(經(jīng)典)正弦定理、余弦定理知識點總結(jié)及最全證明

1、正弦定理、余弦定理知識點總結(jié)及證明方法sinA=2R'sinB=1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2. 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.主要考查有關(guān)定理的應(yīng)用、三角包等變換的能力、運算能力及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.解三角形常常作為解題工具用丁立體幾何中的計算或證明，或與三角函數(shù)聯(lián)系在一起求距離、高度以及角度等問題，且多以應(yīng)用題的形式出現(xiàn).1. 正弦定理(1) 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.其中R是三角形外接圓的半徑.(2) 正弦定理的其他形式：a=2RsinA,b=,csinO；a:b：c

2、=2. 余弦定理(1) 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等王彥文宵銅峽一中丁其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的火角的余弦的積的兩倍.即a2=,b2=,c?=.若令C=90°,WJc2=,即為勾股定理.(2) 余弦定理的變形：cosA=,cosB=,cosC.若C為銳角，則cosC>0,即a2+b2;若C為鈍角，貝UcosC<0,即a2+b2.故由a2+b2與c2值的大小比較，可以判斷C為銳角、鈍角或直角.(3) 正、余弦定理的一個重要作用是實現(xiàn)邊角,余弦定理亦可以寫成sin2A=sin2B+sin2C2sinBsinCcosA，類似地，sin2B=;sin2C=_S意式

3、中隱含條件A+B+C=tt.3. 解斜三角形的類型(1) 已知三角形的任意兩個角與一邊，用理.只有一解.(2) 已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，用定理，可能有A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba為a>b解的個數(shù)(3)已知三邊，用理.有解時，只有一解.(4)已知兩邊及火角，用理,必有一解.L如在ABC中，已知a,b和A時，解的情況如表：4. 三角形中的常用公式或變式三角形面積公式&=:其中R,r分別為三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑.(2) A+B+C=兀，WJA=,A5=,從而sinA=tan(B+C)co巖si號«ctan2ta

4、nAtanBtanC(3)a+csinA+sinCcosA=,tanA=<(3) 互化sin(1)b*12+c22bccosAc2+a22cacosBa2+b22abcosCa2+b2b2+c2a2c2+a2b2a2+b2c2(2)2bc2ca2abC+sin2A2sinCsinAcosBsin2A+sin2B2sinAsinBcosC3. (1)正弦(2)正弦一解、兩解或無解一解二解一解一解余弦余弦111abc14. (1)2absinC2bcsinA2acsinB4R2(a+b+c)r在ABC中，A>B是sinA>sinB的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C.

5、 充要條件D. 既不充分也不必要條件解：因為在同一三角形中，角大則邊大，邊大則正弦大，反之也成立，故是充要條件.故選C.兀B+C(2)代(B+Q2Fsin(B+C)cos(B+C)在ABC中，已知b=6,c=10,B=30°,則解此三角形的結(jié)果有（）A.無解B.一解C.兩解D.一解或兩解解：由正弦定理知sinC=半=5,乂由b6c>b>csinB知，C有兩解.也可依已知條件，畫出ABC,由圖知有兩解.故選C.（2012陜西）在ABC中，角A,B,C所對的邊一Tti一，分力U為a,b,c.右a=2,B=c=2寸3,貝Ub=.解：由余弦定理知b2=a2+c22accoSB=2

6、2+（23）22X2X/3Xc%=4,b=2.故填2.（2013陜西）®AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則ABC的形狀為（）A. 銳角三角形B.直角三角形C. 鈍角三角形D.不確定解：由已知和正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,即sin（B+Q=sinAsinA,亦即sinA=sinAsinA.因為0<A<tt,所以sinA=1,所以A=2.所以三角形為直角三角形.故選B.在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=寸2,b=2,sinB+cosB=寸2,則角A解：sinB+

7、cosB=2,寸2sinB+4=寸2,即sinB+4=1._兀兀_兀乂.B（0,冗）.B+；=；,B=.424abasinB根據(jù)正弦正理、皿=sinB，可侍sinA=b12'.a<b,.AvB.A=g.故填&類型一正弦定理的應(yīng)用ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知AC=90,a+c=寸2b,求C.解：由a+c=寸2b及正弦定理可得sinA+sinO2sinB乂由丁AC=90,B=180(A+C),故cosC+sinC=sinA+sinC=戒sin(A+Q=戒sin(90+2Q=匝sin2(45+Q.,哀sin(45+C)=2戒sin(45+C)cos(45+

8、C),*一1即cos(45+C)=2.乂.。玄Cv90°,.45+C=60°,C=15°.【評析】利用正弦定理將邊邊關(guān)系轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系，這是解此題的關(guān)鍵.(2012江西)在左ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知A=bsin奇+Ccsin；+B=a.r、一_一兀(1) 求證：BC=2；若a=艘，求ABC的面積.-一、一，兀.一兀._解：(1)證明：對bsin4+Ccsin+B=、一兀-一一一兀_a應(yīng)用正弦正理得sinBsin4+CsinCsin4+B=sinA,即sinB乎sinC+乎cosC一sinC乎sinB+cosB=g2,整理得sinBcosC

9、-sinCcosB=1,即sin(BC)=1.t-一3_Tt由丁B,CC0,4,BC=-.一-3兀(2) LB+C=A=才，乂由(1)知B-C=項2，B=8，O8.a=<2,A=艾，由正弦定理知b=asjnB，4sinA5asinC項=2sin8'c=sinA=2sin8.SzABb2bcsinA=：x2s釐x2si#><2w_：_5兀-兀k兀-兀12.兀1=sinsq=2co專sm§=云sin.=.類型二余弦定理的應(yīng)用在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，且cosBbcosCT2a+c.cosC=a2+b2一苗2ab，將上式代入求B的大小；若b=

10、辰,a+c=4,求ABC的面積.、.a2+c2-b2解：（1）由余弦定理知，cosB=舔一,2accosBb/口=得cosC2a+ca2+c2-b22abb-=2aca2+b2c22a+c整理得a2+c2b2=ac._a2+c2b2ac1.cosB=2ac=20c=2.2-B為二角形的內(nèi)角，-B=3tt.2將b=而，a+c=4,B=a兀代入b2=32a2+c?2accosB，得13=422ac2acco我兀,3解得ac=3.1.3,3.SzABb2acsinB=4.【評析】根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵.熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方

11、程思想在解題過程中的運用.若ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊a,b,c滿足(a+b)2c2=4,且C=60°,則ab的值為()B. 8-4,3C.1解：由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab,代入(a+b)2c2=4中得(a+b)24(a+b?ab)=4,即3ab=4,-ab=3.故選A.類型三正、余弦定理的綜合應(yīng)用（2013全國新課標n）ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.求B;若b=2,求ABC面積的最大值.解：（1）由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB.乂A=兀一（B+Q,故sinA=sin（

12、B+Q=sinBcosC+cosBsinC.由,和CC（0,兀得sinB=cosB.一一.、.it乂B（0,兀）所以B=.12（2）AABC的面積S=ZacsinB=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2acco等一cc-4乂a2+c2>ac,故ac一寸2,當且僅當a=c時，等號成立.因此ABC面積的最大值為寸2+1.【評析】（1）化邊為角與和角或差角公式的正向或反向多次聯(lián)用是常用的技巧；已知邊及其對角求三角形面積最值是高考中考過多次的問題，既可用三角函數(shù)求最值，也可以用余弦定理化邊后用不等式求最值.試判斷三角形ABC的形狀.解法一：由正弦定理，得tanAsin2AtanBsin2B

13、，sinAcosBsin2A口口a2sin2AsnBsin2A=sin2B.所以詼未=sn§，即所以2A=2B,或2A+2B=兀，因此A=BTt.一一一，一或A+B=2,從而ABC是等腰二角形成直角三角形.a2sin2A解法二：由正弦正理，得snB，所以tanAsin2AcosBsinA+工十人鼻肺=snB，所以詼=繇，再由正、余弦正a2+c2b22ac理，侍h2ip22E，化間侍(ab)(ab十cab2bc(2013山東)®AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.9(1)求a,c的值；求sin(AB)的值.解：(1)由余弦定理b

14、2=a2+c22accosB,得b2=(a+c)22ac(1+cosB),乂a+c=6,b=2,cosB=g,所以ac=9,解得a=3,c=3.9b2）=0,即a2=b2或c2=a2+b2.從而ABC是等腰三角形或直角三角形.【評析】由已知條件，可先將切化弦，再結(jié)合正弦定理，將該包等式的邊都化為角，然后進行三角函數(shù)式的包等變形，找出角之間的關(guān)系；或?qū)⒔嵌蓟蛇?，然后進行代數(shù)包等變形，可一題多解，多角度思考問題，從而達到對知識的熟練掌握.(2)在左ABC中，sinB=寸1cos2B=半,9asinB2.2由正弦正理得sinA=-V=3-因為a=c,所以A為銳角，所以cosA=.1sin2A=耳3

15、因此sin(AB)=sinAcosBcosAsinB=10.：227-類型四判斷三角形的形狀在三角形ABC中，若tanA：tanB=a2:b2,（2012上海ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C,則ABC的形狀是（）A.銳角三角形B.直角三角形C. 鈍角三角形D.不能確定解：在ABC中，.sin12EA/900t3+300,故當t=1時，Smin=10寸3，此時v=捋3=A+sin2B<sin2C,由正弦定理知a2+b2<c2.cosC=a2+b2c22ab<0,即ZC為鈍角，ABC為鈍角三角形.故選C類型五解三角形應(yīng)用舉例某港口。要將一件重要物品用小艇送到一

16、艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位丁港口O北偏西30°且與該港口相距20nmile的A處，并以30nmile/h的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以vnmile/h的航行速度勻速行駛，經(jīng)過th與輪船相遇.(1) 若希望相遇時小艇的航行距離最小，貝U小艇航行速度的大小應(yīng)為多少(2) 假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30nmile/h，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.解法一：(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為Snmile,貝US=寸900t2+400230t20cos(90°30°)/900

17、t2-600t+4006004000<v<30900-+<9003解得t胃.乂t=|時，v=30.故v=30時，t2取得取小值，且取小值等丁.3此時，在OAB中，有OA=OB=AB=20,故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30°,航行速度為30nmile/h,小艇能以最短時間與輪船相遇.解法二：(1)若相遇時小艇的航行距離最小，乂輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向.遇時小艇的航行距離最小.(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30°),皿2600400故v2=900-f+T.設(shè)小艇與輪船在

18、C處相遇.在RAOAC中，OA20cos30=1球，AC=20sin30=10.乂AC=30t,OOvt,由此可得,153v=Csin(9+30)此時，輪船航行時間t=蕓=3,v=拜3=3303.即小艇以30寸3nmile/h的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.(2)假設(shè)v=30時，小艇能以最短時間與輪船在D處相遇，此時AD=D0=30t.乂ZOAD=60°,所以AD=D0=0A=20,解得t=2.3據(jù)此可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30°,航行速度的大小為30nmile/h這樣，小艇能以最短時間與輪船相遇.證明如下：如圖，由(1)得0010寸3,AO10,10+1

19、0x/3tan。1郵30vcosT乂v<30故sin(0+30)專,從而，300徊90°.由丁0=30時，tan0取得最小值，且最小3值為r.3十Ij10+1ftan覽丁是，少0=30時，t=m取30_2得最小值，且最小值為2.【評析】這是一道有關(guān)解三角形的實際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是把實際問題抽象成純數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題目提供的信息，找出三角形中的數(shù)量關(guān)系，然后利用正、余弦定理求解.解三角形的方法在實際問題中，有廣泛的應(yīng)用.在物理學(xué)中，有關(guān)向量的計算也要用到解三角形的方法.近年的高考中我們發(fā)現(xiàn)以解三角形為背景的應(yīng)用題開始成為熱點問題之一.不管是什么類型的三角應(yīng)用問題，解決的關(guān)鍵都是充

20、分理解題意，將問題中的語言敘述弄明白，畫出幫助分析問題的草圖，再將其歸結(jié)為屆丁哪類可解的三角形.本題用幾何方法求解也較簡便.故OC>AC,且對丁線段AC上任意點P,有0P200AC.而小艇的最高航行速度只能達到30nmile/h，故小艇與輪船不可能在A,C之間(包含C)的任意位置相遇.設(shè)ZCOE>0(0<*90°),則在RtACOD中，CA10>/3tanO,OD=10用cos(T由丁從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的10103tan10'3叱時間分別為t=30和t=焉)，所(2012武漢5月模擬)如圖，漁船甲位丁島嶼A的南偏西600方向的B處，且與島嶼

21、A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東a的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上.1. 已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，要注意解的情況，謹防漏解.2. 在判斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系(注意應(yīng)用A+B+C=兀這個結(jié)論)或邊邊關(guān)系，再用三角變換或代數(shù)式的包等變(1)求漁船甲的速度；求sina的值.解：(1)依題意，/BAO120°,AB=12,AC=10XM20,在ABC中，由余弦定理知BC2=AB2+AC22ABACcosZBAO122+202一2X12X20Xcos12784,BO28.28所以漁船甲的速度為v=y=14(海里/小形(如因式分解、配方等)求解，注意等式兩邊的公因式不要約掉，要移項提取公因式，否則有可能漏掉一種形狀.3. 要熟記一些常見結(jié)論，如三內(nèi)角成等差數(shù)列，則必有一角為60°若三內(nèi)角的正弦值成等差數(shù)歹0,則三邊也成等差數(shù)歹U；內(nèi)