數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

1、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用摘要數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面，在研究過程中，一方面，許多數(shù)量關(guān)系的抽象概念和解析式，若賦予幾何意義，往往變得非常的直觀形象，另一方面，一些圖形的屆性乂可以通過數(shù)量關(guān)系的研究使得圖形的性質(zhì)更豐富、更精確、更深刻，這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面，在高中階段用的較多的是以形助數(shù)。數(shù)量關(guān)系如果能有效地結(jié)合圖形，往往會(huì)使抽象問題直觀化,復(fù)

2、雜問題簡單化，巧妙地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來處理一些抽象的數(shù)學(xué)問題,可起到事半功倍的效果，達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的，在選擇題，填空題中，數(shù)形結(jié)合更能顯示出其簡捷的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用解題第一章緒論數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，故數(shù)學(xué)的研究是圍繞數(shù)和形展開的，而數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)在于數(shù)量關(guān)系決定著幾何圖形屆性，幾何圖形的屆性反映著數(shù)量關(guān)系1。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中，數(shù)形結(jié)合既是一種常用的數(shù)學(xué)方法乂是一種數(shù)學(xué)思想。由此可見，在高中階段，掌握并熟練運(yùn)用這一思想是十分必要的。本文針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的形成和演進(jìn)，數(shù)形結(jié)合思想解題能力的培養(yǎng)，以及在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用范圍和數(shù)形結(jié)合思

3、想在解題中的實(shí)際應(yīng)用做了淺顯成述。第二章數(shù)形結(jié)合思想的概述和歷史演進(jìn)2.1數(shù)形結(jié)合思想的概述數(shù)學(xué)的兩個(gè)最古老、最普遍的研究對(duì)象是數(shù)、形，在某些條件的作用下，兩者可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可以分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形的聯(lián)系則稱作數(shù)形結(jié)合，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面1。以形助數(shù)，即借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的關(guān)系；以數(shù)助形，即借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屆性。2.2數(shù)形結(jié)合思想的歷史演進(jìn)隨著時(shí)間的推移，數(shù)學(xué)得到了不斷的拓展和充實(shí)，數(shù)學(xué)中最原始的研究對(duì)象數(shù)與形也在不斷地變化，從最初因需要而產(chǎn)生數(shù)到歐幾里德撰寫的幾何原本，再到從笛卡爾創(chuàng)立平面直角坐標(biāo)系到近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究，數(shù)形結(jié)合

4、一直伴隨其行。在古希臘數(shù)學(xué)時(shí)期，畢達(dá)哥斯拉學(xué)派在研究數(shù)學(xué)時(shí)，就借助形來歸納數(shù)的性質(zhì)，這便是早期的“數(shù)”與“形”結(jié)合的體現(xiàn)。數(shù)軸的建立使人類對(duì)數(shù)與形的統(tǒng)一有了初步的認(rèn)識(shí)，把實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，數(shù)可視為點(diǎn)，點(diǎn)可當(dāng)作數(shù)，點(diǎn)在直線上的位置關(guān)系可以數(shù)量化，而數(shù)的運(yùn)算可以幾何化。1637年，笛卡爾在其幾何學(xué)中，首次提出了點(diǎn)的坐標(biāo)和變數(shù)的思想，并借助坐標(biāo)系用含有數(shù)的代數(shù)方程來表示和研究曲線2。笛卡爾把數(shù)軸(一維)擴(kuò)展到平面直角坐標(biāo)系，把有序數(shù)對(duì)P(x,y)與平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，從而使得平面曲線的點(diǎn)集與二元方程組的解集對(duì)應(yīng)起來。于是就可以用代數(shù)方法來研究幾何圖形的性質(zhì)，把幾何研究轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的代數(shù)的研究。

5、第三章淺談數(shù)形結(jié)合思想解題能力的培養(yǎng)“數(shù)”和“形”兩者是緊密聯(lián)系的。我們?cè)谘芯俊皵?shù)”的時(shí)候，往往要借助丁“形”，而在探討形”的性質(zhì)時(shí)，乂離不開“數(shù)”的支撐。現(xiàn)階段使用的教材，“代數(shù)”與“幾何”融和為一門數(shù)學(xué)學(xué)科，更體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的結(jié)合，因此教師在教學(xué)中要做好“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生類比、發(fā)掘，剖析其所具有的幾何模型，這對(duì)丁幫助學(xué)生深化思維，擴(kuò)展知識(shí)，提高能力都有很大的幫助。在教學(xué)過程中教師應(yīng)有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，使學(xué)生逐步有數(shù)形結(jié)合思想這一思想理念，并使之成為解決數(shù)學(xué)問題的工具。3.1在教學(xué)過程中適時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)過程中要盡量

6、擺脫對(duì)代數(shù)問題的抽象討論。更多地把代數(shù)里的東西用圖形表示出來。如相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何解釋，乘法公式的面積法的驗(yàn)證等等，將較難、抽象的概念、定理具體化。在幾何圖形的一些基本性質(zhì)的教學(xué)時(shí)，多讓學(xué)生動(dòng)手量一量，自己發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量關(guān)系，對(duì)一些特殊的幾何圖形，還可以賦值研究。3.2通過典型例題的分析講解突出數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)在教學(xué)過程中通過對(duì)例題的實(shí)際講解，凸顯出數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，使學(xué)生將這一思想由一種方法提升為一種系統(tǒng)的解題理論。例1.二次函數(shù)f(x)ax2bXy,c的圖象大致如圖1所示，試確定a、b、c與ab24ac的符號(hào)。二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a豐0)中的a、b、c決定函數(shù)的形狀和位置，

7、判別式的符號(hào)把拋物線與x軸的位置關(guān)系和一元二次方程的根聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想馬弋11_0/X第四章數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用范圍數(shù)形結(jié)合思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以解決諸多的問題：4.1集合問題在集合運(yùn)算中借助與數(shù)軸、維恩圖來處理集合的交集、并集、補(bǔ)集等運(yùn)算，從而是I可題簡單，運(yùn)算快捷。4.2函數(shù)問題借助圖形研究函數(shù)的性質(zhì)、最值等問題。4.3方程與不等式問題處理方程時(shí)，把方程的問題看做兩函數(shù)圖形的交點(diǎn)問題；處理不等式時(shí)，從所給條件和結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形中找解題思路。4.4三角函數(shù)問題三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定，比較三角函

8、數(shù)值的大小等問題，都借助丁單位圓或三角函數(shù)體現(xiàn)來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的有效的方法。4.5數(shù)列問題數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式可以看做是一個(gè)關(guān)丁正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖形進(jìn)行直觀的分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而進(jìn)行解決。4.6立體幾何問題立體幾何中用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行研究，可將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運(yùn)算。第五章數(shù)形結(jié)合思想解題的實(shí)際應(yīng)用5.1集臺(tái)中的數(shù)形結(jié)合在集合問題中，對(duì)一些較抽象的問題，在解決時(shí)若借助數(shù)軸、維恩圖或者圖像等數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以使問題直觀化、形象

9、化，從而快捷、準(zhǔn)確地獲得結(jié)論。例2.集合Mx|x25x60N(x|1x3)則MN解析：通過解不等式可知，M可以表示成Mx|2x3),此時(shí)在數(shù)軸上作出M和N,結(jié)果一目了然。1Ax0123圖25.2方程與函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合函數(shù)的圖形是函數(shù)關(guān)系的直觀表現(xiàn)形式之一，他用“形”來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律3。函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性，函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，在解決函數(shù)問題時(shí)兩者經(jīng)常要相互轉(zhuǎn)化，針對(duì)繁瑣的問題時(shí)要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，如求解函數(shù)的值域時(shí)?？梢葬槍?duì)某些代數(shù)式賦一定的幾何意義。如求直線的斜率、線段的長度(兩點(diǎn)間的距離)等，把求最值問題轉(zhuǎn)化為

10、幾何問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)形的轉(zhuǎn)換。方程f(x)g(x)的解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。對(duì)求不等式f(x)g(x)的解集可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)的圖形與函數(shù)yg(x)的圖形上方的那部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合3。例3.在平面直角坐標(biāo)系中，求函數(shù)ysin(-)x0,2的圖形與直線21y的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。2解析：在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)ysin(-)x0,2與y】的圖象，22結(jié)果顯而易見。5.3數(shù)列中的數(shù)形結(jié)合在數(shù)列問題中，一些量可以當(dāng)做以n為變量的函數(shù)。通常等差數(shù)列的通項(xiàng)an可以看成自然數(shù)n的“一次函數(shù)”前n項(xiàng)和Sn可以看成自然數(shù)n的“二次函數(shù)”，等比數(shù)列的通項(xiàng)斗可以看成n的“指數(shù)函數(shù)

11、”。因此在解決數(shù)列問題時(shí)可借助相應(yīng)的函數(shù)圖象來解決。例4.數(shù)列an是等差數(shù)列，aij,aji則aiaj解析：假設(shè)ij,aiajm,在等差數(shù)列中,an關(guān)丁n的圖象是一條直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn)，故三點(diǎn)A(i,j),B(j,i),C(ij,m)共線,則kABkBC，即Jj當(dāng)上，解得m0,即aiaj0jii5.4不等式與極值中的數(shù)形結(jié)合對(duì)丁不等式(不等式組)的求解和求代數(shù)極值的問題，都存在著圖形背景,借助圖形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過圖形給問題以幾何的描述，從數(shù)形結(jié)合中找出問題的邏輯關(guān)系，是問題迎刃而解。例5.不等式Jx24x5x的解集為f(x),g(x)的圖象解析：令f(x

12、)x24x5,g(x)x,在同一坐標(biāo)系中作出如圖4,令f(x)g(x)，即x24x5等式的解集為-1,54一5x,可求得x-,由圖象可以看出不4圖4例6.求函數(shù)f(x)vx2m2J(nx2)p2(m,n,p均為正實(shí)數(shù))的最小值的最值。解析：構(gòu)造一長方體(如圖5)AC1,ABp,AAin,AiDim,M為棱AA上的任意一點(diǎn)，且設(shè)AMx,則AMnx,丁是在RtMA1D1中，D1M偵AD2AM2Vm2x2。在RtBAM中，BMJAB2AM2Vp2(nx)2可見f(x)Jx2m2v(nx)2p2D1MBM.f(x)取得最小值，從長方體的側(cè)面展開圖可以看出，當(dāng)且僅當(dāng)D1、M、B三點(diǎn)共線時(shí),f(x)有最小值，此時(shí)由幾何關(guān)系不難求出x匹,mn故當(dāng)x時(shí)，f(x)有最小值。mn明/、：/mn、2mn、22