高中物理奧賽解題方法：07 對稱法

1、七、對稱法方法簡介由于物質(zhì)世界存在某些對稱性，使得物理學理論也具有相應(yīng)的對稱性，從而使對稱現(xiàn)象普遍存在于各種物理現(xiàn)象和物理規(guī)律中。應(yīng)用這種對稱性它不僅能幫助我們認識和探索物質(zhì)世界的某些基本規(guī)律，而且也能幫助我們?nèi)デ蠼饽承┚唧w的物理問題，這種思維方法在物理學中稱為對稱法。利用對稱法分析解決物理問題，可以避免復雜的數(shù)學演算和推導，直接抓住問題的實質(zhì)，出奇制勝，快速簡便地求解問題。賽題精析例1：沿水平方向向一堵豎直光滑的墻壁拋出一個彈性小球A ，拋出點離水平地面的高度為h ，距離墻壁的水平距離為s ，小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞后，落在水平地面上，落地點距墻壁的水平距離為2s ，如圖71所示。求小球拋出時

2、的初速度。解析：因小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞， 故與墻壁碰撞前后入射速度與反射速度具有對稱性， 碰撞后小球的運動軌跡與無墻壁阻擋時小球繼續(xù)前進的軌跡相對稱，如圖71甲所示，所以小球的運動可以轉(zhuǎn)換為平拋運動處理， 效果上相當于小球從A點水平拋出所做的運動。根據(jù)平拋運動的規(guī)律：因為拋出點到落地點的距離為3s ，拋出點的高度為h ，代入后可解得：v0 = x= 3s例2：如圖72所示，在水平面上，有兩個豎直光滑墻壁A和B ，間距為d ，一個小球以初速度v0從兩墻正中間的O點斜向上拋出，與A和B各發(fā)生一次碰撞后正好落回拋出點O ，求小球的拋射角 。解析：小球的運動是斜上拋和斜下拋等三段運動組成，若按順序求

3、解則相當復雜，如果視墻為一平面鏡，將球與墻的彈性碰撞等效為對平面鏡的物、像移動，可利用物像對稱的規(guī)律及斜拋規(guī)律求解。物體跟墻A碰撞前后的運動相當于從O點開始的斜上拋運動，與B墻碰后落于O點相當于落到O點，其中O 、O關(guān)于A墻對稱，O 、O對于B墻對稱，如圖72甲所示，于是有：，落地時代入可解得：sin2 =所以，拋射角 =arcsin例3：A 、B 、C三只獵犬站立的位置構(gòu)成一個邊長為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v ，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調(diào)整方向，速度方向始終“盯”住對方，它們同時起動，經(jīng)多長時間可捕捉到獵物？解析：以地面為參考系，

4、三只獵犬運動軌跡都是一條復雜的曲線，但根據(jù)對稱性，三只獵犬最后相交于三角形的中心點，在追捕過程中，三只獵犬的位置構(gòu)成三角形的形狀不變，以繞點旋轉(zhuǎn)的參考系來描述，可認為三角形不轉(zhuǎn)動，而是三個頂點向中心靠近，所以只要求出頂點到中心運動的時間即可。由題意作圖73 ，設(shè)頂點到中心的距離為s ，則由已知條件得：s =a由運動合成與分解的知識可知，在旋轉(zhuǎn)的參考系中頂點向中心運動的速度為：v= vcos30=v由此可知三角形收縮到中心的時間為：t =（此題也可以用遞推法求解，讀者可自己試解。）例4：如圖74所示，兩個同心圓代表一個圓形槽，質(zhì)量為m ，內(nèi)外半徑幾乎同為R 。槽內(nèi)A 、B兩處分別放有一個質(zhì)量也為

5、m的小球，AB間的距離為槽的直徑。不計一切摩擦。現(xiàn)將系統(tǒng)置于光滑水平面上，開始時槽靜止，兩小球具有垂直于AB方向的速度v ，試求兩小球第一次相距R時，槽中心的速度v0 。解析：在水平面參考系中建立水平方向的x軸和y軸。由系統(tǒng)的對稱性可知中心或者說槽整體將僅在x軸方向上運動。設(shè)槽中心沿x軸正方向運動的速度變?yōu)関0 ，兩小球相對槽心做角速度大小為的圓周運動，A球處于如圖74甲所示的位置時，相對水平面的兩個分速度為：vx = Rsin + v0 vy =Rcos B球的運動與A球的運動是對稱的。因系統(tǒng)在x軸方向上動量守恒、機械能也守恒，因此：mv0 + 2mvx = 2mv 2m (+) +m= 2

6、mv2 將、式代入、式得：3v0 = 2v2Rsin2R2 + 2Rv0sin += v2由此解得：v0 =(1)v當兩球間距離為R時， = 30，代入可解得槽中心運動的速度為：v0 =(1)v例5：用一輕質(zhì)彈簧把兩塊質(zhì)量各為M和m的木板連接起來，放在水平上，如圖75所示，問必須在上面木板上施加多大的壓力F ，才能使撤去此力后，上板跳起來恰好使下板離地？解析：此題可用能量守恒的觀點求解，但過程較繁，而用彈簧形變的“對稱性”求解就顯得簡潔明了。若用拉力F作用在m上，欲使M離地，拉力F至少應(yīng)為：F= (M+m)g根據(jù)彈簧的拉伸和壓縮過程具有的對稱性，故要產(chǎn)生上述效果，作用在m上的向下的壓力應(yīng)為F

7、= (M+m)g 。例6：如圖76所示，長為l的兩塊相同的均勻長方形磚塊A和B疊放在一起，A磚相對于B磚伸出，B磚放在水平桌面上，磚的端面與桌面平行。 為保持兩磚不翻倒，B磚伸出桌面的最大長度是多少？解析：此題可用力矩平衡求解，但用對稱法求解，會直觀簡潔。把A磚右端伸出B端的截去，補在B磚的右端，則變成圖76甲所示的對稱形狀。 伸出最多時對稱軸應(yīng)恰好通過桌邊。所以：lx = x +解得B磚右端伸出桌面的最大長度為：x =l 。例7：如圖77所示，OABC是一張水平放置的桌球臺面。取OA為x軸，OC為y軸，P是紅球，坐標為（x ，y），Q是白球，坐標為（x1 ，y1）（圖中未畫出Q球在臺面上的位

8、置）。已知OA = BC = 25dm ，AB = OC= 12dm 。若P球的坐標為：x = 10dm ，y = 8dm處，問Q球的位置在什么范圍內(nèi)時，可使擊出的Q球順次與AB、BC、CO和OA四壁碰撞反彈，最后擊中P球？解析：由于彈性碰撞反彈服從的規(guī)律與光線的反射定律相同，所以作P點對OA壁的鏡像P1 ，P1對CO壁的鏡像P2 ，P2對BC壁的鏡像P3和P3對AB壁的鏡像P4 ，則只需瞄準P4點擊出Q球，Q球在AB壁上D點反彈后射向P3 ，又在BC壁上E點反彈后射向P2 ，依次類推，最后再經(jīng)F ，G二點的反彈擊中P點，如圖77甲所示。但是，若反彈點E離B點太近，Q球從E點反彈后EP2線與C

9、O的交點，可能不在CO壁的范圍內(nèi)而在CO的延長線上，這時Q球就無法擊中CO壁（而擊到OA壁上），不符合題目要求，所以，Q球能夠最后按題目要求擊中P球的條件是：反彈點D 、E 、F 、和G一定要在相應(yīng)的臺壁范圍之內(nèi)。已知P點的坐標為（10 ，8），由此可知，各個鏡像點的坐標分別為：P1（10，8），P2（10，8），P3（10，32），P4（60，32）設(shè)Q點的坐標為（x，y）；直線QP4的方程為：Yy=(Xx) D點在此直線上，XD = 25 ，由上式得：YD =(80032x+ 35y) 直線DP3的方程為：YYD =(XxD) E點在此直線上，YE = 12 ，由此式及式得：xE = 25

10、(180 + 20x35y) 直線EP2的方程為：YYE =(XxE) F點在此直線上，XF = 0 ，所以：YF = 12(882x+ y) 最后，直線FP1的方程為：YYF =(XxF) G點在此直線上，YG = 0 ，所以：XG =(160 + 8x10y) 反彈點位于相應(yīng)臺壁上的條件為： 將、和式代入，除肯定滿足無需討論的不等式外，Q球按題目要求擊中P球的條件成為： 上面共兩個條件，作直線l1 ：35Y = 20X80及l(fā)2 ：5Y = 4X80如圖77乙所示，若Q球位于l2下方的三角形D0AH0內(nèi)，即可同時滿足、兩式的條件，瞄準P4擊出，可按題目要求次序反彈后擊中P球，三角形D0AH

11、0三個頂點的坐標如圖77乙所示。例8：一無限長均勻帶電細線彎成如圖78所示的平面圖形，其中AB是半徑為R的半圓孤，AA平行于BB，試求圓心O處的電場強度。解析：如圖78甲所示，左上1/4圓弧內(nèi)的線元L1與右下直線上的線元L3具有角元對稱關(guān)系。L1電荷與L3電荷在O點的場強E1與E3方向相反，若它們的大小也相等，則左上與右下線元電場強度成對抵消，可得圓心處場強為零。設(shè)電荷線密度為常量 ，因很小，L1電荷與L3電荷可看做點電荷，其帶電量：q1 = R ，q2 = L3當很小時，有：q2 =又因為E1 = K，E2 = K= K= K，與E1的大小相同，且E1與E2方向相反。所以圓心O處的電場強度為

12、零。例9：如圖79所示，半徑為R的半圓形絕緣線上、下1/4圓弧上分別均勻帶電+q和q ，求圓心處O的場強。解析：因圓弧均勻帶電，在圓弧上任取一個微小線元，由于帶電線元很小，可以看成點電荷。用點電荷場強公式表示它在圓心處的分場強，再應(yīng)用疊加原理計算出合場強。由對稱性分別求出合場強的方向再求出其值。在帶正電的圓孤上取一微小線元，由于圓弧均勻帶電，因而線密度 =。在帶負電的圓弧上必定存在著一個與之對稱的線元， 兩者產(chǎn)生的場強如圖79甲所示。 顯然， 兩者大小相等，其方向分別與x軸的正、負方向成角，且在x軸方向上分量相等。由于很小，可以認為是點電荷，兩線元在O點的場強為E = 2sin =，方向沿y軸

13、的負方向，所以O(shè)點的合場強應(yīng)對E求和。即：E = E = =h =R =例10：電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面的半徑為R ，CD為通過半球頂點C與球心O的軸線，如圖710所示，P 、Q為CD軸線上在O點兩側(cè)，離O點距離相等的兩點，已知P點的電勢為UP ，試求Q點的電勢UQ 。解析：可以設(shè)想一個均勻帶電、帶電量也是q的右半球，與題中所給的左半球組成一個完整的均勻帶電球面，根據(jù)對稱性來解。由對稱性可知，右半球在P點的電勢等于左半球在Q點的電勢UQ 。即：= UQ所以有：UP + UQ = UP + 而UP +正是兩個半球在P點的電勢，因為球面均勻帶電，所以UP += K由此解得Q點的電勢：U

14、Q =UP 。例11：如圖711所示，三根等長的細絕緣棒連接成等邊三角形，A點為三角形的內(nèi)心，B點與三角形共面且與A相對ac棒對稱，三棒帶有均勻分布的電荷，此時測得A 、B兩點的電勢各為UA 、UB ，現(xiàn)將ac棒取走，而ab 、bc棒的電荷分布不變，求這時A 、B兩點的電勢、。解析：ab 、bc 、ac三根棒中的電荷對稱分布，各自對A點電勢的貢獻相同，ac棒對B點電勢的貢獻和對A點電勢的貢獻相同，而ab、bc棒對B點電勢的貢獻也相同。設(shè)ab 、bc 、ac棒各自在A點的電勢為U1 ，ab 、bc棒在B點的電勢為U2 。由對稱性知，ac棒在B點的電勢為U1 。由電勢疊加原理得：3U1 = UA

15、U1+ 2U2 = UB 由、兩式得：U1 =，U2 =將ac棒取走后，A 、B兩點的電勢分別為：= UAU1 =UA= UBU2 =+例12：如圖712所示為一塊很大的接地導體板，在與導體板相距為d的A處放有帶電量為q的點電荷。（1）試求板上感應(yīng)電荷在導體內(nèi)P點產(chǎn)生的電場強度；（2）試求感應(yīng)電荷在導體外P點產(chǎn)生的電場強度（P與P點對導體板右表面是對稱的）；（3）在本題情形，試分析證明導體表面附近的電場強度的方向與導體表面垂直；（4）試求導體上的感應(yīng)電荷對點電荷q的作用力；（5）若在切斷導體板與地的連線后，再將+Q電荷置于導體板上，試說明這部分電荷在導體板上如何分布可達到靜電平衡（略去邊緣效應(yīng)

16、）。解析：在討論一個點電荷受到面電荷（如導體表面的感應(yīng)電荷）的作用時，根據(jù)“鏡像法”可以設(shè)想一個“像電荷”，并使它的電場可以代替面電荷的電場，從而把問題大大簡化。（1）導體板靜電平衡后有 E感 = E點 ，且方向相反，因此板上感應(yīng)電荷在導體內(nèi)P點產(chǎn)生的場強為EP =，其中r為AP間距離，方向沿AP ，如圖712甲所示。（2）因為導體接地，感應(yīng)電荷分布在右表面，感應(yīng)電荷在P點和P點的電場具有對稱性，因此有EP=，方向如圖712甲所示。（3）考察導體板在表面兩側(cè)很靠近表面的兩點P1和。如前述分析，在導體外點感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場強大小為Ei=。點電荷q在點產(chǎn)生的場強大小也是Eq=。它們的方向如圖712乙

17、。從圖看出，點的場強為上述兩個場強的矢量和，即與導體表面垂直。（4）重復（2）的分析可知，感應(yīng)電荷在q所在處A點的場強為EiA =，方向垂直于導體板指向右方，該場作用于點電荷q的電場力為F =qEiA =，負號表示力的方向垂直于導體板指向左方。（5）切斷接地線后，導體板上原來的感應(yīng)電荷仍保持原來的分布，導體內(nèi)場強為零。在此情況下再將+Q電荷加在導體板上，只要新增加的電荷在導體內(nèi)部各處的場強為零，即可保持靜電平衡，我們知道電荷均勻分布在導體板的兩側(cè)表面時，上述條件即可滿足。顯然這時+Q將均勻分布在導體板的兩側(cè)面上，才能保證板內(nèi)場強為零，實現(xiàn)靜電平衡。例13：如圖713所示，在水平方向的勻強電場中

18、，用長為l的絕緣細線，拴住質(zhì)量為m 、帶電量為q的小球，線的上端O固定，開始時將線和球拉成水平，松開后，小球由靜止開始向下擺動，當擺過60角時，速度又變?yōu)榱?。求：?）A、B兩點的電勢差UAB多大？（2）電場強度多大？解析：（1）小球在A 、B間擺動，根據(jù)能量守恒定律有：PA = PB取A點為零勢能的參考點，即PB = 0則：EPB =mglsin60+ qUBA = 0所以：UBA =，UAB =（2）小球在平衡位置的受力如圖713甲。根據(jù)共點力的平衡條件：有：qE = mgtan60解得電場強度：E =例14：如圖714所示，ab是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強電場中，場強為E ，在

19、圓周平面內(nèi)，將一帶正電q的小球從a點以相同的動能拋出，拋出方向不同時，小球會經(jīng)過圓周上不同的點，在這些所有的點中，到達c點時小球的動能最大。已知cab = 30，若不計重力和空氣阻力，試求：（1）電場方向與直徑ab間的夾角 ；（2）若小球在a點時初速度方向與電場方向垂直，小球恰好能落在c點，則初動能為多少？解析：由于對a點以相同的初動能沿不同方向拋出的小球到達圓周上的各點時其中到達c點的小球動能最大，因此過c點的切線一定是等勢線，由此可以確定電場線的方向，至于從a點垂直于電場線拋出的小球可按類平拋運動處理。（1）用對稱性判斷電場的方向：由題設(shè)條件，在圓周平面內(nèi)，從a點以相同的動能向不同方向拋出

20、帶正電的小球，小球會經(jīng)過圓周上不同的點，且以經(jīng)過c點時小球的動能最大，可知，電場線平行于圓平面。又根據(jù)動能定理，電場力對到達c點的小球做功最多，為qUac 。因此，Uac最大。即c點的電勢比圓周上任何一點的電勢都低。又因為圓周平面處于勻強電場中，故連接Oc ，圓周上各點的電勢對于Oc對稱（或作過c點且與圓周相切的線cf是等勢線），Oc方向即為電場方向（如圖714甲所示），它與直徑ab的夾角為60。（2）小球在勻強電場中做類平拋運動。 小球沿垂直于電場方向拋出，設(shè)其初速度為v0 ，小球質(zhì)量為m 。 在垂直于電場線方向，有：x = v0t 在沿電場線方向，有：y =at2 由圖中幾何關(guān)系可得：x

21、= Rcos30 y = R (1 + cos60) 且：a = 將、式代入、兩式解得：=所以初動能：Ek0 =m=例15：如圖715所示，兩塊豎直放置的平行金屬板A 、B之間距離為d ，兩板間電壓為U ，在兩板間放一半徑為R的金屬球殼，球心到兩板的距離相等，C點為球殼上的一點，位置在垂直于兩板的球直徑的靠A板的一端，試求A板與點C間的電壓大小為多少？解析：將金屬球殼放在電場中達到靜電平衡后，球殼為等勢體，兩極板之間的電場由原來的勻強電場變?yōu)槿鐖D715甲所示的電場，這時C與A板間電勢差就不能用公式UAC = EdAC來計算。我們利用電場的對稱性求解。由于電場線和金屬球關(guān)于球心O對稱，所以A板與

22、金屬板的電勢差UAO和金屬球與B板的電勢差UOB相等，即：UAO = UOB又A 、B兩板電勢差保持不變?yōu)閁 ，即：UAO + UOB = U由以上兩式解得：UAO = UOB =所以得A 、C兩點間電勢差：UAC = UAO =例16：如圖716所示，一靜止的帶電粒子q ，質(zhì)量為m（不計重力），從P點經(jīng)電場E加速，經(jīng)A點進入中間磁場B ，方向垂直紙面向里，再穿過中間磁場進入右邊足夠大的空間磁場B（B= B），方向垂直于紙面向外，然后能夠按某一路徑再由A返回電場并回到出發(fā)點P ，然后再重復前述過程。已知l為P到A的距離，求中間磁場的寬度d和粒子運動的周期。（虛線表示磁場的分界線）解析：由粒子能

23、“重復前述過程”，可知粒子運動具有周期性；又由粒子經(jīng)過A點進入磁場后能夠按某一路徑再返回A點，可知的運動具有對稱性。粒子從A點進入中間磁場做勻速圓周運動，半徑為R ，過C點進入右邊磁場，于做半徑為R的勻速圓周運動經(jīng)點F到點D ，由于過D點后還做勻速圓周回到A（如圖716甲所示），故和CA關(guān)于直線OA對稱，且OA垂直于磁場的分界線。同理可知，OA也同時是圓弧的對稱軸。因此粒子的運動軌跡是關(guān)于直線OA對稱的。由于速度方向為切線方向，所以圓弧、互相相切。（1）設(shè)中間磁場寬度為d ，粒子過A點的速度為v ，由圓周運動的對稱性可得：Rsin = RRsin ，則： =帶電粒子在加速電場中有：qEl =m

24、v2 在中間和右邊磁場中有：R = d = Rcos 解、得：d =（2）粒子運動周期T由三段時間組成，設(shè)在電場中做勻變速直線運動的時間為t1 ，則：t1 = 2設(shè)在中間磁場中運動的時間為t2 ，因為所對圓心角為，所以：t2 = 2T= 2=設(shè)在右邊磁場中運動的時間為t3 ，因為所對圓心角為，所以：t3 =T= 2=所以周期為：T = t1 + t2 + t3 = 2+針對訓練1從距地面高19.6m處的A點，以初速度為5.0m/s沿水平方向投出一小球。在距A點5.0m處有一光滑墻，小球與墻發(fā)生彈性碰撞（即入射角等于反射角，入射速率等于反射率），彈回后掉到地面B處。試求：B點離墻的水平距離為多少？2如圖717所示，在邊長為a的正方形四個頂點上分別固定電量均為Q的四個點電荷，在對角線交點上放一個質(zhì)量為m ，電量為q（與Q同號）的自由點電荷。 若將q沿著對角線移動一個小的距離，它是否會做周期性振動？若會，其周期是多少？3如圖718所示是一個由電阻絲構(gòu)成的平面正方形無窮網(wǎng)絡(luò)，當各小段電阻絲的電阻均為R時，A 、B兩點之間的等效電阻為R/2 ，今將A ，B之間的一小段電阻絲換成電阻為R的另一端電阻絲，試問調(diào)換后A ，B之