02-利用待定系數(shù)法因式分解和分式的拆分等

1、第 2 講利用待定系數(shù)法因式分解、分式的拆分等一、 方法技巧1. 待定系數(shù)法運用于因式分解、分式的拆分等問題中，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f（x） g（x）的充要條件是：對于一個任意的x=a值，都有f（x） g（x）;或者兩個多項式各關(guān)于x 的同類項的系數(shù)對應相等2. 使用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：（ 1）確定所求問題含待定系數(shù)的一般解析式；（ 2）根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程（組）；（ 3）解方程（組），從而使問題得到解決.22例如：已知x 52 a x bxc,求a,b, c的值.解答此題，并不困難只需將右式與左式的多項式中的對應項的系數(shù)加以比較后，就可得到a，

2、b， c 的值這里的a， b， c 是有待于確定的系數(shù)，這種解決問題的方法就是待定系數(shù)法3. 格式與步驟:（1） 確定所求問題含待定系數(shù)的解析式.上面例題中，解析式就是：2 a x2 bx c（2） 根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程.在這一題中，恒等條件是：2a1b0c5（3） 解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.a1 b 0c5二、應用舉例類型一利用待定系數(shù)法解決因式分解問題【例題 1 】已知多項式2x4 3x3 ax2 7x b 能被x2 x 2整除.（ 1 ）求a， b（ 2）分解因式：2x4 3x3 ax2 7x b【答案】（1） a12和b 6 （2）2x43x312x2

3、7x 6x2x 22x25x 3【解析】 試題分析：1 ）由條件可知x2x 2 是該多項式的一個二次因式，而該多項式次數(shù)為4，故可設(shè)2x4 3x3 ax2 7x b2x 2 2x2mx n ,可解出m、n,最后代入即可求出a、 b 的值.（ 2）由（1 ）可得結(jié)果試題解析：解：（1） .多項式 2x4 3x322ax 7x b 能被 x x 2整除2x4 3x3 ax2 7x b22x x 2 2x mx n ，整理，得2x4 3x3 ax2 7x b 2x432m 2 x m n 4 x n 2mx 2nm2 3mn4an 2m 7b 2nm5n3解得a 12b6a、b的值分別為12和6.2

4、） 2x4 3x3 12x2 7x 6x2 x 2 2x2 5x 3考點：1.待定系數(shù)法因式分解2.整式乘法3.解方程組.點評：用待定系數(shù)法分解因式，就是先按已知條件把原式假設(shè)成若干個因式的連乘積，這些因式中的系數(shù)可先用字母表示，它們的值是待定的，由于這些因式的連乘積與原式恒等，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值.【難度】一般2】分解因式：2x2 5xy 3y2 3x 5y 2【答案】2x2 5xy 3y2 3x 5y 2 （ 2x y 1）（x 3y 2）【解析】試題分析：方法一2x2 5xy 3y2 （ 2x y）（x 3y） ，因此,如果多項式能分解

5、成兩個關(guān)于的一次因式的乘積,那么設(shè)原式的分解式是（ 2x- y+m）（x 3y+n） ,其中m、 n 為待定系數(shù)開，利用多項式的恒等，求出m、 n 的值 .試題解析：22解：: 2x 5xy 3y （2x y） （x 3y）,x、 y. 然后展22 設(shè) 2x 5xy 3y 3x 5y 2 (2x y m) (x 3y n)22即 2x 5xy 3y 3x 5y 2 (2x y) (x 3y) m 2n x 3m n y mn?m 2n 3 對比系數(shù)，得：3m n 5mn 2m 1由、解得： n 2代入式也成立. _ 2_2-2x 5xy 3y 3x 5y 2 (2x y 1) (x 3y 2)

6、試題分析：方法二前面同思路1,因為222x 5xy 3y 3x 5y 2 2x y x 3y m 2n x 3m n y mn 是恒等式，所以對任意x, y的值，等式都成立，所以給 x, y取特殊值，即可求出 m,n的值.試題解析：解：: 2x2 5xy 3y2 (2x y) (x 3y),221 設(shè) 2x 5xy 3y 3x 5y 2 (2xy+ m) (x 3y+ n)22即 2x 5xy 3y 3x 5y 2 (2x y) (x 3y) m 2n x 3m n y mn?2 .該式是恒等式，它對所有使式子有意義的x, y都成立，那么令x 0, y 0得：mn 223-3令 x 0, y

7、1得:3m n mn 3 0解、組成的方程組，得1 m 或2 n把它們分別代入恒等式檢驗，得(2x y 1) (x 3y 2)_ 2_ 2-2x 5xy 3y 3x 5y 2考點：1.待定系數(shù)法分解因式 2.解方程組.點評：本題解法中方程的個數(shù)多于未知數(shù)的個數(shù)，必須把求得的值代入多余的方程逐一檢驗.若有的解對某個方程或所設(shè)的等式不成立，則需將此解舍去；若得方程組無解，則說明原式不能分解成所 設(shè)形成的因式.【難度】較難類型二利用待定系數(shù)法解決分式拆分問題1【例題3】將分式一1拆分成兩個分式的和的形式(x 1)(x 1)x 112-(x 1)(x 1) 22( x 1) 2(x 1)【解析】試題分

8、析:a、b、c的值即可.設(shè)一1 axb,將等式右邊通分，再利用分子恒等求出(x 1)(x1) x1x 1試題解析：解：設(shè)1(x2 1)(x 1)ax b cx2 1 x 1ax-2 x,、2(a c)x (a b)x b c2(x 1)(x 1)即1(xJ1)(x 1)2(a c)x (a b)x b c2(x 1)(x 1)比較分子，得a c 0a b 0b c 111斛得 a一，b c-.221x 11-(x2 1)(x 1)2(x2 1) 2(x 1)考點：分式的恒等變形 點評：拆分有理真分式的時候，分母含二次項，則設(shè)分子為Ax B形式，分母只含一次項，則設(shè)分子為常數(shù)【難度】較難a a

9、1 a 1 a 2 a 2 a 31a 9 a 10【例題4】計算:【解析】a a 10試題分析：本題的10個分式相加，無法通分，而式子的特點是：每個分式的分母都是兩個連續(xù)整數(shù)的積（若是整數(shù)），所以我們探究其中一個分式，找到相通的規(guī)律，從而解題試題解析：1 A B解：我們設(shè)1 A a a 1 a a 1十 A B A a 1 Ba A B a A而 _ a a 1 a(a 1) a a 1比較分子得:所以11所以，原式=-a a 11111a 1 a 2 a 2 a 311a 9 a 1011a a 1010a a 10考點：分式計算.點評：在做題的時候見到式子的特點是：每個分式的分母都是兩個

10、連續(xù)整數(shù)的積，可直接用公式111 K 八拆分.n n 1 n n 1【難度】較難類型三利用待定系數(shù)法解決多項式中不含某項問題【例題5】 已知x2 mx 3 3x 2的積中不含x的二次項，則 m的值是（）A. 0 B. 2 C.- D 3332【答案】C【解析】試題分析：22將多項式 x mx 3 3x 2展開、合并，按x的降哥排列，根據(jù)積中不含x的二次項等價于x項的系數(shù)為零列方程即可求得m的值試題解析：解： x mx 3 3x 23x3 3mx2 9x 2x2 2 mx 63x3 3m 2 x29 2m x 6.積中不含x的二次項，3m 2 0,“ 22解得m 2.3故選C考點：多項式乘以多項

11、式.點評：多項式不含某項則某項的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值 【難度】一般三、實戰(zhàn)演練1 .若多項式3x2 5xy 2y2 x 9y n能被3x y 4整除，貝U n .【答案】4【解析】試題分析：此題可通過因式分解得到：被除式 =商*除式(余式為 0),其除式為3x y 4即可試題解析：解：設(shè)原式 3x y 4 x 2y m 3x2 5xy 2y2+ 3m 4 x 8 m y 4m3m 4 1 比較系數(shù)，得：8 m 9 n 4m由，解得m 1 ,代入得n 4考點：因式分解的應用點評：此題考查知識點是因式分解的應用，運用公式被除式=商*除式(余式為 0)是解題關(guān)鍵

12、.【難度】容易4322 .分解因式：x x x x 14322 1521,5【答案】 x x x x 1=(x -x 1)(x -x 1)【解析】試題分析：這個多項式各項之間沒有公因式也不符合乘法公式，又因為不是二次三項式所以不適用十字相乘法；雖多于三項，但分組之后分解不能繼續(xù).因此，我們應采用其他的辦法 一待定系數(shù)法.這是一個四次五項式，首項系數(shù)為1,尾項也是1,所以它可以寫成兩個二次三項式的積，再利用恒等式的性質(zhì)列方程組求解即可 試題解析：解：設(shè) x4 x3 x2 x 1 = (x2 mx 1)(x2 nx 1)而(x2 mx 1)(x2 nx 1)432322,xnxxmx mnxmx

13、x nx14,、32x(mn)x(mn 2)x(m n)x 1m n 11 .515 m 2或21 .51 .5 n 22mn 2 1m解得n43221521.5x x x x 1 (x-x 1)(x -x 1)考點：待定系數(shù)法因式分解 .點評：本題考查了待定系數(shù)法因式分解解高次多項式，恰當設(shè)待定系數(shù)是關(guān)鍵 【難度】容易223.分解因式：2a 3ab 9b 14a 3b 2022【答案】2a2 3ab 9b2 14a 3b 20 (2x 3b 4) a 3b 5【解析】試題分析：屬于二次六項式，也可考慮用雙十字相乘法，在此我們用待定系數(shù)法先分解2a2 3ab 9b22a 3b a 3b ,再設(shè)

14、原式2a 3b m a 3b n ,展開后，利用多項式恒等列方程組即可求解.試題解析：方法一,一 2 一一 2_解： 2a 3ab 9b2a 3b a 3b .可設(shè)原式 2a 3b m a 3b n22原式=2a 3ab 9b m 2n a 3m 3n b mn_2_2_2_2即 2a 3ab 9b 14a 3b 20 2a 3ab 9b m 2n a 3m 3n b mn *m 2n 14比較左右兩個多項式的系數(shù)，得： 3m 3n 3mn 20m 4解得n 5 2a2 3ab 9b2 14a 3b 20 (2x 3b 4) a 3b 5方法二對于方法一中的恒等式(*)因為對a、b取任何值等式

15、都成立，所以也可用特殊值法，求 m、n的 值.令a0，b0，得mn 20令a1，b0，得m 2n 14令a0，b1，得m n 1m4解、組成的方程組，得n5m4當 時，成立n5 2a2 3ab 9b2 14a 3b 20 (2x 3b 4) a 3b 5考點：1.待定系數(shù)法因式分解2.整式乘法3.解方程組.點評：對于復雜的多項式分解因式，關(guān)鍵是列出恒等關(guān)系式，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值.【難度】較難4.已知f(x)表示關(guān)于x的一個五次多項式，若f 2 f 1 f 0 f 10， f 2 24， f 3 360，求f 4 的值 .【答案】1800【解

16、析】試題分析：因為 f 2 f 1 f 0 f 10 ， 所以這個多項式中必有因式x 2 、 x 1 、 x、 x 1 ，而四個因式的乘積為四次多項式，故原多項式可以分解為以上四項因式的乘積以及還有一項一次因式的乘積，故式的乘積，故這個多項式可以設(shè)為，利用待定系數(shù)法求出a、 b 的值x 2 x 1 x x 1 ax b最后代入原多項式，即可求出f 4 的值 .試題解析：解： f 2f 1 f 0 f 10,設(shè) f(x) x 2 x 1 x x 1 ax b由 f 224， f 3 360，可得方程組4 3 2(2a b) 245 4 3 2(3a b) 3602a b整理得： 2a b3a b

17、解得：a2b -3f (x)x 2 x 1 x x 1 2x 3 f 46 5 4 3 (8 3) 1800考點： 1.解二元一次方程組2.多項式變形點評：此題考查了解二元一次方程組以及多項式的變形，弄清題意是解本題的關(guān)鍵【難度】較難5. m> n為何值時，多項式x4 5x2 1僅2 mx n能被x22x 1整除？【答案】m 11 ， n 4【解析】試題分析：由于多項式 x4 5x2 1僅2 mx n能被x2 2x21整除，可設(shè)商為x2 ax b ，再利用逆運算，除式x商式 啜除式，利用等式的對應相等，可求出 a,b.試題解析：解：設(shè)原式= x2 2x 1 x2 ax b432322=x

18、ax bx 2x 2ax 2bx x ax b4=xa 2 x3b 2a 1 x2 a 2b x b對比系數(shù)，得：a2 5b 2a 1 11m a 2bnb解得：a3b4m 11n4故 m 11， n 4.考點：整式的除法點評：本題考查的是多項式除以多項式，注意多項式除以多項式往往可轉(zhuǎn)化成多項式乘以多項式 【難度】一般6.若多項式x3 ax2 bx能被x 5和x 6整除，那么a b .該多項式因式分解為： .【答案】【解析】試題分析：因為多項式x3 ax2 bx能被x 5和x 6整除，則說明 x 5和x 6都是多項式32x3 ax2 bx的一個因式，故設(shè)x ax bx x 5 x 6 x m

19、,展開即可求解.試題解析：解：設(shè)x3 ax2 bx x 5 x 6 x mx2 11x 30 x m32x mx 30 11m x 30ma m 11對比系數(shù)，得：b 30 11m30m 0m0解得 : a 11b 30故 ,a 11,b 30，32多項式因式分解為：x 11x30x x x 5 x 6考點：整式除法與因式分解點評：本題考查的是多項式除以多項式，注意理解整除的含義，比如A 被 B 整除，另外一層意思就是 B 是 A 的因式7. 分解因式：x4 x3 4x2 3x 5【答案】x4 x3 4x2 3x 5x2 x 1 x2 2x 5【解析】試題分析：本題是關(guān)于x 的四次多項式可考慮

20、用待定系數(shù)法將其分解為兩個二次式之積.試題解析：解：設(shè) x4x34x23x 5 x2ax 1x2bx 5x4a bx3ab 6x2 5a b x 5ab 1由恒等性質(zhì)有：ab 6 45a b 3a1解得：，代入 ab 6 4中，成立.b2x4 x3 4x2 3x 5x2 x 1 x2 2x 5說明：若設(shè)x4 x3 4x2 3x 5 x2 ax 1 x2 bx 5由待定系數(shù)法解題知關(guān)于a 與 b 的方程無解，故 x4 x3 4x2 3x 5x2 x 1 x2 2x 5考點：因式分解應用點評：根據(jù)多項式的特點恰當將多項式設(shè)成含待定系數(shù)的多項式的積的形式是解題的關(guān)鍵.【難度】較難8 .在關(guān)于x的二次

21、三項式中，當x 1,其值為0;當x 3時，其值為0;當x 2時，其值為10, 求這個二次三項式.【答案】2x2 4x 6【解析】試題分析：思路 1 先設(shè)出關(guān)于x 的二次三項式的表達式，然后利用已知條件求出各項的系數(shù)?？煽紤]利用恒等式的性質(zhì)。試題解析：解：法 1 先設(shè)出關(guān)于x 的二次三項式ax2 bx c，abc0把已知條件分別代入，得9a 3b c 0 ，4a 2b c 10a2解得 b 4 c6故所求的二次三項式為2x2 4x 6思路 2 根據(jù)已知x 1, 3時，其值為 0 這一條件可設(shè)二次三項式為a x 1 x 3 ， 然后求出a 的值.法 2 由已知條件x 1, 3 時，這個二次三項式的

22、值為0，故可設(shè)這個二次三項式為a x 1 x 3把 x 2代入上式，得5a 10，故所求的二次三項式為2 x 1 x 3 ，即2x2 4x 6考點：多項式點評：選用待定系數(shù)法,利用已知條件求多項式是解題關(guān)鍵.【難度】一般9 . 已知多項式x3 bx2 cx d 的系數(shù)都是整數(shù)，若 bd cd 是奇數(shù)， 證明這個多項式不能分解為兩個整系數(shù)多項式的乘積.【答案】見解析【解析】試題分析：先設(shè)這個多項式能分解為兩個整系數(shù)多項式的乘積，然后利用已知條件及其他知識推出這種分解是不可能的.試題解析：證明： x3 bx2 cx d x3 m n x2 mn r x mrm, n,r者B是整數(shù)比較系數(shù)得：mr

23、d因為bd cd d b c是奇數(shù)，則b c與d都是奇數(shù)，那么mr也是奇數(shù)，由奇數(shù)的性質(zhì)得 出m,r也都是奇數(shù).在式中令x1,得1bcd 1 m 1 n r 由b c與d是奇數(shù)，得1 b c d是奇數(shù)。而m為奇數(shù)，故1 m是偶數(shù)，所以1 m 1 n r是偶數(shù).這樣的左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)。這是不可能的.因此題中多項式不能分解為兩個整系數(shù)多項式的乘積考點：多項式除法.點評：所要證的命題涉及到“不能”時，常常考慮用反證法來證明【難度】容易10.將分式拆分成兩個分式的和的形式(6y 1)(y 1)1(6y 1)(y 1)615(6y 1) 5(y 1)【解析】試題分析：1a b設(shè)1 二一一b,將等式

24、右邊通分，再利用分子恒等求出(6y 1)(y 1) 6y 1 y 1a、b的值即可.試題解析:解：設(shè)1 a(6y 1)(y 1) 6y 1a6y 1(a 6b)y (a b)(6y 1)(y 1)1(6y 1)(y 1)(a 6b)y (a b)(6y 1)(y 1)比較分子，得a 6b 0a b 16 a - 解得 5 .b 1 5161 (6y i)(y 1) 5(6y 1) 5(y 1)考點：分式的恒等變形.點評：拆分有理真分式的時候，分母含二次項，則設(shè)分子為分子為常數(shù)【難度】一般Ax B形式，分母只含一次項，則設(shè)3x 511.將分式一必上一拆分成兩個分式的和的形式(x 1)(x 2)3

25、x 5【答案 3x_，(x 1)(x 2)【解析】試題分析:設(shè) 3x f =a b,將等式右邊通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.(x 1)(x 2) x 1 x 2試題解析: 方法一解：設(shè)3x 5 a(x 1)(x 2) -x 1b _ (a b)x (2a b) x 2= (x 1)(x 2)3x 5_(a b)x (2a b)(x 1)(x 2) - (x 1)(x 2)比較分子，得a b 32ab 5解得3x 5_21(x 1)(x 2) = x 1 x 2方法分式一3x 5一還可以先變形為:(x 1)(x 2)(3x 6) 1 _ 3(x 2) 1(x 1)(x 2) (x 1)

26、(x 2)31x-l (x 1)(x 2)易知1_ 1(x 1)(x 2)-x 1所以3x 5_ 3(x 1)(x 2)2-)=2 x 1考點：分式的恒等變形.點評：拆分有理真分式的時候，分母含二次項，則設(shè)分子為子為常數(shù)【難度】容易Ax + B形式，分母只含一次項，則設(shè)分，“112.計算x x 1111x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4【解析】試題分析：本題的4個分式相加，無法通分，而式子的特點是：每個分式的分母都是兩個連續(xù)整數(shù)的積(若a，111,、是整數(shù))，利用 ，進行拆分即可n n 1 n n 1試題解析:.11解：原式=-x x 1111111x1x2x2x3x3x4_11x

27、 x 44x x 4考點：分式計算點評：利用公式 一1-,拆分，是解題關(guān)鍵，而原理就是設(shè) 一1一 - -B-,求出n n 1 n n 1n n 1 n n 1A 1,B1,熟練后可直接運用公式【難度】容易13.將分式(6y i)(y 1)拆分成兩個分式的和的形式(6y 1)(y 1) 5(6y 1) 5(y 1)【解析】試題分析:1a b設(shè)1= a ,將等式右邊通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可(6y 1)(y 1) 6y 1 y 1試題解析：解：設(shè)1_ a(6y 1)(y 1) = 6T7a6y 1b (a 6b) y (a b) 尸=(6y 1)(y 1)(a 6b) y (a b)(

28、6y 1)(y 1)(6y 1)(y 1)比較分子，得a 6b 0a b 16 a 解得 5 . b 1 5161=(6y 1)(y 1) 5(6y 1) 5(y 1)考點：分式的恒等變形.點評：拆分有理真分式的時候，分母含二次項，則設(shè)分子為 子為常數(shù).【難度】一般Ax + B形式，分母只含一次項,則設(shè)分14.將分式拆分成一個整式和一個分式(分子為整數(shù))的和的形式【答案】x2 2x2 1【解析】試題分析：由于要將分式42x x2x3拆分成一個整式和一個分式1(分子為整數(shù))的和的形式，可設(shè)4222x x 3 x 1 x a b試題解析：解：由于分母為 x2 1,可設(shè)x4 x2 3 x2 1 x2

29、 a bx2 32ax4242x x 3 x a 1 x a b 對于任意x,上述等式均成立,x4 x2 3x2 1 x2 2 1x2 1x2 1x2 1 x2 212。1x2i 2nx242這樣分式x 2x一3被拆分成了一個整式x2 2與一個分式x2 1-的和.1考點：分式的加減法點評：本題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題關(guān)鍵【難度】一般15.已知5 3x mx2 6x3 1 2x的計算結(jié)果中不含 x3的項，則m的值為(A. 3 B. -3 C.- 1 D. 02【答案】B【解析】試題分析：將多項式5 3x mx2 6x31 2x展開、合并，按x的降哥排列，根據(jù)積中不含x3項等價

30、于x3項的系數(shù)為零列方程即可求得 m的值.試題解析：方法一解：5 3x mx2 6x3 1 2x 5 13x (m 6) x2 ( 2m 6) x3 12x4;結(jié)果中不含x3的項，2m 6 0,解得 m 3.故選B.方法二由于x3項可由x項與x2項相乘或x3與常數(shù)項相乘得到，故展開式中只需計算x項乘以x2項及x3乘以常數(shù)項即可.解：mx22x6x312mx36x3（ 2m6）x3又.結(jié)果中不含x3的項， 2m 6 0,解得 m 3.故選B.考點：多項式乘法.點評：多項式不含某項則某項的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值 【難度】一般16.如果x 122 一 一 ,x 5

31、ax a的乘積中不含x項，則2為（A. 5 B. - C.51.D.-55【答案】B【解析】試題分析：將多項式 x 1 x2 5ax a展開、合并，按 x的降哥排列，根據(jù)積中不含 x2項等價于x2項的系數(shù)為零列方程即可求得 a的值.試題解析：21 5a x 4ax a.3223解：原式x 5ax ax x 5ax a x;不含x2項，1 5a 0.1斛得a .5故選B.考點：多項式乘多項式.點評：多項式不含某項則某項的系數(shù)為零,根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值【難度】一般17.若（y a）與（y 7）的乘積中不含y的一次項，則a的值為（）A. 7 B. -7 C. 0 D. 1

32、4【答案】A【解析】試題分析：先用多項式乘以多項式的運算法則展開，并且把a看作常數(shù)，合并關(guān)于y的同類項，令y的系數(shù)為0,得出關(guān)于a的方程，求出a的值.試題解析：解： y a y 7 y2 7y ay 7a y27 a y 7a.又乘積中不含y的一次項, . 7 a 0.解得a=7.故選A.考點：多項式乘法點評：多項式不含某項則某項的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值 【難度】一般18 .要使2x2 3x 1與關(guān)于x的二項式ax b的積中不含x的二次項，則a:b 【答案】2:3 【解析】試題分析：根據(jù)多項式乘以多項式，可得整式，根據(jù)整式不含二次項，可得關(guān)于a,b的二元一次方程，根據(jù)等式性質(zhì)，可得答案. 試題解析：解：2x2 3x 1 ax b 2ax3 2b