常微分方程：2-3解的延拓

1、3.2 解的延拓解的延拓問(wèn)題提出對(duì)于初值問(wèn)題,)(),(00yxyyxfdxdy,:00byyaxxR,在一定條件下告訴我們上節(jié)解存在唯一性定理,0上存在唯一它的解在區(qū)間hxx),(),min(),(yxfMaxMMbahRyx這里,),(,區(qū)間也應(yīng)越大解的存在唯一越大的定義域如果根據(jù)經(jīng)驗(yàn)Ryxf.,),(,的這顯然是我們不想看到縮小解的存在唯一區(qū)間反而的定義域的增大即隨著可能出現(xiàn)這種情況但根據(jù)定理的結(jié)論yxf,0)0(22yyxdxdy例如 初值問(wèn)題,11, 11:時(shí)當(dāng)取定義域?yàn)閥xR.2121, 1min hx解的存在唯一區(qū)間,22, 22:時(shí)當(dāng)取定義域?yàn)閥xR.4182, 2min hx

2、解的存在唯一區(qū)間1 飽和解及飽和區(qū)間定義1上的微分方程對(duì)定義在平面區(qū)域G) 1 . 3(),(yxfdxdy,),() 1 . 3()(11的連續(xù)解定義在區(qū)間為方程設(shè)xy 且滿足有定義上它在區(qū)間的另一解若存在方程,),(),() 1 . 3(22xy ),(),(),(),() 1 (11221122但);()(,),()2(11xxx時(shí)當(dāng).),()()(,),(),(2211的一個(gè)延拓在是解并且稱解是可延拓的則稱解xyxyxxy.,),(),(),(11或飽和解解為方程的一個(gè)不可延拓則稱解的解若不存在滿足上述條件xxyxy.),(11稱為一個(gè)飽和區(qū)間義區(qū)間此時(shí)把不可延拓解的定2 局部李普希茨

3、(Lipschitz)條件定義2.),(),(),(,),(條件滿足局部于內(nèi)關(guān)在則稱可能不同大小和常數(shù)域?qū)Σ煌狞c(diǎn)條件滿足關(guān)于上在存在內(nèi)的閉矩形為中心完全含于有以一點(diǎn)內(nèi)的每且對(duì)內(nèi)連續(xù)在區(qū)域若函數(shù)LipschitzyGyxfLRLipschitzyyxfRRGPPGGyxfPPP對(duì)定義2也可如下定義有使對(duì)有關(guān)與及常數(shù)矩形若對(duì)上函數(shù)對(duì)定義在平面區(qū)域1 111111111111),(),(),(,| ),(,),(),(RyxyxbayxLGbyyaxxyxRGyxyxfG1),(),(yyLyxfyxf.),(,條件滿足局部?jī)?nèi)關(guān)于在則稱恒成立LipschitzyGyxf.),(,),(),(條件滿

4、足局部?jī)?nèi)關(guān)于在則內(nèi)連續(xù)在及若LipschitzyGyxfGyxfyxfy注3 解的延拓定理定理.)(,(,)(),() 1 . 3(.),(,),() 1 . 3(00的邊界任意接近直到點(diǎn)可以延拓的解內(nèi)任一點(diǎn)通過(guò)那么方程件條滿足局部關(guān)于內(nèi)且在在中連續(xù)在有界區(qū)域右側(cè)函數(shù)如果方程GxxxyyxGLipschitzyyxfGGyxf.)(,( ,)(,0邊界的趨于區(qū)域時(shí)則當(dāng)上間只延拓到區(qū)如果增大的一方來(lái)說(shuō)以向Gxxmxmxxxyx證明初值問(wèn)題由解存在唯一性定理,),(00Gyx)2(,)(),(00yxyyxfdxdy.),(00hxxxy解的存在唯一區(qū)間為存在唯一解則初值問(wèn)題為心作一小矩形以取,)

5、,(),(,11111001GRyxxyhxx)3(,)(),(11yxyyxfdxdy11( ),0.yxxxh存在唯一解解的存在唯一區(qū)間為),()(,),()(11xxxx應(yīng)有在兩區(qū)間的重疊部分由唯一性定理因),()(111xxxxhx時(shí)即當(dāng)定義函數(shù),),(),()(11000000*hxxhxxhxxhxxx.,),3()(2() 1 . 3()(,1100*上有定義的唯一解在或滿足為方程那么hxhxxy.),()2() 1 . 3(一段在定義區(qū)間向右延長(zhǎng)了的解滿足這樣我們已把方程xy,)()()2() 1 . 3(00*的向右方延拓區(qū)間在定義為解的解滿足即方程hxxxyxy,10000

6、上即將解延拓到較大區(qū)間hhxxhx.)( 向左方延拓同樣方法可把解xy 以上這種把曲線向左右兩方延拓的步驟可一次一次地進(jìn)行下去.直到無(wú)法延拓為止. )()2() 1 . 3(xy的一個(gè)解滿足即得到 它已經(jīng)不能向左右兩方繼續(xù)延拓的,即得到了(3.1)的飽和解.最后得到一條長(zhǎng)長(zhǎng)的積分曲線,推論1上的初值問(wèn)題對(duì)定義在平面區(qū)域G.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy其中,),(條件滿足局部?jī)?nèi)連續(xù)且關(guān)于在若LipschitzyGyxf則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論2為初值問(wèn)題設(shè))(xy.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy其中.,一定是開區(qū)間則該飽和解的飽和區(qū)間

7、一個(gè)飽和解I證明,不是開區(qū)間若飽和區(qū)間I,(I設(shè)G) )(,(則,)( 還可以向右延拓這樣解xy矛盾從而它是非飽和解,同樣討論時(shí)對(duì),),I.)(,( ,)(Gxxx時(shí)或即推論3有下面的兩種情況一方的延拓來(lái)說(shuō)減少增大向以可以延拓的解的通過(guò)點(diǎn)方程在上面延拓定理?xiàng)l件下是無(wú)界區(qū)域如果,)(,)(),() 1 . 3(,00 xxyyxG,)(,)() 1 (00 xxxy可以延拓到區(qū)間解Gxxmymxmxmmxxy)(,(,)(,)(,)()2(00或者無(wú)界或者時(shí)當(dāng)為有限數(shù)其中可以延拓到區(qū)間解例1 討論方程212ydxdy.)3, 2(ln的解存在區(qū)間通過(guò)點(diǎn)解該方程右側(cè)函數(shù)確定在整個(gè)xy平面上且滿足解

8、的存在唯一性定理及解的延拓定理?xiàng)l件.其解為,11xxcecey的解為故通過(guò)點(diǎn))3, 2(ln,11xxeey), 0( 這個(gè)解的存在區(qū)間為.,0, 0,)3, 2(ln,yx時(shí)因但向左只能延拓到的解向右可延拓到通過(guò)點(diǎn)如圖例2 2ydxdy.) 1 , 1 (),0 , 0(的解存在區(qū)間通過(guò)點(diǎn)中的方程研究定義于帶域32x解,),(2處處連續(xù)yyxf,條件滿足局部且在帶域中關(guān)于Lipschitzy方程通解為,1xcy. 0:y此外還有解.0, 0)0 , 0(的邊界能達(dá)到的兩端都積分曲線的解為方程過(guò)Gyy,21) 1 , 1 (xy的解為方程過(guò), 2x它的左端達(dá)到;,2yx時(shí)但右端當(dāng). 3xG的邊界故不能達(dá)到,( , )231,( 2,3).f x yx該例題說(shuō)明 雖然在帶形區(qū)域