對x+3yx+3y運用基運用基本不等式得到本不等式得到 的范圍，再對的范圍，再對3x+4y3x+4y運用基本不等式，然后運用基本不等式，然后通過不等式的傳遞性得到通過不等式的傳遞性得到3x+4y3x+4y的最值，忽視了

25、基本不等式中的最值，忽視了基本不等式中等號成立的條件，沒有注意到兩次運用基本不等式時等號成立等號成立的條件，沒有注意到兩次運用基本不等式時等號成立的條件不一致，從而導(dǎo)致錯誤的條件不一致，從而導(dǎo)致錯誤. .245285xy【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】選選C.C.由由x+3y=5xyx+3y=5xy可得可得當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=1, x=1, 時取等號，故時取等號，故3x+4y3x+4y的最小值是的最小值是5.5.1315y5x ，133x4y3x4y5y5x943x12y133x 12y131225555y5x55y 5x55所以（）（），1y2【思考點評】【思考點評】1.1.連續(xù)運用基本不等式應(yīng)注意

26、等號成立的條件連續(xù)運用基本不等式應(yīng)注意等號成立的條件連續(xù)使用基本不等式時取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時滿足任連續(xù)使用基本不等式時取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致因此盡量不要連續(xù)兩次以上使何一次的字母取值存在且一致因此盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時應(yīng)保證兩次等號成立的條件同時用基本不等式，若使用兩次時應(yīng)保證兩次等號成立的條件同時相等相等. .2.2.妙用妙用“1”1”的代換求代數(shù)式的最值的代換求代數(shù)式的最值在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常的解決辦法在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常的解決辦法是變量替換或常值是變量替換或常值“1”1

27、”的替換，即由已知條件得到某個式子的替換，即由已知條件得到某個式子的值為常數(shù)，然后將欲求最值的代數(shù)式乘上常數(shù)，再對代數(shù)式的值為常數(shù)，然后將欲求最值的代數(shù)式乘上常數(shù)，再對代數(shù)式進(jìn)行變形整理，從而可利用基本不等式求最值進(jìn)行變形整理，從而可利用基本不等式求最值. . 1.1.（20132013安慶模擬）安慶模擬）“a a1”1”是是“對任意的正數(shù)對任意的正數(shù)x x，不等式，不等式 成立成立”的的( )( )(A)(A)充分不必要條件充分不必要條件(B)(B)必要不充分條件必要不充分條件(C)(C)充要條件充要條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件a2x1x【解析】【解析】選選A.A

28、.若若a a1 1，則，則 故故 成立成立. .若若 則必有則必有 aa1 1不成立不成立. .故選故選A.A.a2x2 2a2 2x，a2x1xa2x1x ，12 2a1.a8 ，2.2.（20132013太原模擬）函數(shù)太原模擬）函數(shù) 的最小值為的最小值為( )( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9(A)6 (B)7 (C)8 (D)9【解析】【解析】選選B. B. 當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng) x=1x=1時取等號時取等號. .2x5x15yx0 x2（）2x2x299yx217,x2x2 9x2x2，3.3.（20132013九江模擬）某廠的某種產(chǎn)品的產(chǎn)量去年相對于前年九江模擬）某廠的某種產(chǎn)品

29、的產(chǎn)量去年相對于前年的增長率為的增長率為p p1 1，今年相對于去年的增長率為，今年相對于去年的增長率為p p2 2，且，且p p1 10 0，p p2 20 0，p p1 1+p+p2 2=p=p，如果這種產(chǎn)品在這兩年中的年平均增長率為，如果這種產(chǎn)品在這兩年中的年平均增長率為x x，則，則( )( )(A)x (B)x=(A)x (B)x=(C)x(C)x (D)x (D)xp2p2p2p2【解析】【解析】選選A.A.由題意，設(shè)前年的產(chǎn)量為由題意，設(shè)前年的產(chǎn)量為a a，則，則a(1+x)a(1+x)2 2=a(1+p=a(1+p1 1)(1+p)(1+p2 2),),(1+x)(1+x)2 2=(1+p=(1+p1 1)(1+p)(1+p2 2) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)p p1 1=p=p2 2時取等號時取等號. .22121p1pp()(1) ,22 px,24.4.（20132013上饒模擬）若不等式上饒模擬）若不等式 對一切非零實數(shù)對一切非零實數(shù)x x恒成立，則實數(shù)恒成立，則實數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析】【解析】當(dāng)當(dāng)x x0 0時，時， 當(dāng)當(dāng)x x0 0時，時， |2a-1|2,|2a-1|2,-22a-12, -22a-12, 答案：答案：12a1 | x|x1x2,x11xx2xx （），1| x| 2x ，13a.221 32