2020-2021學年浙江省杭州二中高一(上)期中數(shù)學試卷(解析版)

1、2.3.4.AB.3C1,2,3與函數(shù)fM=抒表示同一函數(shù)提（）2A.g=Lx已知幕函數(shù)/（X）B.g(x)=<Vx)2C.g(x)=x=/的圖象過點（9,3）,若f（0=2,B.±V2f己知函數(shù)y=fM,agR,且/(0)=3,我訪C.±4D0,1,2D.g(x)=Ld則實數(shù)，的值為（）D.4A住Af=4yW=4,f®=4,，77=4,2020-2021學年浙江省杭州二中高一（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共12小題）1.已知集合A=“，幻，B="+1,3(們況R),若ACIB=2,則AUB=()說N*,則函數(shù)y=f（.v）的解析式可以是（5.A.

2、f(x)=3X2、B.f(a)=3X4、C.f(x)=3X8、D.f(x)=4'設函教f（x）=-3x-l,x<12X,x>l，則f"）)=2,則a=(D.1A. 06.若2i-2'V3、-3義則(C./g(y-x)>0B.旦<1yD.號尸<2”7. 設“=logu.20.3,Z?=log2().3,A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.u+bVOVubD.uh<0<a+b8. 若對任意使得關于x的方程ax2+bx+c=0（皈手0）有實數(shù)解的“，們（h-a）2+（c-“）冷心則實數(shù),的最大值是（）

3、A.1C旦16D.9. 命題"Va1,3,F-oWO”是真命題的一個充分不必要條件是（D.“Nil10. 幾何原本中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點，且AC=a9BC=b,O為AB的中點，以AB為直徑作半圓.過點C作AB的垂線交半圓于。，連結OD,AO,BD,過點C作0。的垂線，垂足為E.則該圖形可以完成的所有的無字證明為()A. 七b(t/>0,Z?>0)B. u2+b22abG/>0,/?>0)C.

4、22C. a+b-("NO,b>0)2仃211.華為5G通信編碼的極化碼技術方案基于矩陣的乘法，如：(clc2)=(3-ja心Xy11y12b21b22j,其中Cji+t/221,。2=“1缶2+"2力22.已知定R上不恒為0的函數(shù)-1aT/(x),對任意“，況Rb+l且滿足/(瀝)=y+yi9則(A./(0)=0B. /(-1)=1C. /(x)是偶函數(shù)D. /(x)是奇函數(shù)12. 定義域和值域均為-“，(常數(shù)>0)的函數(shù)(x)和y=g(人)的大致圖象如圖B. 方程g(g(x)=0有且僅有一個解C. 方程f(/(x)=0有兩負數(shù)解和一正數(shù)解D. 方程g(g(x

5、)=0最多只有三個解二、填空題：單空題每題4分，多空題每題6分.13. 函數(shù)f(x)=的值域是十/14. 函數(shù)f(A-)=加(r-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.15. 若函數(shù)/(x)=(x2-1)(r+g+幻對于任意acR都滿足/(x)=/(x-4),9c的最小值是16. 已知“、b、c為正實數(shù)，則代數(shù)式土一椿二儒花的最小值是b+3c8c十4a3a+2b三、解答題：5小題，共74分.17.計算：(1) 3+0.002210(訴(號)4；(2) 版5,(版8+版1000)+3僅22+/料+/對.06.618. 設常數(shù)虹R,集合虹位|芭牛0),B=xIaW“-1.x+1(1) 若“=2,求ADB9AD(

6、CrB):(2) 若AUB=R,求“的取值范圍.19. 某心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時間，之間的關系滿足如圖所示的曲線.當te(0,14時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當©14,40時，曲線是函My=log«(/-5)+83(>0,且“時)圖象的一部分.根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)p大于等于80時聽課效果最佳.(1) 試求(0的函數(shù)關系式；(2) 一道數(shù)學難題，講解需要22分鐘，問老師能否經(jīng)過合理安排在學生聽課效果最佳時講完？請說明理由.20.已知函數(shù)f(x)=aK(“>0,"=#1).(1) 若a&g

7、t;,不等式f(x2+b.x)+r(4-A)>0在正R上恒成立，求實數(shù)人的取值范圍：(2) 若f=務且hGc)=a廣2mf(x)在1,+8)上的最小值為-2,求？的值.Za'21. 已知函數(shù)f(x)=lnK弓為奇函數(shù).x+l(1) 求實數(shù)&的值；(2) 判斷并證明函數(shù)./(.、)的單調(diào)性；(3) 若存在a,陀(1,+8),使得函數(shù)f(x)在區(qū)間a,上的值域為ln(ma-?),求實數(shù)？的取值范圍.22, 設函數(shù)fM=ax1+x-al+bia,beR.(1) 若函數(shù)f(a)在0,2上單調(diào)遞增，在(2,+oo)單調(diào)遞減，求實數(shù)"的值；(2) 若對任意的實數(shù)/泛0,1及

8、任意的xe-3,3,不等式質(zhì)(x)IW2恒成立，求實數(shù)“的取值范圍.參考答案一、選擇題：每小題4分，共40分.1. 已知集合A=傍，b)98=“+1,3(們beR),若AQB=2,則AU8=()A. (2)B.3C.1,2,3D.(0,1,2解：.An8=2,A2e.B,2eA9fa+l=2,解。=1,b=2,b=2.A=1,2,B=2,3,AUB=1,2,3.故選：C.2. 與函數(shù)f(a)=抒表示同一函數(shù)提()2A.g(a)B.g(x)=(出)2C.g(a)=xD.g(a)=lxlx2.解：對于A,g(a)=-=x的定義域是xk=#0,f(x)=Vx2=Ld的定義域是R，定義域不同，對應關系

9、也不同，不是同一函數(shù)；對于8,g(x)=)2=人的定義域是.rLxO,f(x)=J=Lxl的定義域是R,定義域不同，對應關系也不同，不是同一函數(shù)；對于C,g(x)=x的定義域是R,f(x)=度=3的定義域是R,對應關系不同，不是同一函數(shù)；對于D,g(x)=1x1的定義域,是R,f(a)=啟=見的定義域是R,定義域相同，對應關系也相同，是同一函數(shù).故選：。3. 已知幕函數(shù)f(x)=a4的圖象過點(9,3),若f(r)=2,則實數(shù)，的值為()A.匝B.土血C.±4D.4解：幕函數(shù)f(x)=/的圖象過點(9,3),所以9"=3,解得=岑，1所以f(%)=y：X1當f(/)=2時，

10、即聲=2解得1=4.故選：D.f4.己知函數(shù)y=f(x),aGR,且/(0)=3,司畚Af(4).f=4，屯=4,冠=4,，77=4,說N*,則函數(shù)y=f(%)的解析式可以是(A.f(x)=3X2、B.f(a)=3X4、解：由題可知，翠=4"，C./(x)=3X8、D./(x)=4'因為f(0)=3,所以f(2n)=3X4”,令a=2/j,所以/(x)n,x=3X修=3X2，,故選：A.5.設函數(shù)fG)=«3x-l,XV1x、，則.f")2氣x>l)=2,則a=(A.0D.13x-l,x<1x、,f")=2,2氣x>l/.當&q

11、uot;VI時，f(a)=3“一1,2當f偵)=3“-lVl時)=3(341-1)-1=2,解得a=y;9當f(</)=3“-IN1時,f(/(a)=231=2,則3“-1=1,解得a=、C5當f(a)=2a<1時9f(f(a)=3X2"-1=2,解得“=0,不合題意;當f(</)=2a>1時,f(f3)=22&=2,解“=0,不合題意.2綜上，“=虧故選：C.D.6.若21-2'<3"-3。則()C.Ig(y-x)>0解:由2*-2、3“-3",得21-3*<2、-3乙設f(t)=2，-3七則f(t)在R

12、上是單調(diào)增函數(shù);所以A<y.對于A,由x<y,不能得出尸>¥,所以A錯誤:對于B,由x<y9也不能得出<1,所以8錯誤;y對于C,由x<y,對于D,A<y時,得出y-x>0,不能得出版(y-x)>0,所以C錯誤;(±)X>(±)7,即(|)y<2"z,選項。正確.故選：D.7.設t/=logo.20.3,Z?=log20.3,則()A.a+b<ub<0B.ab<a+h<0C.a+b<0<abD.ah<0<a+b解：.W=kW).3=專，。=阿

13、.3=宿a+b=1就.3均0.3均0.3(均5-1矣)1展.31涕lg2lg5Ig21g52,Ig21g5浙典3lgO.3MG，岑,lg2lg5Ig21g5芭y<0f°2,Ig21g5'/.ubVu+bVQ.故選：B8. 若對任意使得關于x的方程ax2+bx+c=0(以¥0)有實數(shù)解的“，b,(。-)2+(c-GAc1,則實數(shù)尸的最大值是()D.A. 1解：關于x的方程ax2+bx+c=。有實數(shù)解，=芬-4"0,22()-4>0令也二X,"y,故.-4yN0,即尺牛,cccc4(a-b2+(/?-a)2+(c-a)咨疽,.2,22W(

14、)+(1)+(1)，cccc,2.22而(-)+(-1)+(1旦)=(y-X)2+(X-l)2+(l-y)2cccc=2/-2r+2+2y2-2y-2vy=2/-2(x+1)y+lx2-2x+2,22當%亨=又*-25即必，4242當-時，函教f(y)=2)2-2(x+1)y+2F-2x+2有最小值，22243og(x)=2(土-)-2(x+l)T+2/-2x+2二-峙/-2戲2，44oZZS7(x)=-|-x2+3x-2»g/z(x)=yx2-3x+3=y(x-l)2+y>0,/CX乙匕乙3E(x)=-yx2+3X-2在其定義域上是增函數(shù)，乙L19義(1)二了號+3-2二0,

15、乙乙.當xE(1-如,1)時，？(X)<0,當(1,1W5)時，/M>0,.浦(A)在(1-/3,1)上是減函數(shù)，在(1,1+由)上是增函數(shù)，g(X)血二g4專號2+2號22當公一芝=H2x-20,即或JC>1十膜時，424y+1當y=-a-時，函數(shù)f(y)=2寸-2(x+1)y+2x2-2x+2最小值，2S(x)=2(上-2(x+l)+2x2-2x+2=-r-x2-3x+y(x-1)七乙乙乙乙乙.,長<1-膜或。1+/1,.，號(又-1)2>壽，乙乙,2,22q綜上，(旦上)+(虹-1)+(1旦)的最小值為號CCCCO9故實數(shù)實數(shù),的最大值是尋Q故選：B.9.

16、命題“/正1,3,F-oWO”是真命題的一個充分不必要條件是()A.“N8B.“N9C.“N10D.“Nil解：命題“機沱1,3,«-“W0”="VaG1,3,=9Wo.“N10：“Nil是命題"Va1,3,/-"WO"為真命題的一個充分不必要條件.故選：CD.10. 幾何原本中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點，且AC=a9BC=b,。為AB的中點，以AB為直徑作半圓.過點C作A8的垂線

17、交半圓于。，連結OD,AD,BD,過點C作。的垂線，垂足為£則該圖形可以完成的所有的無字證明為()DABA. (">0,b>0)B. a2+b22ab(">0,b>0)c,r(t/>o,/?>o)+ab22D.疣+b(“no,力>0)22解：根據(jù)圖形，利用射影定理得：CgDEOD,由于：ODNCD,所以：(">。，b>°).由于C£)2=AOCB=ub,所以弟毛二強所以由于CDNDE,故選:AC.11.華為56通信編碼的極化碼技術方案基于矩陣的乘法，如：(c|c2)=(3-J往2)

18、乂11y12,其中c=ab+ciib29C2=ab2+aibi2.已知定22義在R上不恒為0的函數(shù)/(x),對任意“，灰R有：31y2)=(f(a)""少乂!：J且滿足f(出)=y+yi,則()A.f(0)=0B./(-1)=1C. f(a)是偶函數(shù)D.f(x)是奇函教解：根據(jù)定義可得：方=/(")(-1)廿(。)("-1)：且)'2=/(")(n+1)+f(Z?)X1：V(ab)=yi+yi=-f(")+f(b)(a-1)+f(a)(/?+!)+f(b):令a=b=0可得:f(Q)=-/(0)+f(0)(0-1)+f(0)(

19、0+1)+f(0)=>f(0)=0,A成立：令a=b=l可得：f(1)=-/(1)+f(1)(1-1)4/(1)(1+1)+f(1)=>f(1)=0,令a=b=-1可得：f(l)=-"-l)廿(-1)(-1-1)4/(-1)(-1+1)甘(-1)=v(-1)=0,B不成立，令“=-1可/(-b)=-/(-!)+fW(-1-1)+/,(-!)(b+1)+f(/>)nf(b)=-fW,C不成立，。成立，故選：AD.12. 定義域和值域均為-“，a(常數(shù)</>0)的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的大致圖象如圖A. 方程f(x)=。可能存在五個解B. 方程g(g

20、(x)=0有且僅有一個解C. 方程f(/(x)=0有兩負數(shù)解和一正數(shù)解D. 方程g(g(x)=0最多只有三個解解：對于A選項，設f(X)=0的三個解分別為X,X2,X3,且Xl<X2<0<X3,設)'=尸G)的極大值為?，極小值為，當x<n時，/(x)=x有一個當n<X2<m時，/(x)=X2有三個解：當X3>m時,f(x)=X3有一個解，所以方程/(/(X)=0可能存在五個解，即A正確；對于C選項，當xi<n時，f(x)=x有一個員數(shù)解；當X2=n時，.尸(x)=X2有一個員數(shù)解；當X3>/H時，f(x)=啟有一個正數(shù)解，即C正確

21、：對于8選項，設g(x)=0的解為X4,且0<X4<d,由于g(X)在-S"上單調(diào)遞減，所以gG)=X4有唯一解，所以方程&(&(x)=0有且僅有一個解，即B正確，。錯誤.古攵選：ABC.二、填空題：單空題每題4分，多空題每題6分.13. 函數(shù)f(a)=的值域是(0.11十解：對于y=l+WNl,故/(x)W1,當aT8時，>=1+人2-+8,故f(x)TO,故/(X)的值域是(0,1,故答案為：(0,1.14. 函數(shù)f(x)=m(x2-)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+8)解：./Or)的定義域為：(2,+8)u(-8,0)令z=.¥2-2x9則

22、原函數(shù)可以寫為y=Inz99y=lnz為增函數(shù)原函數(shù)的增區(qū)間即是函數(shù)z=-2x的單調(diào)增區(qū)間即(2,+oo).AaG(2,+8)故答案為：(2,+8).15. 若函數(shù)/(%)=(尸-1)(F+or+b)對于任意awR都滿足/(x)=/(x-4),9»/(x)的最小值是-16.解：由題意可知，/(1)=/(-!)=0,又fG)=/(x-4),所以/(3)=/(5)=0,嚴捋球)二。24(25+5a+b)=0,解得=-8,b=5所以.尸(A)=(X2-1)(x2-8x+15)=(x2-1)(a-3)(a-5)=(a2-4a+3)(x2-4x-5),令t=x2-4.x+49，N0,則函數(shù)fM

23、可轉化為&(0=(/-1)(f-9)=(5)2-16,9c所以f(%)的最小值是-16.16.已知“、b、c為正實數(shù)則代數(shù)式3-七的最小值是4?b+3c8c十4a3a+2b48解：令b+3c=x98c+4"=y,3a+2b=z9故答案為:告三、解答題：5小題，共74分.17. 計算：(1) (-夸)F.0Q22一10(鵬一2)一1-寸(號)；(2)版5(僅8+僅1000)+3僅22+上#+僅0.06.解：(1)(-專)3+0.0022-10(75-2)-1-(-|)4_L+07)2-10(妮+2)-(-|")2()2-*7500-10(75+2)-(-|)2=-20

24、o(2) 1§5(lg8+lglOOO)+31g22+lg+lg0.066=31g5<g2+31g5-h31g22+lg-+lg6-26=3Qg5+Zg2)僅2+3僅5-2=1.18. 設常數(shù)“CR,集合4位|弓0,B=aLxW“-1.x+1(1) 若“=2,求ADB9AD(CrB):(2) 若AUB=R,求“的取值范圍.解：(1)VA=xk<-I或xNl,a=2時，B=xIaW1,AAnB=(xlx<-1或x=l),CR8=xk>l,API(CrB)=a1y>1:(2).AU8=R腿-INI,解得“N2,的取值范圍為2,+8).19. 某心理學研究小組

25、在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時間，之間的關系滿足如圖所示的曲線.當始(0,14時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當作14,40時，曲線是函數(shù)>=loga(5)+83(“>0,且#1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)p大于等于80時聽課效果最佳.(1) 試求P=/(，)的函數(shù)關系式；(2) 一道數(shù)學難題，講解需要22分鐘，問老師能否經(jīng)過合理安排在學生聽課效果最佳時講完？請說明理由.解：(1)當始(0,14時，設p=f偵)=c(r-12)2+82(c<0),將點(14,81)代入得。=-£,4當作(0,14時，p=f(/)=-4

26、»(-12)2+82；4當作(14,40時，將點(14,81)代入y=log(5)+83,得“=§,夕t-12)2+82,tE(Q,14所以p=I)=比麗(七-5)十83,沃(14,40：T(2)當佐(0,14時，(/-12)2+82N80,4解得12-2插WzW12+2也，所以低12-2寸分，14,當起(14,40時，log(5)+83N8O,解得5V1W32,所以作(14,32,綜上作12-2血，32時學生聽課效果最佳，此時t=32-(12-2插)=20+2歷>22,所以，教師能夠合理安排時間講完題目.20. 已知函數(shù)f(x)=aX一羅(">0,“

27、=#1).Aa(1) 若a>,不等式/(.r2+fer)+/(4-a)>0在正R上恒成立，求實數(shù)人的取值范圍:(2) 若f(l)=4且116(:)=/'*47"2就(X)在1,+OO)上的最小值為-2,求？的值.2a'解：(1)VA-eR,/(-x)(X),即/(X)是R上的奇函數(shù).a且">/時，g(x)="單調(diào)遞增，h(x)=xU>0)也單調(diào)遞增，x由復合函數(shù)單調(diào)性可知fG)=hg(X)在日上單調(diào)遞增.原不等式/(F+取)+f(4-x)>0<=>/(r+Zu)>-f(4-x)=f(x-4)<x

28、2+bx>x-4,因此人(Z?-1)x+4>0對acR恒成立,故/=(/?-1)2-16=(b-5)(M3)<0,即-3<Z?<5.1Q(2)"寸一且。>0,aZAt/=2(“=一岑V0舍去).因此，h(x)二22：<+-4-2m(2x-r)=(2x-r)2+2-2m(2x),22芯2名2乙當.沱1,+8)時，2X>f(1)=-,令t=2x,其中.沱1,+OO),_?TD弁令甲(0=h(x)=F-2"+2,其中，二次函數(shù)對稱軸tzlTt 若忒號，則。(t)血二中-3m=-2,解得矛盾，故無解； 若則e(t)max=(P(m)=

29、2-m2=-2,解得m=2(/«=-2<-|-舍去),滿足題意.綜上所述，也=2.b-y121. 已知函數(shù)f(x)=lr#穿為奇函數(shù).X+L(1) 求實數(shù)&的值；(2) 判斷并證明函數(shù)f(A-)的單調(diào)性；(3) 若存在a,pG(1,+8),使得函數(shù)f(.r)在區(qū)間a,閔上的值域為ln（ma-?）,ln（mB號），求實數(shù)，的取值范圍.解：因為函數(shù)由）=比氣尋為奇函數(shù)，所以E）=。，Vkx-1v-kx-1v(kx-1)(-kx-1)<1-k2x2八、*,藥“土巳即Inr十1二=177x=15=0對正義域內(nèi)任意x恒成立,x+1-x+1kx+l>(-x+ljX所以k2=I,即k=±1,顯然奸r又當卜頃，由）=1尋的定義域關于原點對稱.所以k=l為滿足題意的值.（2）結論：/（X）在（-8,1）,（1,+OO）上均為增函數(shù).證明：由知f（必=偵號其定義域為（-8,-1）U（1,+8）,任取Xi,X2e(1,+8),不妨設X)<X2,x1-1X2-1(x廣1)(床2*1)貝')f(Xi)-f(x?)=ln一-In一=1一7777式,1匕xj+1k2+1lxj+lj(x2"lJ因為73-1)(X2+1)-(X1+D(X2-1)=2(X)-X2)<0,（XT）所以。<溫時*1產(chǎn)|，(岌廣1)(x2+l