概率論特征函數(shù)與極限定理

1、特征函數(shù)特征函數(shù) 引進特征函數(shù)的目的在于有些問題用分布函引進特征函數(shù)的目的在于有些問題用分布函數(shù)不好解決，比如計算隨機變量的矩以及對立隨數(shù)不好解決，比如計算隨機變量的矩以及對立隨機變量和的分布機變量和的分布. .使用特征函數(shù)就會特別方便，使用特征函數(shù)就會特別方便，在極限理論的研究中也發(fā)揮了很大作用。在極限理論的研究中也發(fā)揮了很大作用。 如以前我們講過隨機變量如以前我們講過隨機變量X XY Y的分布函數(shù)求的分布函數(shù)求法過程比較復(fù)雜，實際上經(jīng)常碰到求法過程比較復(fù)雜，實際上經(jīng)常碰到求X X1 1+X+X2 2+X+X3 3+X+Xn n 的密度函數(shù)，重復(fù)使用卷極公式，的密度函數(shù)，重復(fù)使用卷極公式，非

2、常繁雜。非常繁雜。0. 0. 復(fù)隨機變量的定義復(fù)隨機變量的定義iEYEXEZ),( ,),(11nnYXYX相互獨立，就稱復(fù)隨機相互獨立，就稱復(fù)隨機nniYXiYX,11如果如果相互獨立相互獨立. .變量變量YX,設(shè)設(shè)是定義在概率空間是定義在概率空間iYXZ隨機變量，則隨機變量，則PF,稱為稱為復(fù)隨機變量復(fù)隨機變量。上的實上的實1 1、特征函數(shù)的定義、特征函數(shù)的定義X設(shè)設(shè)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為)()()()(1xdxfepexdFeEetfitxiiitxitxitXi稱稱)(xF為為X的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。總存在itXitxEee1對每個隨機變量對每個隨機變量X X（或者說每個分布函數(shù)（

3、或者說每個分布函數(shù)F(x)F(x)）, ,都有一個特征函數(shù)都有一個特征函數(shù)f(t)f(t)與之一一對應(yīng)。與之一一對應(yīng)。 cossinitxetxitx 2. 2. 特征函數(shù)的性質(zhì)特征函數(shù)的性質(zhì))(tf設(shè)設(shè)是是X X的特征函數(shù)，則的特征函數(shù)，則)()(, 1)0()(,1)0() 10tftfftfEefXi)()(xdFeEetfitxitX)(tf2)2)特征函數(shù)特征函數(shù)在在R R上一致連續(xù)上一致連續(xù))(tf3)3)特征函數(shù)特征函數(shù)是非負(fù)定的，即對任意實數(shù)是非負(fù)定的，即對任意實數(shù)nttt,21及復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)naaa,210)(1, 1njkjkjkaattf證明證明dxxpeaaaattfxt

4、tinjkjknjkjkjkjk)()()(1, 11, 1 dxxpeaeadxxpeaaxitnkjxitnkkxttinjkjkjkjk)()()(11)(1, 10)()(21 dxxpeaxitnkkk4 4）ba,設(shè)設(shè)是常數(shù)，是常數(shù)，baXY)()()()(atfeEeeEetfXitbXtaiitbbaXitY)()(atfetfXibtY則則YX,5)5)隨機變量隨機變量相互獨立，則相互獨立，則)()()(tftftfYXYX)()()()(tftfEeEeeEeEeEetfYXitYitXitYitXitYitXYXitYX此性質(zhì)可推廣至多個此性質(zhì)可推廣至多個niXi, 2

5、, 1,隨機變量隨機變量相互獨立，則相互獨立，則iXXtftfiii)()(6 6）設(shè)隨機變量）設(shè)隨機變量nEX則它的特征函數(shù)可微分則它的特征函數(shù)可微分n n次，且次，且)0()()(kXkkfiEXnk )()()()()(xdFedtdxdFedtdtfitxkkitxkkk)()()(xdFexiitxkkkktxikkkEXixdFexif)()()()()0(0)(特征函數(shù)提供了一條求各階矩的捷徑。特征函數(shù)提供了一條求各階矩的捷徑。7 7）唯一性定理：分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定。）唯一性定理：分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定。絕絕對對可可積積，即即若若特特征征函函數(shù)數(shù))(tfdttf)

6、(dttfexpxFitx)(21)()(相應(yīng)的分布函數(shù)相應(yīng)的分布函數(shù)F(xF(x）可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，則有）可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，則有)()(xdFeEetfitxitX 構(gòu)成傅里葉變換對( , )XB n p), 2 , 1 , 0(nkqpCkXPknkkn參數(shù)為參數(shù)為., pnX的分布律的分布律3 3 常見的幾個分布的特征函數(shù)常見的幾個分布的特征函數(shù)nitknkitknnkitkknkknnknkkitkitXqpeqpeCeppCpeEetf)()()1 ()(000)(PX!kekXPk), 2 , 1 , 0(k分布律分布律參數(shù)為參數(shù)為itkknknkkitkitXekepeEetf!

7、)(00)1(0!)(ititeekitnkeeekee)(EX0,00,)(xxexfx0密度函數(shù)密度函數(shù)參數(shù)為參數(shù)為10)1 ()()(itdxeedxxpeEetfxitxitxitX),(2NX222)(21)(xexfx密度函數(shù)密度函數(shù)參數(shù)為參數(shù)為.,2221)(ttietf特征函數(shù)特征函數(shù))(22n2)21 ()(nittf如：二項分布，泊松分布，正態(tài)分布，卡方分布如：二項分布，泊松分布，正態(tài)分布，卡方分布均具有可加性。均具有可加性。例例題題 若若且且 相相互互獨獨立立則則 = =11(, ),(1,2) (, )iiinniiiiXB n pXinYXBn p 證證明明 因因為為

8、 則則 相相互互獨獨立立(, ),( )()(1,2)iiiinitXXB n pftpeqin = =1( )()()iinnnititYiftpeqpeq 在在由由唯唯一一性性定定理理得得到到 1(, )niiYBnp 一一 隨機變量的收斂性隨機變量的收斂性 二二 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理1、依概率收斂、依概率收斂為隨機是隨機變量序列，設(shè)定義XXn，有變量，若對任意實數(shù)01limXXPnn.XXXXPnn，記作依概率收斂于則稱一一 隨機變量的收斂性隨機變量的收斂性2、依分布收斂、依分布收斂),()(limxFxFnn分分別別是是隨隨機機變變量量，定定義義：設(shè)設(shè))(, 2

9、 , 1)(xFnxFnxXnXn連連續(xù)續(xù)點點的的分分布布函函數(shù)數(shù)，若若對對及及), 2 , 1(.XXXXLnn，記記為為依依分分布布收收斂斂于于則則稱稱并不需要定義在共同的并不需要定義在共同的注：對于分布收斂，注：對于分布收斂，nX而而是是斂斂的的并并不不是是概概率率空空間間。實實際際上上，收收,nX.nnFX分分布布函函數(shù)數(shù)3、r-階收斂階收斂,2nnXEXX，有及設(shè)對隨機變量定義, 0lim2XXEnn.XXn均方收斂于則稱如果,2XE其中更一般地，設(shè),rrnXEXE, 0limrnnXXE,XrXn階收斂于則稱為常數(shù)，如果0r.XXrn記作1-階收斂又稱為平均收斂，階收斂又稱為平均收

10、斂，2-階收斂即為均方收斂。階收斂即為均方收斂。4、以概率、以概率1收斂收斂，（簡簡記記為為若若定定義義1)()(lim:XXPnn.XXXXsan，記作隨機變量（或幾乎處處）收斂于1,1lim以概率則稱隨機變量序列）nnnXXXP四種收斂關(guān)系：四種收斂關(guān)系：以概率以概率1收斂或收斂或r-階收斂階收斂依概率收斂依概率收斂依分布收斂依分布收斂研究兩類問題：研究兩類問題：1,nXX11?nniiXn （大數(shù)定律大數(shù)定律）（中心極限定理中心極限定理）為相互獨立的隨機變量序列為相互獨立的隨機變量序列 ninX1（2）n充分大時，充分大時， 服從什么分布？服從什么分布？（1）是常數(shù)序列，是隨機變量序列，

11、設(shè)knaX有若對任意實數(shù), 0定義定義, 11lim1nknknaXnP, 011PnnkkaXn即服從大數(shù)定律。則稱nX（切比雪夫大數(shù)定律）（切比雪夫大數(shù)定律）,21nXXX量，且具有相同的數(shù)學(xué)量，且具有相同的數(shù)學(xué) PniiXn11期望期望 ,2和方差和方差 設(shè)設(shè)為一列相互獨立的隨機變?yōu)橐涣邢嗷オ毩⒌碾S機變即即11lim1niniPXn0 定理二定理二（辛欽大數(shù)定律）（辛欽大數(shù)定律） ,21nXXX, PniiXn11為一列為一列相互獨立相互獨立同分布同分布的的隨機變量，且具有相同的數(shù)學(xué)期望隨機變量，且具有相同的數(shù)學(xué)期望 即即設(shè)設(shè)11lim1niniPXn在定理一中在定理一中,去掉方差存在的

12、條件而加上相同去掉方差存在的條件而加上相同分布的條件，則有：分布的條件，則有：設(shè)事件設(shè)事件AnnA/pnnPA在每次試驗中出現(xiàn)的概率為在每次試驗中出現(xiàn)的概率為 p, 在在n次重復(fù)獨立試驗中出現(xiàn)的頻率為次重復(fù)獨立試驗中出現(xiàn)的頻率為 即即且且lim | 1AnnPpn 理論上給出了在大量重復(fù)實驗下理論上給出了在大量重復(fù)實驗下, ,事件事件A A的的頻率依概率收斂于它的概率頻率依概率收斂于它的概率p.p.是隨機變量序列，設(shè)kX0)(1lim12nkknXDn若服從大數(shù)定律。則kXnknkkkEXnXnP1111證明證明由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式即得所證結(jié)果即得所證結(jié)果.,)(11212nkkX

13、Dn例例1 1 如何估計一大批產(chǎn)品的次品率？如何估計一大批產(chǎn)品的次品率？解解pAP )(抽取抽取n件產(chǎn)品，件產(chǎn)品， 為其中次品的件數(shù)為其中次品的件數(shù)。AnpnnPA設(shè)設(shè)A為事件為事件“任取一件為次品任取一件為次品”，記，記由伯努利大數(shù)定律知由伯努利大數(shù)定律知nnA當(dāng)當(dāng)n很大時，可取很大時，可取 作為次品率作為次品率 的估計值的估計值。p的隨機變量，且具有數(shù)學(xué)期望和方差，的隨機變量，且具有數(shù)學(xué)期望和方差， 定理定理1 1（獨立同分布的中心極限定理）（獨立同分布的中心極限定理）,nX,21XX任意實數(shù)任意實數(shù) , x有有其中其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。 )(x 設(shè)設(shè)為一列相互獨立相同分布為一列相互獨立相同分布則對于則對于)(x 22-1e2txdtnlim111nniiiiniiXEXPxDXlim(1)nnnpPxnpp)(x