DVD在線租賃問(wèn)題（課堂PPT）

1、主講教師：董慶來(lái)主講教師：董慶來(lái)20122012年年8 8月月9 9日日20122012年數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽暑期集訓(xùn)年數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽暑期集訓(xùn)系列講座之一系列講座之一DVDDVD在線租賃在線租賃CUMCM-2005B: DVDCUMCM-2005B: DVD在線租賃在線租賃命題人：余剛先生（教授）命題人：余剛先生（教授）l時(shí)任亞馬遜公司全球供應(yīng)鏈運(yùn)營(yíng)副總裁時(shí)任亞馬遜公司全球供應(yīng)鏈運(yùn)營(yíng)副總裁l曾任美國(guó)德州大學(xué)奧斯汀分校管理學(xué)院曾任美國(guó)德州大學(xué)奧斯汀分校管理學(xué)院Jack G. Taylor講席教授講席教授l獲多項(xiàng)美國(guó)專利，獲多項(xiàng)美國(guó)專利，1995年創(chuàng)建美國(guó)科萊科技公司年創(chuàng)建美國(guó)科萊科技公司(CALEBTec

2、hnologiesCorp.)并任董事長(zhǎng)和總裁并任董事長(zhǎng)和總裁l航班管理：航班管理：2001年為美國(guó)大陸航空公司所創(chuàng)造的價(jià)年為美國(guó)大陸航空公司所創(chuàng)造的價(jià)值超過(guò)值超過(guò)6000萬(wàn)美元，獲萬(wàn)美元，獲2002年運(yùn)籌學(xué)與管理科學(xué)應(yīng)用年運(yùn)籌學(xué)與管理科學(xué)應(yīng)用Franz Edelman獎(jiǎng)獎(jiǎng)(運(yùn)籌學(xué)與管理科學(xué)應(yīng)用的運(yùn)籌學(xué)與管理科學(xué)應(yīng)用的“世界世界杯杯”)CUMCM-2005B: DVDCUMCM-2005B: DVD在線租賃在線租賃網(wǎng)上網(wǎng)上DVD在線租賃業(yè)務(wù)（在線租賃業(yè)務(wù)（2005年時(shí)的背景）年時(shí)的背景）l亞馬遜英國(guó)公司亞馬遜英國(guó)公司(amazon.co.uk) ；美國(guó)；美國(guó)和和等；歐洲等；歐洲等著名公司等著名

3、公司l租賃的租賃的DVD多達(dá)幾萬(wàn)種，用戶多達(dá)幾十萬(wàn)多達(dá)幾萬(wàn)種，用戶多達(dá)幾十萬(wàn)幾百萬(wàn)，幾百萬(wàn)，有的包括多個(gè)配送中心有的包括多個(gè)配送中心l題目：會(huì)員每月最多可租賃兩次，每次張題目：會(huì)員每月最多可租賃兩次，每次張DVDl第（第（1）、（）、（2）問(wèn)：分別考慮購(gòu)買和分發(fā)子問(wèn)題）問(wèn)：分別考慮購(gòu)買和分發(fā)子問(wèn)題l第（第（3）問(wèn)：同時(shí)考慮購(gòu)買和分發(fā)）問(wèn)：同時(shí)考慮購(gòu)買和分發(fā)l第（第（4）問(wèn)：自己提出新問(wèn)題，嘗試建模和求解）問(wèn)：自己提出新問(wèn)題，嘗試建模和求解 二、問(wèn)題分析與建模 問(wèn)題一問(wèn)題一 網(wǎng)站購(gòu)買網(wǎng)站購(gòu)買DVDDVD的最優(yōu)數(shù)量的最優(yōu)數(shù)量在現(xiàn)有會(huì)員中隨機(jī)抽取在現(xiàn)有會(huì)員中隨機(jī)抽取10001000個(gè)會(huì)員進(jìn)行調(diào)查，以

4、得知愿意觀看不同個(gè)會(huì)員進(jìn)行調(diào)查，以得知愿意觀看不同DVDDVD的的人數(shù)（表人數(shù)（表1.11.1給出了其中給出了其中5 5種種DVDDVD的數(shù)據(jù)）。從歷史數(shù)據(jù)顯示，的數(shù)據(jù)）。從歷史數(shù)據(jù)顯示，60%60%的會(huì)員每的會(huì)員每月租賃月租賃DVDDVD兩次，而另外的兩次，而另外的40%40%只租一次。現(xiàn)在我們假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有只租一次?，F(xiàn)在我們假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有1010萬(wàn)個(gè)會(huì)萬(wàn)個(gè)會(huì)員，并已經(jīng)知道會(huì)員對(duì)員，并已經(jīng)知道會(huì)員對(duì)DVDDVD的需求，以及會(huì)員每月訂的需求，以及會(huì)員每月訂DVDDVD的規(guī)律。問(wèn)題是應(yīng)的規(guī)律。問(wèn)題是應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少?gòu)垼拍鼙ＷC希望看到該該至少準(zhǔn)備多少?gòu)?，才能保證希望看到該DVDDVD的會(huì)員中至少的會(huì)

5、員中至少50%50%在一個(gè)月內(nèi)在一個(gè)月內(nèi)能夠看到？如果要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少能夠看到？如果要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%95%的會(huì)員能夠看到呢？的會(huì)員能夠看到呢？表表1.1 1.1 對(duì)對(duì)10001000個(gè)會(huì)員調(diào)查的部分結(jié)果個(gè)會(huì)員調(diào)查的部分結(jié)果DVD名稱名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)愿意觀看的人數(shù)200100502510信息：信息： 數(shù)據(jù)是隨機(jī)抽取數(shù)據(jù)是隨機(jī)抽取10001000會(huì)員的調(diào)查數(shù)據(jù)會(huì)員的調(diào)查數(shù)據(jù) 每個(gè)會(huì)員每月至多租每個(gè)會(huì)員每月至多租2 2次次 每次租賃可租每次租賃可租3 3張（寄回可再租）；張（寄回可再租）； 4040會(huì)員每月租會(huì)員每月租1 1次，記作次，記作

6、A A類會(huì)員類會(huì)員1.1.6060會(huì)員每月租會(huì)員每月租2 2次，記作次，記作B B類會(huì)員類會(huì)員問(wèn)題：?jiǎn)栴}：至少要準(zhǔn)備多少?gòu)堉辽僖獪?zhǔn)備多少?gòu)圖VDDVD（上述（上述5 5種），才能保證：種），才能保證：希望看到該希望看到該DVDDVD的會(huì)員中至少的會(huì)員中至少5050能看到想看的能看到想看的DVDDVD？（一個(gè)月內(nèi)）？（一個(gè)月內(nèi)）希望看到該希望看到該DVDDVD的會(huì)員中至少的會(huì)員中至少9595能看到能看到DVDDVD？（三個(gè)月內(nèi)）（三個(gè)月內(nèi)）假設(shè)假設(shè):1、事先無(wú)法預(yù)測(cè)會(huì)員在本月訂事先無(wú)法預(yù)測(cè)會(huì)員在本月訂D v D 的次數(shù)的次數(shù)2、會(huì)員每次得到會(huì)員每次得到3 張張D V D3、假設(shè)假設(shè)60 % 的每

7、月租賃的每月租賃D V D 兩次的會(huì)員租賃的兩次的會(huì)員租賃的D V D 一個(gè)月內(nèi)可外借兩次一個(gè)月內(nèi)可外借兩次,而而40% 的每月租賃的每月租賃D V D 一次的會(huì)員租賃的一次的會(huì)員租賃的D V D 在一個(gè)月內(nèi)只能外借一在一個(gè)月內(nèi)只能外借一次次第第j 種種DVD 應(yīng)準(zhǔn)備數(shù)量（應(yīng)準(zhǔn)備數(shù)量（xj）每張光盤(pán)利用次數(shù)的期望（每張光盤(pán)利用次數(shù)的期望（E）=愿觀看人數(shù)（愿觀看人數(shù)（Pj）能看到該能看到該DVD 人數(shù)的比例（人數(shù)的比例（R）即即jjPxRE假設(shè)假設(shè):光盤(pán)第一次被每月租兩次的會(huì)員租的光盤(pán)第一次被每月租兩次的會(huì)員租的D V D 光盤(pán)一光盤(pán)一個(gè)月能利用兩次個(gè)月能利用兩次, 即可被兩個(gè)會(huì)員租到即可被兩

8、個(gè)會(huì)員租到, 被只租一次被只租一次的會(huì)員租的的會(huì)員租的D V D 光盤(pán)一個(gè)月只能利用一次光盤(pán)一個(gè)月只能利用一次每個(gè)光盤(pán)在一個(gè)月內(nèi)能利用次數(shù)的期望每個(gè)光盤(pán)在一個(gè)月內(nèi)能利用次數(shù)的期望E=2x60% + 1x 40% = 1.6 一個(gè)月的情況一個(gè)月的情況能看到該能看到該D V D 人數(shù)的比例人數(shù)的比例: R = 50 %調(diào)查的人數(shù)只占全部會(huì)員的調(diào)查的人數(shù)只占全部會(huì)員的1%, 所以數(shù)據(jù)按所以數(shù)據(jù)按100 倍擴(kuò)大倍擴(kuò)大將數(shù)值代入將數(shù)值代入jjPxRE三個(gè)月的情況三個(gè)月的情況每個(gè)光盤(pán)在三個(gè)月內(nèi)能利用的次數(shù)的期望每個(gè)光盤(pán)在三個(gè)月內(nèi)能利用的次數(shù)的期望53243222360%6(60%40%5+60%40% 4

9、)5+(60%40%3+60%40%3)4+40%34.44890E 由于能看到該由于能看到該D V D 人數(shù)的比例人數(shù)的比例: R = 95 % 將數(shù)將數(shù)值代入模型值代入模型求解并且把解向右取整求解并且把解向右取整jjPxRE問(wèn)題問(wèn)題1:1:網(wǎng)站購(gòu)買網(wǎng)站購(gòu)買DVDDVD的數(shù)量的數(shù)量( (x) )假設(shè)：每種假設(shè)：每種DVD獨(dú)立考慮（聯(lián)合考慮沒(méi)有足夠信息）獨(dú)立考慮（聯(lián)合考慮沒(méi)有足夠信息） 希望看到該希望看到該DVD的會(huì)員數(shù)量：確定？隨機(jī)！的會(huì)員數(shù)量：確定？隨機(jī)！ 保證保證一個(gè)月至少一個(gè)月至少P%有需求的會(huì)員能得到滿足有需求的會(huì)員能得到滿足? 會(huì)員希望看該會(huì)員希望看該DVD的概率為的概率為p網(wǎng)站的

10、會(huì)員總數(shù)為網(wǎng)站的會(huì)員總數(shù)為nn比較大，可用正態(tài)分布比較大，可用正態(tài)分布N(np, npq) 近似（近似（q=1-p） 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布N(n, p) 可近似認(rèn)為可近似認(rèn)為1個(gè)月該個(gè)月該DVD實(shí)際可用張數(shù)是實(shí)際可用張數(shù)是1.6x張張 一定置信水平下成立！一定置信水平下成立！問(wèn)題問(wèn)題1:1:網(wǎng)站購(gòu)買網(wǎng)站購(gòu)買DVDDVD的數(shù)量的數(shù)量( (x) ) 置信水平置信水平au1- a N(np, npq)a16 . 1*%PrxPa1%/6 . 1PrnpqnpPxnpqnp) 1 , 0( Nnpqnpa1%/6 . 1unpqnpPxa1*6 . 1%unpqnpPx問(wèn)題問(wèn)題1:1:網(wǎng)站購(gòu)買網(wǎng)站購(gòu)買DV

11、DDVD的數(shù)量的數(shù)量( (x) )a1*6 . 1%unpqnpPx 0.95; n=100000; P%=50%DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5合計(jì)p0.20.10.050.0250.01x62903155158579732312150 推廣到個(gè)月的模型推廣到個(gè)月的模型類似考慮：張類似考慮：張DVD在三個(gè)月內(nèi)可以用多少次？在三個(gè)月內(nèi)可以用多少次？歸還規(guī)律出借規(guī)律的探討將變得復(fù)雜一些，歸還規(guī)律出借規(guī)律的探討將變得復(fù)雜一些，一般需要在更多的假設(shè)下，才能得到（如還回網(wǎng)站一般需要在更多的假設(shè)下，才能得到（如還回網(wǎng)站的的DVD是否一定能馬上分給某個(gè)需要的會(huì)員？）是否一定能馬上分給某個(gè)

12、需要的會(huì)員？）問(wèn)題問(wèn)題1:1:網(wǎng)站購(gòu)買網(wǎng)站購(gòu)買DVDDVD的數(shù)量的數(shù)量( (x) ) 其他模型：其他模型：數(shù)值模擬（仿真）：需交代詳細(xì)過(guò)程數(shù)值模擬（仿真）：需交代詳細(xì)過(guò)程（歸還規(guī)律？出借規(guī)律）（歸還規(guī)律？出借規(guī)律）其他理解：例如認(rèn)為表中給出的只是初始時(shí)段其他理解：例如認(rèn)為表中給出的只是初始時(shí)段(一一個(gè)月或半個(gè)月個(gè)月或半個(gè)月)的需求，并進(jìn)一步假設(shè)以后時(shí)段的的需求，并進(jìn)一步假設(shè)以后時(shí)段的需求持續(xù)不變或按某種規(guī)律變化需求持續(xù)不變或按某種規(guī)律變化 （排隊(duì)論？隨機(jī)決策？）（排隊(duì)論？隨機(jī)決策？）需求上限：一定置信水平下得到上限需求上限：一定置信水平下得到上限M（x = P% * M / 1.6） 問(wèn)題二問(wèn)

13、題二 網(wǎng)站分發(fā)網(wǎng)站分發(fā)DVDDVD的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)有一定數(shù)量在現(xiàn)有一定數(shù)量DVDDVD的前提下，如何分配以使會(huì)員總的的前提下，如何分配以使會(huì)員總的滿意度最大。這與滿意度最大。這與“分配問(wèn)題分配問(wèn)題”或或“指派問(wèn)題指派問(wèn)題（Assignment problem）”有很多相同點(diǎn)。有很多相同點(diǎn)。我們可以通過(guò)一些變化來(lái)使求解我們可以通過(guò)一些變化來(lái)使求解“分配問(wèn)題分配問(wèn)題”的模型的模型能運(yùn)用于該問(wèn)題。能運(yùn)用于該問(wèn)題。 我們把問(wèn)題二中我們把問(wèn)題二中“100100個(gè)會(huì)員對(duì)個(gè)會(huì)員對(duì)DVDDVD的需求的需求” 理解理解為為“需要完成的需要完成的100100項(xiàng)任務(wù)項(xiàng)任務(wù)”，“2020種種DVDDVD數(shù)量數(shù)

14、量”理解理解為為“有有2020個(gè)人可以承擔(dān)這些任務(wù)個(gè)人可以承擔(dān)這些任務(wù)”，“會(huì)員對(duì)于不同會(huì)員對(duì)于不同DVDDVD的偏愛(ài)度的偏愛(ài)度”理解為理解為“不同人去完成不同工作的效不同人去完成不同工作的效率率”，通過(guò)類比就能把分配問(wèn)題的模型運(yùn)用到問(wèn)題二，通過(guò)類比就能把分配問(wèn)題的模型運(yùn)用到問(wèn)題二中了。中了。0-1規(guī)劃（最常見(jiàn)）規(guī)劃（最常見(jiàn)）分配問(wèn)題最常用的方法是分配問(wèn)題最常用的方法是0-10-1型整數(shù)規(guī)劃。在具體使用型整數(shù)規(guī)劃。在具體使用前，還需要將每個(gè)會(huì)員對(duì)不同前，還需要將每個(gè)會(huì)員對(duì)不同DVDDVD的偏愛(ài)度轉(zhuǎn)化為滿意的偏愛(ài)度轉(zhuǎn)化為滿意度。因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)是總體滿意度最大。度。因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)是總體滿意度最大。

15、 從表從表1.21.2中可以看到：會(huì)員的在線訂單用數(shù)字中可以看到：會(huì)員的在線訂單用數(shù)字1,2,1,2,表示，數(shù)字越小表示會(huì)員的偏愛(ài)程度越高，數(shù)表示，數(shù)字越小表示會(huì)員的偏愛(ài)程度越高，數(shù)字字0 0表示對(duì)應(yīng)的表示對(duì)應(yīng)的DVDDVD當(dāng)前不在會(huì)員的在線訂單中。通過(guò)當(dāng)前不在會(huì)員的在線訂單中。通過(guò)觀察我們用一個(gè)大于觀察我們用一個(gè)大于9 9的固定數(shù)值來(lái)減偏愛(ài)數(shù)的固定數(shù)值來(lái)減偏愛(ài)數(shù), ,把這個(gè)把這個(gè)差值作為滿意度。差值作為滿意度。1、設(shè)矩陣、設(shè)矩陣B為偏愛(ài)度矩陣，矩陣中的元素為偏愛(ài)度矩陣，矩陣中的元素bij為表為表1.2中中的偏愛(ài)數(shù)，表示第的偏愛(ài)數(shù)，表示第i個(gè)會(huì)員對(duì)個(gè)會(huì)員對(duì)DVDj的偏愛(ài)數(shù)。的偏愛(ài)數(shù)。bij越小

16、越小表示會(huì)員的滿意程度越高，表示會(huì)員的滿意程度越高，bij為為1時(shí)最高，時(shí)最高，bij為為0時(shí)表時(shí)表示客戶沒(méi)有下訂單。于是就得到了偏愛(ài)度矩陣示客戶沒(méi)有下訂單。于是就得到了偏愛(ài)度矩陣 2、設(shè)矩陣、設(shè)矩陣A為滿意度矩陣，矩陣中的元素為滿意度矩陣，矩陣中的元素aij為滿意為滿意度，表示第度，表示第i個(gè)會(huì)員對(duì)第個(gè)會(huì)員對(duì)第DVDj 的滿意度。的滿意度。 可通過(guò)如可通過(guò)如下算法獲得：下算法獲得： 20, 3 , 2 , 1;100, 3 , 2 , 120100 jibBij 20, 3 , 2 , 1;100, 3 , 2 , 100010 jibabbaijijijijij3、用、用0-1變量變量xi

17、j表示表示DVDj是否分配給第是否分配給第i個(gè)會(huì)員個(gè)會(huì)員4、用、用wj表示表示DVDj的現(xiàn)有數(shù)量的現(xiàn)有數(shù)量jiijwx 1001ijijxa5、用、用0-1變量變量yi表示第表示第i個(gè)用戶是否得到個(gè)用戶是否得到DVD2013ijijxy由以上分析可得問(wèn)題二的模型：由以上分析可得問(wèn)題二的模型：10020111001201max31,2,3,1000,1,0,11,2,3,100;1,2,3,20ijijijijijijjiijijijiZa xxaxwxyixyijLLL用用LINGO LINGO 數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)對(duì)此題數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)對(duì)此題0-10-1規(guī)劃模型的求解規(guī)劃模型的求解答卷中的問(wèn)題：答卷中的

18、問(wèn)題： 目標(biāo)定義不合理目標(biāo)定義不合理 約束不完整約束不完整 軟件使用不當(dāng)軟件使用不當(dāng)(LINGO求解容易求解容易,Why?) 問(wèn)題二問(wèn)題二 網(wǎng)站分發(fā)網(wǎng)站分發(fā)DVDDVD的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型貪婪算法貪婪算法( 求近似解求近似解)Step1: 對(duì)于庫(kù)存的對(duì)于庫(kù)存的100 種光盤(pán)種光盤(pán), 首先滿足所有對(duì)它偏愛(ài)首先滿足所有對(duì)它偏愛(ài)順序?yàn)轫樞驗(yàn)?的會(huì)員的需要的會(huì)員的需要, 即將每種光盤(pán)分配給所有對(duì)其偏即將每種光盤(pán)分配給所有對(duì)其偏愛(ài)順序?yàn)閻?ài)順序?yàn)? 會(huì)員會(huì)員, 如果該光盤(pán)的數(shù)目偏少無(wú)法完成此次分如果該光盤(pán)的數(shù)目偏少無(wú)法完成此次分配配, 則先分配給其中編號(hào)較小的那些會(huì)員則先分配給其中編號(hào)較小的那些會(huì)員;St

19、ep2: 對(duì)于剩余光盤(pán)對(duì)于剩余光盤(pán), 再優(yōu)先滿足對(duì)它偏愛(ài)順序?yàn)樵賰?yōu)先滿足對(duì)它偏愛(ài)順序?yàn)? 的的會(huì)員需要會(huì)員需要, 同樣地同樣地, 如果該光盤(pán)的數(shù)目偏少無(wú)法完成此如果該光盤(pán)的數(shù)目偏少無(wú)法完成此次分配次分配, 則先分配給其中編號(hào)較小的那些會(huì)員則先分配給其中編號(hào)較小的那些會(huì)員;Step 3 :依此類推分配下去依此類推分配下去, 在在Step 3 以后分配時(shí)以后分配時(shí),己經(jīng)擁有己經(jīng)擁有3 張光盤(pán)的會(huì)員不參加分配張光盤(pán)的會(huì)員不參加分配Step 11 : 如果還有剩下的光盤(pán)如果還有剩下的光盤(pán), 隨機(jī)分配給尚未分隨機(jī)分配給尚未分滿的會(huì)員滿的會(huì)員, 分配結(jié)束分配結(jié)束這種貪婪算法計(jì)算量較小這種貪婪算法計(jì)算量較小

20、, 速度很快。由于上述步速度很快。由于上述步驟盡量保證了偏愛(ài)程度較高的匹配驟盡量保證了偏愛(ài)程度較高的匹配, 可以保證結(jié)果可以保證結(jié)果的近似最優(yōu)的近似最優(yōu)模型二：網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型模型二：網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型 最小費(fèi)用最大流最小費(fèi)用最大流12n12m3,0cj,0st, 1ija會(huì)員會(huì)員DVDaij=aij (aij 0)aij=M (aij =0)(或沒(méi)有弧或沒(méi)有弧)存在多項(xiàng)式時(shí)間算法存在多項(xiàng)式時(shí)間算法兩個(gè)模型等價(jià)嗎兩個(gè)模型等價(jià)嗎? 上海交大上海交大 問(wèn)題二問(wèn)題二 網(wǎng)站分發(fā)網(wǎng)站分發(fā)DVDDVD的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造加權(quán)有向圖構(gòu)造加權(quán)有向圖G V,E :點(diǎn)集點(diǎn)集V=source，C1,C2 ,C1000,D

21、1,D2, ,D100,terminal，其中，其中， Ci (1i1000)代表第代表第i個(gè)會(huì)員，個(gè)會(huì)員，Dj(1j100)代代表第表第j張張DVD盤(pán)，盤(pán)，source為網(wǎng)絡(luò)流的源點(diǎn)，為網(wǎng)絡(luò)流的源點(diǎn)，terminal為網(wǎng)絡(luò)流的匯點(diǎn)。為網(wǎng)絡(luò)流的匯點(diǎn)。在在source與所有的與所有的 Ci之間添加有向邊之間添加有向邊(source，Ci )， (1i1000) ，該邊具有容量，該邊具有容量3，單位流量費(fèi)用為，單位流量費(fèi)用為0；在所有在所有Dj與與terminal之間添加有向邊之間添加有向邊( Dj，terminal)，(1 j100) ，該邊的容量為第，該邊的容量為第j種種DVD的現(xiàn)有數(shù)量，單的

22、現(xiàn)有數(shù)量，單位流量費(fèi)用為位流量費(fèi)用為0根據(jù)題目中訂單，若第根據(jù)題目中訂單，若第i個(gè)會(huì)員預(yù)訂了第個(gè)會(huì)員預(yù)訂了第j種種DVD，則添加有向邊則添加有向邊(Ci ，Dj)，該邊的容量為，該邊的容量為1，單位流量，單位流量費(fèi)用為該會(huì)員對(duì)該種費(fèi)用為該會(huì)員對(duì)該種DVD 的偏愛(ài)值的偏愛(ài)值考慮到現(xiàn)實(shí)中，考慮到現(xiàn)實(shí)中，DVD 的個(gè)數(shù)為整數(shù)，我們規(guī)定圖的個(gè)數(shù)為整數(shù)，我們規(guī)定圖1中中G所有邊的流量為整數(shù)。因此，圖所有邊的流量為整數(shù)。因此，圖1中中G是一個(gè)整是一個(gè)整數(shù)流量的最小費(fèi)用最大流模型。數(shù)流量的最小費(fèi)用最大流模型。建立的圖論模型，其最小費(fèi)用最大流恰好表示了滿建立的圖論模型，其最小費(fèi)用最大流恰好表示了滿足上述最大滿

23、意度定義的分配方案，而最小費(fèi)用恰足上述最大滿意度定義的分配方案，而最小費(fèi)用恰恰代表著最大滿意度恰代表著最大滿意度王成王成, 文野文野, 俞寅濤俞寅濤, DVD租賃問(wèn)題的模型設(shè)計(jì)及求租賃問(wèn)題的模型設(shè)計(jì)及求解解,工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 7(22): 92-100在一定的假設(shè)下，把問(wèn)題近似分解成前面考慮過(guò)的購(gòu)買和分發(fā)兩個(gè)子在一定的假設(shè)下，把問(wèn)題近似分解成前面考慮過(guò)的購(gòu)買和分發(fā)兩個(gè)子問(wèn)題。例如，有的論文先根據(jù)會(huì)員訂單統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。例如，有的論文先根據(jù)會(huì)員訂單統(tǒng)計(jì)DVD的需求情況，確定的需求情況，確定DVD購(gòu)買量，然后用前一問(wèn)中建立的模型進(jìn)行第一次分發(fā)，再對(duì)網(wǎng)站購(gòu)買量，然后用前一問(wèn)中建立的模

24、型進(jìn)行第一次分發(fā)，再對(duì)網(wǎng)站是否知道哪些會(huì)員租賃兩次作出一定假設(shè)，進(jìn)行第二次分發(fā)。是否知道哪些會(huì)員租賃兩次作出一定假設(shè)，進(jìn)行第二次分發(fā)。有的論文對(duì)前一問(wèn)中建立的模型進(jìn)行一定修改，建立購(gòu)買和分發(fā)統(tǒng)一有的論文對(duì)前一問(wèn)中建立的模型進(jìn)行一定修改，建立購(gòu)買和分發(fā)統(tǒng)一的多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，且同時(shí)考慮兩次分發(fā)和服務(wù)水平約束，不過(guò)的多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，且同時(shí)考慮兩次分發(fā)和服務(wù)水平約束，不過(guò)往往在二次分配和服務(wù)水平約束方面考慮有些缺陷。往往在二次分配和服務(wù)水平約束方面考慮有些缺陷?？紤]到一個(gè)月內(nèi)可能一個(gè)會(huì)員要發(fā)貨兩次，這又是一個(gè)多階段的決策考慮到一個(gè)月內(nèi)可能一個(gè)會(huì)員要發(fā)貨兩次，這又是一個(gè)多階段的決策問(wèn)題，建立隨機(jī)決策模型并尋找最優(yōu)決策是可能的（例如采用馬氏決問(wèn)題，建立隨機(jī)決策模型并尋找最優(yōu)決策是可能的（例如采用馬氏決策方法），但由于后一階段決策時(shí)需要考慮前一階段哪些會(huì)員歸還了策方法），但由于后一階段決策時(shí)需要考慮前一階段哪些會(huì)員歸還了哪些哪些DVD，因此這樣建立模型的難度較大，評(píng)委們?cè)谠u(píng)閱中幾乎沒(méi)有，因此這樣建立模型的難度較大，評(píng)委們?cè)谠u(píng)閱中幾乎沒(méi)有見(jiàn)到非常成功的論文。見(jiàn)到非常成功的論文。采用