小升初第三講——專題訓(xùn)練之?dāng)?shù)論問題

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文檔小升初專項訓(xùn)練-數(shù)論戳妙教學(xué)且標(biāo))數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中 的皇冠”。翻開任何一本數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書，數(shù)論的容都占據(jù)了不少的版面。在小升初擇?？?試及小學(xué)各類數(shù)學(xué)競賽中，直接運用數(shù)論知識解題的題目分值大概占據(jù)整試卷總分的 12%左右，小學(xué)階段的數(shù)論知識點主要有：1、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)2、數(shù)的整除特征及整除性質(zhì)3、余數(shù)的性質(zhì)、同余問題4、位值原理5、最值問題乂吳知識梳理)知識點一：質(zhì)數(shù)與合數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)1. 質(zhì)數(shù)與合數(shù)突破要點一一質(zhì)數(shù)合數(shù)分清楚，2是唯一偶質(zhì)數(shù)(1) 質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了 1和它本身以外，沒有其他的因數(shù)，

2、這樣的數(shù)統(tǒng)稱質(zhì)數(shù)。(2) 合數(shù)：一個數(shù)除了 1和它本身以外，還有其他的因數(shù)，這樣的數(shù)統(tǒng)稱合數(shù)。 例如：4、6、8、10、12、14，都是合數(shù)。在 100 以有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 共 25 個質(zhì)數(shù)2約數(shù)與倍數(shù)公因數(shù)短除法到一個不能除為止，公倍數(shù)除到?？菔癄€為止，因數(shù)有限個，倍數(shù)無窮多。 如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。如果一 個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公約數(shù)。 在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干

3、個自然數(shù)的最大公約數(shù)。自然數(shù)al，a2，an的最大公約數(shù)通常用符號(al，a2，an)表示，例如，(6，9， 15) =3 o3 質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)(1 )如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就是說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。(2) 把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如，把42分解質(zhì)因數(shù)，即是42=2 X3 X7。其中2、3、7叫做42的質(zhì)因數(shù)。 又如，50=2 X5 X5，2、5都叫做50的質(zhì)因數(shù)。4、要注意以下幾條：(1) 1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。(2 )質(zhì)數(shù)有無限多個，最小的質(zhì)數(shù)是 2。(3) 在質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，其余的質(zhì)數(shù)全是奇數(shù)。(4 )合數(shù)有無限多個。最小的合數(shù)

4、是 4。(5)每個合數(shù)至少有三個約數(shù)：1、它本身、其他約數(shù)。例如，8的約數(shù)除1和8外, 還有2、4，所以8是合數(shù)。知識點二：數(shù)的整除特征及整除性質(zhì)突破要點牢記特征是關(guān)鍵，常見特征背5遍，先看末尾再看和，然后分段求結(jié)果數(shù)的整除特征(1) 2 末尾是 0、2、4、6、8(2) 3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)(3) 5末尾是0或5(4) 9各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)(5) 11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)(6) 4和25末兩位數(shù)是4 (或25 )的倍數(shù)(7) 8和125末三位數(shù)是8 (或125 )的倍數(shù)(8) 7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是 7 (或11或13)的倍

5、數(shù)知識點三：余數(shù)的性質(zhì)、同余問題1. 帶余除法一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(b丸)，那么一定有另外兩個整數(shù)q和r, 0<rv b,使得 a=b Xq+r當(dāng)r=0時，我們稱a能被b整除。當(dāng)r丸)時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商(亦簡稱為商)。用帶余數(shù)除式又可以表示為a*b=q r,0<rv ba=b Xq+r2. 同余定理 同余定義：若兩個整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對于模 m 同余，用式子表示為 ab(modm) 若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。 兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除

6、以 m的余數(shù)和。 兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以 m的余數(shù)差。 兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以 m的余數(shù)積。知識點四：位值原理按位拆分：+ frx 1 o24 少 101+ rfx iofl打包拆分：abcdab 103+cx 1 Ql+dx 10°知識點五：最值問題知識點六：數(shù)論解題的常用方法枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對、估計參特色亍初題目類型一：質(zhì)數(shù)與合數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)例題1 :甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，那么乙數(shù)是例題2 :兩個整數(shù)A、B的最大公約數(shù)是C,最小公倍數(shù)是D，并且已知C不等于1,也不等于A或B，C+D=18

7、7，那么A+B等于多少？練習(xí)1:五個連續(xù)自然數(shù)，每個數(shù)都是合數(shù)，這五個連續(xù)自然數(shù)的和最小是練習(xí)2 :長方體的右面和上面的面積之和為 91平方厘米，它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，則這個長方體的體積為（）立方厘米或（）立方厘米題目類型二：數(shù)的整除特征及整除性質(zhì)例題：有 四位數(shù)滿足下列條件：它的各位數(shù)字都是奇數(shù)；它的各位數(shù)字互不相同; 它的每個數(shù)字都能整除它本身。練習(xí)1、在1100這100個自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？練習(xí)2、在所有的三位數(shù)中，是 7的倍數(shù)，但不是2、3、4、5、6的倍數(shù)的數(shù)有. 個。題目類型三：余數(shù)的性質(zhì)、同余問題例題140 , 225 , 293被某大于1的自然數(shù)除，所得

8、余數(shù)都相同。2002除以這個自然數(shù)的余數(shù)是.練習(xí)1、有3個吉利數(shù)888 , 518 , 666，用它們分別除以同一個自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為a,a+7,a+10,則這個自然數(shù)是 .練習(xí)2、某個兩位數(shù)加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1,這個兩位數(shù)是.題目類型四：位置原理例題：如果在一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之間添寫一個零，那么所得的三位數(shù)是原來的數(shù)的9倍，問這個兩位數(shù)是 。練習(xí)1 : AABB表示一個完全平方數(shù)，A、B代表什么數(shù)字時，這個四位數(shù)是完全平方數(shù)符合條件的四位數(shù)是練習(xí)2 :將三位數(shù)3ab重復(fù)寫下去，一共寫1993個3ab，所得的數(shù)正好能被91整除,求ab.題目類型五：

9、最值問題例題：甲、乙、丙代表互不相同的3個正整數(shù)，并且滿足：甲x甲=乙+乙=丙x 那么 甲最小是練習(xí)1:將整數(shù)19分成多個整數(shù)的和，且使這些整數(shù)的乘積最大，那么乘積的最大值是練習(xí)2 :已知2009乘以整數(shù)A所得結(jié)果的最后五位全為9，那么滿足此條件的最小整數(shù)是.當(dāng)堂練習(xí)基礎(chǔ)演練1、有甲、乙、丙三個，甲每3天更新一次，乙每五5天更新一次，丙每7天更新一次。2004年元旦三個同時更新，下一次同時更新是在 _月日？2、在2009后面補上三個數(shù)字，組成一個七位數(shù) 2009 口 ，使得這個七位數(shù)能被2，3，4，5，6整除，那么當(dāng)補上的三個數(shù)字的和最大時，所補的三個數(shù)字是 。3、一本書，如果每天讀50頁，那

10、么5天讀不完，6天又有余；如果每天讀70頁，那么3天讀不完，4天又有余；如果每天讀n頁，恰可用n天讀完（n是自然數(shù)）.這 本書的頁數(shù)是.4、有一個四位數(shù)，其各數(shù)位上的數(shù)字各不相同，且沒有“ 0”，變換這個數(shù)的數(shù)字排列位置時，得到的所有的數(shù)里面最大的數(shù)與這個數(shù)的差是3618，最小的數(shù)與這個數(shù)的差是4554，那么此四位數(shù)是6、能被99整除且各位數(shù)字均不相同的最大自然數(shù)是 7、 有 四位數(shù)滿足下列條件：它的各位數(shù)字都是奇數(shù)；它的各位數(shù)字互不相同； 它的每個數(shù)字都能整除它本身。8如果在一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之間添寫一個零， 那么所得的三位數(shù)是原來的數(shù)的 9倍, 問這個兩位數(shù)是。9、甲、乙、丙代表互不相同

11、的 3個正整數(shù)，并且滿足：甲x甲=乙+乙=丙X.那么甲最小是。鞏固提高1、a,b,c三個數(shù)都是兩位數(shù)，且a>b>c，已知它們的和是偶數(shù)，它們的積是3960，則a,b,c三個數(shù)分別是2、13卡片上分別寫著1, 2, 3，4，13，任意抽取兩，計算這兩卡片上數(shù)的乘積,這樣得到許多不相等的乘積，這些不同的乘積中有 能被6整除。3、1919 19 （共20個19）除以99，余數(shù)是多少？4、某校人數(shù)是一個三位數(shù)，平均每個班級36人，若將全校人數(shù)的百位數(shù)與十位數(shù)對調(diào),則全校人數(shù)比實際少180人，那么該校人數(shù)最多可以達到 人.5、已知N是一個各位數(shù)字互不相等的自然數(shù)且N中不含數(shù)字7,它能被它的每

12、個數(shù)字整除，則N的最大值是6、用長為45厘米、寬為30厘米的一批瓷磚，鋪成一個形，至少需要瓷磚的塊數(shù)為（）7、有一些長6厘米，寬4厘米，高8厘米的長方體木塊，如果用這些木塊組成一個體，則至少需要這種木塊（）塊。心當(dāng)堂檢測）1、用10以的質(zhì)數(shù)組成一個最大的三位數(shù)，它既含有約數(shù) 2，又是3的倍數(shù)，這個數(shù)是。2、已知a, b, c都是正整數(shù)，a, b , c的最大公約數(shù)為24 , a, b的最小公倍數(shù)是360 ；a, c的最小公倍數(shù)是144.（1 ）求b的最小值（2）若b , c的最小公倍數(shù)為240，求a, b , c的值3、現(xiàn)有一個2009位的整數(shù)：1041012.410110，被13除的余數(shù)為a

13、,被11除的余數(shù)為669個101與10組成的2009位b，那么 a+b=4、a、b、c為三個自然數(shù)，且a>b>c，它們除以13的余數(shù)分別是2 ,9,11，那么（a+b+c）（a-b）（b-c）除以13的余數(shù)是5、對四位數(shù)abcd，若存在質(zhì)數(shù)p和正整數(shù)k，使a b c d pk，且a b c d pp 5， 求這樣的四位數(shù)的最小值，并說明理由.6、 一個整數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和是17,而且各個數(shù)位上的數(shù)字都不相同，符合條件 的最小數(shù)是（），最大數(shù)是（）7、將一個長和寬分別是170.3厘米和65.5厘米的長方形切割為一些形，至少需要切 割（）刀。處當(dāng)堂總結(jié)），場家庭作業(yè)1、 有一組連續(xù)的三個正整數(shù)，從小到大依次排列，第一個數(shù)是5的倍數(shù)；第二個數(shù)是7的倍數(shù)；第三個數(shù)是9的倍數(shù)；則這組數(shù)中最小的正整數(shù)為 。2、把一個自然數(shù)的所有的約數(shù)都寫出來，然后在這些約數(shù)中任意找兩個相加，這樣 就可以得到若干個不同的和，其中最小的和是 4，最大的和是140。那么，這個自然