常微分方程：2-3解的延拓

1、3.2 解的延拓解的延拓問題提出對于初值問題,)(),(00yxyyxfdxdy,:00byyaxxR,在一定條件下告訴我們上節(jié)解存在唯一性定理,0上存在唯一它的解在區(qū)間hxx),(),min(),(yxfMaxMMbahRyx這里,),(,區(qū)間也應(yīng)越大解的存在唯一越大的定義域如果根據(jù)經(jīng)驗Ryxf.,),(,的這顯然是我們不想看到縮小解的存在唯一區(qū)間反而的定義域的增大即隨著可能出現(xiàn)這種情況但根據(jù)定理的結(jié)論yxf,0)0(22yyxdxdy例如 初值問題,11, 11:時當取定義域為yxR.2121, 1min hx解的存在唯一區(qū)間,22, 22:時當取定義域為yxR.4182, 2min hx

2、解的存在唯一區(qū)間1 飽和解及飽和區(qū)間定義1上的微分方程對定義在平面區(qū)域G) 1 . 3(),(yxfdxdy,),() 1 . 3()(11的連續(xù)解定義在區(qū)間為方程設(shè)xy 且滿足有定義上它在區(qū)間的另一解若存在方程,),(),() 1 . 3(22xy ),(),(),(),() 1 (11221122但);()(,),()2(11xxx時當.),()()(,),(),(2211的一個延拓在是解并且稱解是可延拓的則稱解xyxyxxy.,),(),(),(11或飽和解解為方程的一個不可延拓則稱解的解若不存在滿足上述條件xxyxy.),(11稱為一個飽和區(qū)間義區(qū)間此時把不可延拓解的定2 局部李普希茨

3、(Lipschitz)條件定義2.),(),(),(,),(條件滿足局部于內(nèi)關(guān)在則稱可能不同大小和常數(shù)域?qū)Σ煌狞c條件滿足關(guān)于上在存在內(nèi)的閉矩形為中心完全含于有以一點內(nèi)的每且對內(nèi)連續(xù)在區(qū)域若函數(shù)LipschitzyGyxfLRLipschitzyyxfRRGPPGGyxfPPP對定義2也可如下定義有使對有關(guān)與及常數(shù)矩形若對上函數(shù)對定義在平面區(qū)域1 111111111111),(),(),(,| ),(,),(),(RyxyxbayxLGbyyaxxyxRGyxyxfG1),(),(yyLyxfyxf.),(,條件滿足局部內(nèi)關(guān)于在則稱恒成立LipschitzyGyxf.),(,),(),(條件滿

4、足局部內(nèi)關(guān)于在則內(nèi)連續(xù)在及若LipschitzyGyxfGyxfyxfy注3 解的延拓定理定理.)(,(,)(),() 1 . 3(.),(,),() 1 . 3(00的邊界任意接近直到點可以延拓的解內(nèi)任一點通過那么方程件條滿足局部關(guān)于內(nèi)且在在中連續(xù)在有界區(qū)域右側(cè)函數(shù)如果方程GxxxyyxGLipschitzyyxfGGyxf.)(,( ,)(,0邊界的趨于區(qū)域時則當上間只延拓到區(qū)如果增大的一方來說以向Gxxmxmxxxyx證明初值問題由解存在唯一性定理,),(00Gyx)2(,)(),(00yxyyxfdxdy.),(00hxxxy解的存在唯一區(qū)間為存在唯一解則初值問題為心作一小矩形以取,)

5、,(),(,11111001GRyxxyhxx)3(,)(),(11yxyyxfdxdy11( ),0.yxxxh存在唯一解解的存在唯一區(qū)間為),()(,),()(11xxxx應(yīng)有在兩區(qū)間的重疊部分由唯一性定理因),()(111xxxxhx時即當定義函數(shù),),(),()(11000000*hxxhxxhxxhxxx.,),3()(2() 1 . 3()(,1100*上有定義的唯一解在或滿足為方程那么hxhxxy.),()2() 1 . 3(一段在定義區(qū)間向右延長了的解滿足這樣我們已把方程xy,)()()2() 1 . 3(00*的向右方延拓區(qū)間在定義為解的解滿足即方程hxxxyxy,10000

6、上即將解延拓到較大區(qū)間hhxxhx.)( 向左方延拓同樣方法可把解xy 以上這種把曲線向左右兩方延拓的步驟可一次一次地進行下去.直到無法延拓為止. )()2() 1 . 3(xy的一個解滿足即得到 它已經(jīng)不能向左右兩方繼續(xù)延拓的,即得到了(3.1)的飽和解.最后得到一條長長的積分曲線,推論1上的初值問題對定義在平面區(qū)域G.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy其中,),(條件滿足局部內(nèi)連續(xù)且關(guān)于在若LipschitzyGyxf則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論2為初值問題設(shè))(xy.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy其中.,一定是開區(qū)間則該飽和解的飽和區(qū)間

7、一個飽和解I證明,不是開區(qū)間若飽和區(qū)間I,(I設(shè)G) )(,(則,)( 還可以向右延拓這樣解xy矛盾從而它是非飽和解,同樣討論時對,),I.)(,( ,)(Gxxx時或即推論3有下面的兩種情況一方的延拓來說減少增大向以可以延拓的解的通過點方程在上面延拓定理條件下是無界區(qū)域如果,)(,)(),() 1 . 3(,00 xxyyxG,)(,)() 1 (00 xxxy可以延拓到區(qū)間解Gxxmymxmxmmxxy)(,(,)(,)(,)()2(00或者無界或者時當為有限數(shù)其中可以延拓到區(qū)間解例1 討論方程212ydxdy.)3, 2(ln的解存在區(qū)間通過點解該方程右側(cè)函數(shù)確定在整個xy平面上且滿足解

8、的存在唯一性定理及解的延拓定理條件.其解為,11xxcecey的解為故通過點)3, 2(ln,11xxeey), 0( 這個解的存在區(qū)間為.,0, 0,)3, 2(ln,yx時因但向左只能延拓到的解向右可延拓到通過點如圖例2 2ydxdy.) 1 , 1 (),0 , 0(的解存在區(qū)間通過點中的方程研究定義于帶域32x解,),(2處處連續(xù)yyxf,條件滿足局部且在帶域中關(guān)于Lipschitzy方程通解為,1xcy. 0:y此外還有解.0, 0)0 , 0(的邊界能達到的兩端都積分曲線的解為方程過Gyy,21) 1 , 1 (xy的解為方程過, 2x它的左端達到;,2yx時但右端當. 3xG的邊界故不能達到,( , )231,( 2,3).f x yx該例題說明 雖然在帶形區(qū)域