定積分應用題附

1、定積分的應用復習題一.填空：曲線ylnx,yIna,yInb（0ab）及y軸所圍成的平面圖形的面積為A=eydy=b-alnaJ曲線yx2和yJX所圍成的平面圖形的面積是11. 求由拋物線y2=2x與直線2x+y-2=0所圍成的圖形的面積。解：（1）確定積分變量為y,解方程組y22x/曰x1/2x22。1=1侍,y2x2y1y221-即拋物線與直線的交點為（一，1）和（2,-2）.故所求圖形在直線y=1和2y=-2之間，即積分區(qū)間為2,1。（2）在區(qū)間2,1上，任取一小區(qū)問為y,y+dy，對應的窄條面積近似丁高為（1ly）-】y2，底為dy的矩形面積，從而得到面積元素22dA=(1-1y)-2

2、1y2dy1y2-1y346所求圖形面積A=12(1-1y)-1y2dy=y-222求拋物線y=-x2+4x-3及其在點（0,-3）和（3,0）處的切線所圍成的圖形的面積。解：由y=-x2+4x-3得y'2x4,y'（0）4,y'（3）2。拋物線在點（0,-3）處的切線方程為y=4x-3;在點（3,0）處的切線方程為y=-2x+6;兩切線的交點坐標為（'，3）。2故面積A=323°2(4x3)(x24x3)dx3(2x26)(x24x93)dx-43.求由擺線x=a（tsint),y=a(1-cost)的一拱（橫軸所圍成的圖形的面積解：Ay(x)dx2

3、oa(1cost)a(1cost)dt(12costcos2t-2)dt3a224.求由下列曲線所圍成的圖形的公共部分的面積:r=3cosr=1+cos解：兩曲線的交點由3cos1cos，解得cos)2d213-(3cos2)2d03(12cos1cos22)dcos2)d545.計算由擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱（0t2）,直線y=0所圍成的圖形分另U繞X軸、Y軸旋轉而成的旋轉體的體積。解：Vxxa2y2(x)dx0a2(1cost)2a(1cost)dt(13cost3cos2t323cost)dt5a2aVy0x2(y)dy2a20x1(y)dy=a2(t2s

4、int)2asintdt0a2(tsint)2asintdtx2y22yx2得圓與拋物線的兩個交點為xy1,xy所以積分區(qū)間為-1,1(tsint)2sintdt63a36.求由x2+y2=2和y=x2所圍成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積解：（1）取積分變量為x,為求積分區(qū)間，解方程組:(2)在區(qū)間-1,1上任取一小區(qū)間x,x+dx,與它對應的薄片體積近似丁(2-x2)-x4|dx,從而得到體積元素dV=(2-x2)-x4dx=(2-x2-x4)dx.(3)故V=x11(2-x2-x4)dx=7.求圓盤（x2）2y21繞Y軸旋轉而成的旋轉體的體積解設旋轉體積為V,則V2*2：xj1(x2)

5、2dx令x2sint則V=42(2sint)cos21dt242(1cos2t)dt2sintcos2tdt22,128. 4(tsin2t)|24設有拋物線C:y=a-bx2（a>0,b>0），試確定常數a,b的值，使得C與直線y=x+1相切，且C與X軸所圍圖形繞Y軸旋轉所得旋轉體的體積達到最大。解：設切點坐標為（x,y），由丁拋物線與y=x+1相切，一。12b故有K=-2bx=1,得x由ab1解得a1,即：b-2b2b4b4(1a)2,a2aaVa2由V(a)xdydy2a(1a)00b2b.-23令V'(a)2a(23a)0得a2,b-34xacost.9. 設星形線

6、方程為.3t(a>0),求：(1) 由星形線所圍圖形的面積星形線的長度。解：(1)由對稱性得a032a4y(x)dx4asint3acost(sint)dt12a22sin41cos2tdta208(2)L=4Xx'2(t)y'2(t)dt=4。之(3acos21sint)22、2.(3asintcost)dt=12a02sintcostdt6a,tcostsin,10.計算曲線xd,yd自原點到與具有鉛直的切線11最近點的弧長。dysint解：dy乎tantdxdxcostdtt曲線上具有鉛直切線且與原點距離最近的點所對應的參數為t-,原點對應的2參數t=1故1Sx'2(t)y'2(t)dt2cost2sintdtlnth2ln2S2t為何值時，S=S+S2解：S(t)0(t2x2)dx12t(xt2)dx4t33t2令S'(t)4t22t0,解得t10,t2丁是S(0)11,S(/4,S故Smax=S(1)=3,Smin=S(2)4.證明題:1.證明：曲線y=sinx的一個周期的弧長等丁橢圓證明：y=sinx的一個周期的弧長2x2+=2的周長。L1=42、10y'2dx2102cosdx2x2+y2(2為參數方程為11.設Si為曲線y=x2、直線y=t2(t為參數)及Y軸所圍圖形的面積;為曲線y=