淺談微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、淺談微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 學(xué)號(hào)：09690137 姓名：尹佩 指導(dǎo)老師：蔡江濤摘 要：微積分是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，其思想方法和基本理論有著廣泛的應(yīng)用，可以當(dāng)作工具去解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題.本文通過(guò)闡述微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要地位和作用的基礎(chǔ)上,研究微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：微分 積分 中學(xué)數(shù)學(xué) 新課改0.引言微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡(jiǎn)稱課標(biāo)）對(duì)微積分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了改革課標(biāo)和過(guò)去的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱相比，一大特點(diǎn)是將一元函

2、數(shù)微積分的部分內(nèi)容拿到高中教材中，讓中學(xué)生初步了解微積分的思想，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 微積分是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科，它分為微分和積分.微積分的創(chuàng)立,極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展.它是我國(guó)現(xiàn)在普遍使用的高中數(shù)學(xué)教材中增加的部分，蘊(yùn)含多種數(shù)學(xué)思想，如極限思想、函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想微積分中的哲學(xué)思想、辯證的思想等，它們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用和價(jià)值.微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位和作用具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）學(xué)習(xí)微積分的知識(shí)可以進(jìn)一步提高學(xué)生的運(yùn)算能力,邏輯思維能力和空間想象能力.（2）學(xué)習(xí)微積分能更好地培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,有利于學(xué)生學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)和掌握基本內(nèi)容,有利

3、于數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用，有利于學(xué)生學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)和掌握基本內(nèi)容,有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用.(3)將微積分的理論應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)，不僅可以使其內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系得以體現(xiàn)，而且可以進(jìn)而指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作.利用微積分來(lái)解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題能取得意想不到的效果.1. 微分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用課標(biāo)中對(duì)微積分的教學(xué)內(nèi)容明確提出：“導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用要求學(xué)生通過(guò)大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)通過(guò)理解導(dǎo)數(shù)概念，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)”.微分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)

4、用主要由導(dǎo)數(shù)實(shí)現(xiàn). 1.1微分法在求函數(shù)極值和最值問(wèn)題中的應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)教材的二次函數(shù),三角函數(shù)和不等式等內(nèi)容都涉及到求函數(shù)極值與最值問(wèn)題. 在求比較復(fù)雜的函數(shù)的極值和最值問(wèn)題中一般采用微分的知識(shí)來(lái)解決，根據(jù)對(duì)自變量求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)從而判斷函數(shù).導(dǎo)數(shù)的定義:當(dāng)自變量的增量x=x-x0,x0時(shí)函數(shù)增量y=f(x)-f(x0)與自變量之比的極限存在且有限，就說(shuō)函數(shù)f 在x0 點(diǎn)可導(dǎo)，稱之為 f 在x0 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（或變化率）。例 1：求函數(shù)，的極值，最值  解：因?yàn)?，令?#160; 得.又因?yàn)橛杀碇锌芍?，為函?shù)的極小值點(diǎn)， .當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上最大值為，最小值為 .由例題可得利用微分求比

5、較復(fù)雜的函數(shù)的最值及極值方面會(huì)顯得更簡(jiǎn)單.其中利用導(dǎo)數(shù)求極值可分為三步： 1：求導(dǎo)數(shù)；2：求方程的根；3：檢驗(yàn)在方程的根的左右兩邊的符號(hào)，確定極值.1.2微分法在不等式證明中的應(yīng)用 在中學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的證明是一個(gè)重點(diǎn)同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于簡(jiǎn)單的不等式我們可以通過(guò)作差和作商等方法來(lái)解決，但對(duì)于比較難的不等式證明我們一般采用微分中的求導(dǎo)來(lái)處理問(wèn)題。 微分在中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明中的應(yīng)用，主要是利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式.將不等式中的項(xiàng)進(jìn)行一系列計(jì)算變形，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明不等式. 例2: 當(dāng)時(shí)，證明不等式成立.    證明：設(shè)，則. 在內(nèi)單調(diào)遞減，而，&

6、#160;  ， 故當(dāng)時(shí)，成立.一般地，證明，可以構(gòu)造函數(shù)，如果，則在上是減函數(shù)，同時(shí)若，由減函數(shù)的定義可知，時(shí)，有，即證明了.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí)用單調(diào)性的定義來(lái)處理單調(diào)性問(wèn)題有很強(qiáng)的技巧性，較難掌握好，而用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)便而且快捷.1.3微分學(xué)在研究函數(shù)圖像中的應(yīng)用函數(shù)圖像在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中起到了重要的作用.函數(shù)圖像的直觀性有著別的工具不可替代的作用，特別是在說(shuō)明一個(gè)函數(shù)的整體情況及其特性的時(shí)候，其作用尤為明顯，這就要求我們能正確地作出函數(shù)的圖形學(xué)微分學(xué)之前，用描點(diǎn)法作圖是十分必要的，不過(guò)它有缺陷：帶有一定的盲目性、點(diǎn)取

7、得不夠多也許就會(huì)得到一個(gè)錯(cuò)誤的圖像等而運(yùn)用微分學(xué)作出的函數(shù)圖像，就能克服描點(diǎn)法作圖的缺點(diǎn)，可有效地對(duì)函數(shù)的增減性、極值點(diǎn)、凹凸性等重要性態(tài)和關(guān)鍵點(diǎn)作出準(zhǔn)確的判斷一般來(lái)說(shuō)，討論函數(shù)圖像的步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)觀察函數(shù)是否具有某些特征(奇偶性等)；(3)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，列表；(4)觀察函數(shù)是否有漸進(jìn)線，如果有，求出漸進(jìn)線；(5)求出函數(shù)的凸凹區(qū)間和拐點(diǎn)，列表；(6)確定一些特殊點(diǎn)，如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等.例3： 描繪函數(shù)的圖像.解： 定義域?yàn)?，值域?yàn)?是偶函數(shù)，圖形關(guān)于軸對(duì)稱.，令，解得駐點(diǎn)，令，解得.當(dāng)，函數(shù)值無(wú)限接近于0，即是漸近線.綜上，畫(huà)函數(shù)草圖如下：中學(xué)常采用微分學(xué)

8、知識(shí)作函數(shù)圖像，這里作為函數(shù)的一個(gè)極為重要的特征之凹凸性，利用函數(shù)凹凸性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系作圖會(huì)更準(zhǔn)確更簡(jiǎn)單.1.4采用微分中值定理證明方程根的存在性拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)（x）滿足如下條件： （） （x）在閉區(qū)間，上連續(xù)； （） （x）在開(kāi)區(qū)間（，）內(nèi)可導(dǎo)，則在（，）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f（）=fa-f(b)b-a. 運(yùn)用拉格朗日中值定理證明方程根的存在唯一性 例: 設(shè)（x）在0,1上可導(dǎo)，且0 （x） 1，又對(duì)于（0，1）內(nèi)的所有點(diǎn)x有（x）-1，證明方程（x） + x - 1 = 0在（0，1）內(nèi)有唯一實(shí)根 分析: 證明方程根的存在性就有可能用到介值定理. 在用介值定理證明問(wèn)題時(shí)，選取合適的

9、輔助函數(shù)可收到事半功倍的效果. 而在證明唯一性的時(shí)候較常用的方法就是反證法，所以本題證明思路就是先證存在性，再證唯一性 證明 先證存在性令F（x） = （x） + x - 1，則F（）在0，1上可導(dǎo) 因?yàn)? （x） 1 所以F（0） = f（0） - 1 0,F（1） = f（）0. (0<f(x)<1)由介值定理知F（x）在 （0,1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)， 即方程（x） + x - 1 = 0在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 再證唯一性（反證法） 設(shè)方程（x） + x - 1 = 0在 （0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根x1,和x2不妨設(shè)0 x1 x2 1有f（x1）=1 - x1，（x2） =

10、1 - x2，對(duì)（x）在x1，x2上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有（x1,x2），使 f（）=fx2-f(x1)x2-X1=1-x2-(1-x1)x2-X1=-1即在（0,1）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，有f（）=-1，這與題設(shè)f（x）-1矛盾，所以假設(shè)不成立，即方程f(x)+x-1=0在（0,1）內(nèi)有唯一實(shí)根. 唯一性得證拉格朗日中值定理是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要定理，是解決函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的重要工具.把這個(gè)定理與中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，這樣不僅可以使我們加深對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們更好的把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而能使高中生更好的理解這部分的知識(shí)，為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ). 1.5微分法在函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題

11、上的應(yīng)用 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí)用單調(diào)性的定義來(lái)處理單調(diào)性問(wèn)題有很強(qiáng)的技巧性，較難掌握好，而用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)便而且快捷. 例5: (2009年廣東卷文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是多少？分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求不等式和的解，則的解為單調(diào)增區(qū)間.    解：         令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.1.6微分法在曲線的切線問(wèn)題上的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)即為該函數(shù)在點(diǎn)（，）切線的斜率，利用這個(gè)我們可以求出

12、曲線的切線方程.例6：（2009福建卷理）若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)取值范圍是多少？解析：本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法.由題意可知，又因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線，所以這些題目都考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在填空題中也是一種典型題型，不容忽視.2.積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用定積分是新課標(biāo)中新加的內(nèi)容，課標(biāo)對(duì)定積分的定位如下：“（1）通過(guò)求曲邊梯形的面積、變力做功等實(shí)例，從問(wèn)題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)；（2）通過(guò)實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的含義；（3）了解微積分的文化價(jià)值可見(jiàn)，高中課程學(xué)習(xí)定積分，重在粗淺

13、地領(lǐng)略其主要思想和基本方法，從一些實(shí)例中初步認(rèn)識(shí)定積分的工具作用.2.1積分法在證明中學(xué)幾何公式的應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用的一些定理、公理都不加以證明，只用其結(jié)論.這些在高等數(shù)學(xué)中，利用微積分等知識(shí)就可以進(jìn)行推理，例如：祖恒定理的證明.我們可以用這些方法解決用其他數(shù)學(xué)方法難于處理的許多問(wèn)題.祖恒定理的證明:高中立體幾何中的祖恒定理只是作為公理進(jìn)行應(yīng)用，事實(shí)上，它無(wú)法用中學(xué)知識(shí)證明，而在高等數(shù)學(xué)中，用積分的理論可很容易地給出它的理論證明.例7：證明： 在夾兩個(gè)立體的兩平面的任一平面上，任取一點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)且垂直于這個(gè)平面的直線取為軸，并把射向另一個(gè)平面的方向記為軸的正向，把兩平行平面的距離記為

14、，設(shè)夾在這兩個(gè)平面之間的平行于這兩個(gè)平面的平面，截坐標(biāo)軸于，且截兩立體所得的截面面積分別為p(x)和q(x)，顯然p(x)與q(x)都是上的連續(xù)函數(shù)，設(shè)它們的體積分別用V1,V2表示，則： V1=0hp(x)dx V2 =0hq(x)dx· P(x)=q(x) · 0hpxdx=0hq(x)dx 即這兩個(gè)幾體的體積相等.另外，錐、臺(tái)、球等的面積、體積公式都可以由積分得到. 總之，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，其中微積分都扮演著重要的角色，它不但能解決初等數(shù)學(xué)中的諸多問(wèn)題，而且成為高等數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ).用微積分的知識(shí)解決初等數(shù)學(xué)難以解決的問(wèn)題.微積分的理論是研究高等數(shù)學(xué)

15、與中學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)系時(shí)不可或缺的部分，它對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有重要的指導(dǎo)作用.2.2用積分法證組合中的恒等式用導(dǎo)數(shù)或積分在解決初等數(shù)學(xué)難以證明(或無(wú)法證明)的命題(或定理),特別是一些多變量恒等式和超越不等式時(shí)有較大優(yōu)勢(shì).需要強(qiáng)調(diào)的是,在初等數(shù)學(xué)中,設(shè)“元”的方法是一種基本方法,而在利用導(dǎo)數(shù)與積分解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),構(gòu)造“輔助函數(shù)”的方法也是一種最常見(jiàn)的方法.其中用積分來(lái)證明恒等式能夠讓問(wèn)題變得更直觀更簡(jiǎn)單. 積知識(shí)證明恒等式的實(shí)質(zhì)是將等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而求導(dǎo)證明恒等關(guān)系，依據(jù)： 例8： 證明。    證明：設(shè)，則：    

16、0;                       故 又時(shí)，.從而 ，因此.原題得證.綜上所述,熟練掌握積分的性質(zhì)、定理及公式,巧妙的利用積分,對(duì)于解決一般的組合中恒等式的問(wèn)題,開(kāi)辟了一條新的途徑,不僅給常規(guī)解題方法注入了新鮮的血液,使其更有活力,也更有利于學(xué)生思維的發(fā)展,所以更要重視積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 2.3積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些簡(jiǎn)單運(yùn)算1.定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如

17、下性質(zhì)：性質(zhì)1 性質(zhì)2 （其中k是不為0的常數(shù)） （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3 （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4 （定積分的可加性質(zhì)）性質(zhì)4性質(zhì)12.微積分基本定理一般的，如果是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.可以把記作，即.3.定積分的求法（1）微積分基本定理（2）幾何意義法：例如（3）利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)求：若是-a,a上的奇函數(shù)，則；若是-a,a上的偶函數(shù)，則.例9：計(jì)算下列定積分（1）； （2） ； （3） ；解：（1） . （2） 因?yàn)?，所?.（3） 因?yàn)?，所?.積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中越來(lái)越重要，縱觀近幾年新課改 地區(qū)高考都牽涉到積分的內(nèi)容。主要在定積分的求法，定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用尤其是利用定積分求

18、面積上作文章.2.4積分在求平面區(qū)域的面積的應(yīng)用2.4.1連續(xù)曲線，軸二直線所圍成的曲邊梯形的面積.例10：（2008海南、寧夏卷理）由直線，曲線及軸所圍圖形的面積是多少？解：如圖，則此區(qū)域的面積2.42 如果平面區(qū)域是區(qū)間上的兩條連續(xù)曲線與（相交）及直線所圍成的，它的面積為例11：計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積？分析:兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到.ABCDO解：，所以兩曲線的交點(diǎn)為（0，0）、（1，1），面積S=，所以=在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個(gè)步驟：1.作圖象；2.求交點(diǎn)；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分.

19、有了微積分這樣的工具，學(xué)生們能更好的理解幾何中的一些公式，能更容易的解答出求函數(shù)極值，證明不等式，證明恒等式等方面的問(wèn)題.參考文獻(xiàn)：1杜忠芬，淺談微積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J，銅仁學(xué)院學(xué)報(bào)，2007,(S1) .2楊旭婷，.微分中值定理的教學(xué)實(shí)踐與探索J，甘肅高師學(xué)報(bào)，2011,(05).3包建廷，微積分在不等式中的應(yīng)用J，承德民族師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2003,(02) . 4聶晶品，微積分方法在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用J，高等函授學(xué)報(bào)，2009,(05).5鄒淑楨，論微積分在中等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J，懷化學(xué)院學(xué)報(bào)，2006,(05) .6華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析M（第二版）北京，高等教育出版社，2005.7丁向前，

20、微積分思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透J， 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008,(08) .8夏立標(biāo)，微分中值定理推廣與應(yīng)用的討論J，高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011, (06).9陳蔚，舒江，淺談微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J，科教文匯(中旬刊)，2007,(03) .10吳瓊揚(yáng)，淺談微積分方法在組合恒等式證明中的應(yīng)用J，新課程(教育學(xué)術(shù)), 2011,(04).11應(yīng)用微積分M(第一版)，大連理工大學(xué)出版社，2010.12微積分概念發(fā)展史,美卡爾·B. 波耶(Carl B. Boyer)M，復(fù)旦大學(xué)出版社，2007.6 .13 鄭玉琳. 微積分在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用J. 福建中學(xué)數(shù)學(xué), 2008,(1

21、0) . 14 袁秀萍,黃群賓.微積分在證明和式不等式中的應(yīng)用J. 宜賓學(xué)院學(xué)報(bào). 2006(06) 15 俞宏毓. 例說(shuō)微積分知識(shí)在解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用J. 高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 2006(02) Application of calculus in middle schools in solving mathematical problemsDepartment: Mathematics and Computational ScienceSpecialty: Mathematics and Applied MathematicsNumber: 09690137 Author: YinPei Tutor: Cai JiangtaoAbstract: Calculus is an important part of mathematics. The way of thinking and&#