143正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

1、1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象整體設計教學分析 本節(jié)課的背景是:這之前我們已經(jīng)用了三節(jié)課的時間學習了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般來說,對函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖象,通過觀察圖象獲得對函數(shù)性質(zhì)的直觀認識,然后再從代數(shù)的角度對性質(zhì)作出嚴格表述.但對正切函數(shù),教科書換了一個新的角度,采取了先根據(jù)已有的知識(如正切函數(shù)的定義、誘導公式、正切線等)研究性質(zhì),然后再根據(jù)性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖象.這樣處理,主要是為了給學生提供研究數(shù)學問題更多的視角,在性質(zhì)的指導下可以更加有效地作圖、研究圖象,加強了理性思考的成分,并使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得更加全面.教師要在學

2、生探究活動過程中引導學生體會這種解決問題的方法. 通過多媒體教學,讓學生通過對圖象的動態(tài)觀察,對知識點的理解更加直觀、形象.以提高學生的學習興趣,提高課題教學質(zhì)量.從學生的實際情況為教學出發(fā)點,通過各種數(shù)學思想的滲透,合理運用各種教學課件,逐步培養(yǎng)學生養(yǎng)成學會通過對圖象的觀察來整理相應的知識點的能力,學會運用數(shù)學思想解決實際問題的能力.這樣既加強了類比這一重要數(shù)學思想的培養(yǎng),也有利于學生綜合運用能力的提高,有利于學生把新舊知識前后聯(lián)系,融會貫通,提高教學效果.由于學生已經(jīng)有了研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗,這種經(jīng)驗完全可以遷移到對正切函數(shù)性質(zhì)的研究中,因此,我們可以通過“探究”提出,

3、引導學生根據(jù)前面的經(jīng)驗研究正切函數(shù)的性質(zhì),讓學生深刻領悟這種遷移與類比的學習方法.三維目標1.通過對正切函數(shù)的性質(zhì)的研究,注重培養(yǎng)學生類比思想的養(yǎng)成,以及培養(yǎng)學生綜合運用新舊知識的能力.學會通過對圖象的觀察來整理相應的知識點,學會運用數(shù)學思想解決實際問題的能力.2.在學習了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎上,運用類比的方法,學習正切函數(shù)的圖象與性質(zhì),從而培養(yǎng)學生的類比思維能力.3.通過正切函數(shù)圖象的教學,培養(yǎng)學生欣賞(中心)對稱美的能力,激發(fā)學生熱愛科學、努力學好數(shù)學的信心.重點難點教學重點:正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象的簡單應用.教學難點:正切函數(shù)性質(zhì)的深刻理解及其簡單應用.課時安排1課時教學過

4、程導入新課 思路1.(直接導入)常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù),前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗,以同樣的方法研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)？由此展開新課. 思路2.先由圖象開始,讓學生先畫正切線,然后類比正弦、余弦函數(shù)的幾何作圖法來畫出正切函數(shù)的圖象.這也是一種不錯的選擇,這是傳統(tǒng)的導入法.推進新課新知探究提出問題我們通過畫正弦、余弦函數(shù)圖象探究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì).正切函數(shù)是我們高中要學習的最后一個基本初等函數(shù).你能運用類比的方法先探究出正切函數(shù)的性質(zhì)嗎？都研究函數(shù)的哪幾個方面的性質(zhì)？我們學習了正弦線、余弦線、正切線.你能畫出四個象限的正切

5、線嗎？我們知道作周期函數(shù)的圖象一般是先作出長度為一個周期的區(qū)間上的圖象,然后向左、右擴展,這樣就可以得到它在整個定義域上的圖象.那么我們先選哪一個區(qū)間來研究正切函數(shù)呢？為什么？我們用“五點法”能簡捷地畫出正弦、余弦函數(shù)的簡圖,你能畫出正切函數(shù)的簡圖嗎？你能類比“五點法”也用幾個字總結(jié)出作正切簡圖的方法嗎？ 活動:問題,教師先引導學生回憶:正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)是從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性這幾個方面來研究的,有了這些知識準備,然后點撥學生也從這幾個方面來探究正切函數(shù)的性質(zhì).由于還沒有作出正切函數(shù)圖象,教師指導學生充分利用正切線的直觀性.(1)周期性由誘導公式tan(x+)=tanx,x

6、R,x+k,kZ 可知,正切函數(shù)是周期函數(shù),周期是. 這里可通過多媒體課件演示,讓學生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性,直觀理解正切函數(shù)的周期性,后面的正切函數(shù)圖象作出以后,還可從圖象上觀察正切函數(shù)的這一周期性.(2)奇偶性由誘導公式tan(-x)=-tanx,xR,x+k,kZ 可知,正切函數(shù)是奇函數(shù),所以它的圖象關于原點對稱.教師可進一步引導學生通過圖象還能發(fā)現(xiàn)對稱點嗎？與正余弦函數(shù)相對照,學生會發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)也是中心對稱函數(shù),它的對稱中心是(,0)kZ.(3)單調(diào)性 通過多媒體課件演示,由正切線的變化規(guī)律可以得出,正切函數(shù)在(,)內(nèi)是增函數(shù),又由正切函數(shù)的周期性可知,正切函數(shù)在開區(qū)間

7、(+k,+k),kZ內(nèi)都是增函數(shù).(4)定義域 根據(jù)正切函數(shù)的定義tan=,顯然,當角的終邊落在y軸上任意一點時,都有x=0,這時正切函數(shù)是沒有意義的；又因為終邊落在y軸上的所有角可表示為k+,kZ,所以正切函數(shù)的定義域是|k+,kZ,而不是+2k,kZ,這個問題不少初學者很不理解,在解題時又很容易出錯,教師應提醒學生注意這點,深刻明了其內(nèi)涵本質(zhì).(5)值域 由多媒體課件演示正切線的變化規(guī)律,從正切線知,當x大于且無限接近時,正切線AT向Oy軸的負方向無限延伸;當x小于且無限接近時,正切線AT向Oy軸的正方向無限延伸.因此,tanx在(,)內(nèi)可以取任意實數(shù),但沒有最大值、最小值.因此,正切函數(shù)

8、的值域是實數(shù)集R.問題,教師引導學生作出正切線,并觀察它的變化規(guī)律,如圖1.圖1 問題,正切函數(shù)圖象選用哪個區(qū)間作為代表區(qū)間更加自然呢？教師引導學生在課堂上展開充分討論,這也體現(xiàn)了“教師為主導,學生為主體”的新課改理念.有的學生可能選取了0,作為正切函數(shù)的周期選取,這正是學生作圖的真實性的體現(xiàn).此時,教師應調(diào)整計劃,把課件中先作出-,內(nèi)的圖象,改為先作出0,內(nèi)的圖象,再進行圖象的平移,得到整個定義域內(nèi)函數(shù)的圖象,讓學生觀察思考.最后由學生來判斷究竟選用哪個區(qū)間段內(nèi)的函數(shù)圖象既簡單又能完全體現(xiàn)正切函數(shù)的性質(zhì),讓學生通過分析得到先作區(qū)間(-,)的圖象為好.這時條件成熟,教師引導學生來作正切函數(shù)的圖

9、象,如圖2.根據(jù)正切函數(shù)的周期性,把圖2向左、右擴展,得到正切函數(shù)y=tanx,xR,且x+k(kZ)的圖象,我們稱正切曲線,如圖3. 圖2 圖3 問題,教師引導學生觀察正切曲線,點撥學生討論思考,只需確定哪些點或線就能畫出函數(shù)y=tanx,x(,)的簡圖.學生可看出有三個點很關鍵:(,-1),(0,0),(,1),還有兩條豎線.因此,畫正切函數(shù)簡圖的方法就是:先描三點(,-1),(0,0),(,1),再畫兩條平行線x=,x=,然后連線.教師要讓學生動手畫一畫,這對今后解題很有幫助.討論結(jié)果:略.正切線是AT.略.能,“三點兩線”法.提出問題 請同學們認真觀察正切函數(shù)的圖象特征,由數(shù)及形從正切

10、函數(shù)的圖象討論它的性質(zhì). 設問:每個區(qū)間都是增函數(shù),我們可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？請舉一個例子. 活動:問題,從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=+k,kZ所隔開的無窮多支曲線組成的.教師引導學生進一步思考,這點反應了它的哪一性質(zhì)定義域；并且函數(shù)圖象在每個區(qū)間都無限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數(shù)的什么線漸近線；從y軸方向看,上下無限延伸,得到它的哪一性質(zhì)值域為R；每隔個單位,對應的函數(shù)值相等,得到它的哪一性質(zhì)周期;在每個區(qū)間圖象都是上升趨勢,得到它的哪一性質(zhì)單調(diào)性,單調(diào)增區(qū)間是(+k,+k),kZ,沒有減區(qū)間.它的圖象是關于原點對稱的,得到是哪一性質(zhì)奇函

11、數(shù).通過圖象我們還能發(fā)現(xiàn)是中心對稱,對稱中心是(,0),kZ. 問題,正切函數(shù)在每個區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù).如在區(qū)間(0,)上就沒有單調(diào)性.討論結(jié)果:略.略.應用示例例1 比較大小.(1)tan138°與tan143°；(2)tan()與tan(). 活動:利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小,可以先利用誘導公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角,然后再比較大小.教師可放手讓學生自己去探究完成,由學生類比正弦、余弦函數(shù)值的大小比較,學生不難解決,主要是訓練學生鞏固本節(jié)所學的基礎知識,加強類比思想的運用.解:(1)y=tanx在

12、90°<x<180°上為增函數(shù),由138°<143°,得tan138°<tan143°.(2)tan()=-tan=-tan(3+)=-tan,tan()=-tan=-tan(3+)=-tan.又0<<<,而y=tanx在(0, )上是增函數(shù),tan<tan.-tan>-tan,即tan()>tan(). 點評:不要求學生強記正切函數(shù)的性質(zhì),只要記住正切函數(shù)的圖象或正切線即可.例2 用圖象求函數(shù)y=的定義域. 活動:如圖4,本例的目的是讓學生熟悉運用正切曲線來解題.不足之處在

13、于本例可以通過三角函數(shù)線來解決,教師在引導學生探究活動中,也應以兩種方法提出解決方案,但要有側(cè)重點,應體現(xiàn)函數(shù)圖象應用的重要性. 圖4 圖5解:由tanx-0,得tanx,利用圖4知,所求定義域為k+,k+)(kZ).點評:先在一個周期內(nèi)得出x的取值范圍,然后再加周期即可,亦可利用單位圓求解,如圖5.本節(jié)的重點是正切線,但在今后解題時,學生哪種熟練就用哪種.變式訓練 根據(jù)正切函數(shù)的圖象,寫出使下列不等式成立的x的集合. (1)1+tanx0;(2)tanx+30. 解:(1)tanx-1,xk-,k+),kZ;(2)xk-,k-),kZ.例3 求函數(shù)y=tan(x+)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.

14、 活動:類比正弦、余弦函數(shù),本例應用的是換元法,由于在研究正弦、余弦函數(shù)的類似問題時已經(jīng)用過換元法,所以這里也就不用再介紹換元法,可以直接將x+作為一個整體.教師可讓學生自己類比地探究,只是提醒學生注意定義域.解:函數(shù)的自變量x應滿足x+k+,kZ,即x2k+,kZ.所以函數(shù)的定義域是x|x2k+,kZ.由于f(x)=tan(x+)=tan(x+)=tan(x+2)+ =f(x+2),因此,函數(shù)的周期為2.由-+k<x+<+k,kZ,解得+2k<x<+2k,kZ.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(+2k,+2k),kZ. 點評:同y=Asin(x+)(>0)的周期性的研

15、究一樣,這里可引導學生探究y=Atan(x+)(>0)的周期T=.變式訓練 求函數(shù)y=tan(x+)的定義域,值域,單調(diào)區(qū)間,周期性.解:由x+k+,kZ可知,定義域為x|xR且xk+,kZ.值域為R.由x+(k-,k+),kZ可得,在x(k-,k+)上是增函數(shù).周期是,也可看作由y=tanx的圖象向左平移個單位得到,其周期仍然是.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的順序排列,并說明理由. 活動:引導學生利用函數(shù)y=tanx的單調(diào)性探究解題方法.也可利用單位圓中的正切線探究解題方法.但要提醒學生注意本節(jié)中活動的結(jié)論:正切函數(shù)在定義域內(nèi)的每個區(qū)間上都是增函數(shù),但我們

16、不可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù).學生可能的錯解有: 錯解1:函數(shù)y=tanx是增函數(shù),又1<2<3<4,tan1<tan2<tan3<tan4. 錯解2:2和3的終邊在第二象限,tan2,tan3都是負數(shù).1和4的終邊分別在第一和第三象限,tan1,tan4都是正數(shù). 又函數(shù)y=tanx是增函數(shù),且2<3,1<4,tan2<tan3<tan1<tan4. 教師可放手讓學生自己探究問題的解法.發(fā)現(xiàn)錯解后不要直接糾正,立即給出正確解法,可再讓學生討論分析找出錯的原因.圖6解法一:函數(shù)y=tanx在區(qū)間(,)上是單調(diào)遞增函數(shù),

17、且tan1=tan(+1),又<2<3<4<+1<,tan2<tan3<tan4<tan1.解法二:如圖6,1,2,3,4的正切函數(shù)線分別是AT1,AT2,AT3,AT4,tan2<tan3<tan4<tan1. 點評:本例重在讓學生澄清正切函數(shù)單調(diào)性問題,這屬于學生易錯點.把正切函數(shù)y=tanx的單調(diào)性簡單地說成“在定義域內(nèi)是增函數(shù)”是不對的.知能訓練課本本節(jié)練習15.解答:1.在x軸上任取一點O1,以O1為圓心,單位長為半徑作圓,作垂直于x軸的直徑,將O1分成左右兩個半圓,過右半圓與x軸的交點作O1的切線,然后從圓心O1引7

18、條射線把右半圓分成8等份,并與切線相交,得到對應于,0,等角的正切線.相應地,再把x軸上從到這一段分成8等份.把角x的正切線向右平行移動,使它的起點與x軸上的點x重合,再把這些正切線的終點用光滑的曲線連結(jié)起來,就得到函數(shù)y=tanx,x(,)的圖象.點評:可類比正弦函數(shù)圖象的作法.2.(1)x|k<x<+k,kZ;(2)x|x=k,kZ;(3)x|+k<x<k,kZ.點評:只需根據(jù)正切曲線寫出結(jié)果,并不要求解三角方程或三角不等式.3.x+,kZ.點評:可用換元法.4.(1) ;(2)2.點評:可根據(jù)函數(shù)圖象得解,也可直接由函數(shù)y=Atan(x+),xR的周期T=得解.5.(1)不是.例如0<,但tan0=tan=0.