蘭大數(shù)分考研試題及解答

1、蘭州大學2009年數(shù)學分析考研試題及解答.計算題x23isint2dt1.求lim)0ttTintdt3&十卜2xsinx22解原式=limx0xx-sinx32-x=limx0_xsinx-12x=lim。12x0-sinxx230sint2dt江：limx00tt-sintdt=12x23sint2dtlim_=-12t01(t-sint)dt2.求farcta/Xdx.解原式=xarctanVx-1x21:xxdx=xarctanx-11x22乙dxyydyy=,xy=xarctan,x-yarctanyC=x1arctan、x-yC.2x1v3.計算Idx&edy”2dxje柵.yo_

2、2J=-ye1=-2ee-求拋物線y2=4x與它在（1,2）處的法線所圍成的有限區(qū)域的面積解在（1,2）處，叫=2,dxyk=dy=1,x4法線的斜率為-1,設法線方程為y2=-：ix-1,x=3y,法線與拋物線交丁1,2,9,-6,丁是所求的面積23_y2S=Ldykdx=L3-y-mdy=3y-y21 32七12斷1=383222412“5664=2416-一=.4. 32n求籍級數(shù)，(-1尸一的收斂域與和函數(shù).2n解設un(x)=(T)n當x#0時，由丁nmxUnx=加：廠X=X,當x1時，原籍級數(shù)絕對收斂,tr二-1當x=-1時，為條件收斂,nan-n-1當x=1時，（T）為條件收斂,

3、ndn1時，原籍級數(shù)發(fā)散,Sx八-12n.nx-12n.n1xnxnJ2n2x-x0L一11l機t2dt2x1t2dtx0t1t21x2tdtx01t2”112x.2xIn1xIn1x2limx)02x=lim=0.xj01計算曲線積分J(exsiny-b(x-y)dx+(excosy-ax)dy，其中L是從(2a,0)沿著曲線y=J2ax-x2到點（0,0）的一段.解記P=exsiny-b(x-y),Q=excosy-ax,Px：:QxQ；:P貝U=ecosyb，二ecosya,于正=b:y:x曲線y=/ax-x2y-0，222(xa)十y=a,y-0，D=(x,y):(x-a)2+y242

4、,y芝0,由Green公式2a原曲線積分=b-adxdy-：i.bxdx,12,1八2=b-a2二ab2a.證明：limsinn不存在.nj:證明由于區(qū)間料兀+4,2牌+乎:(k=0,12m長度為A，而存在整數(shù)2-,2k.k一4，4同理存在mk在|2k+,2+-44假若limsinn=a存在，n_.7則有l(wèi)imsinnk=a,limsinmk=a,k.，k.：.：2、2由于-sinnk1時，f(x)何為常數(shù)；(2)當L1,a=1,存在唯一的la,b,使得f(E)=0證明(1)當a1時，,f(y)-f(X)a/、由0壬x),yx知f(x)=0,Vxwla,b,丁是f(xylS為常數(shù)；(2)顯然f

5、(x此續(xù)，乂a主f(x)b,存在a,bl,使得f=,下證唯一性.設*b,b,也滿足f(n)=n,則廣叫=|f(p_f(明)L傳項|,由于OcL0,總存在正數(shù)M,使得當x,y三I,x。y,且f*)-f(-xM時,就有f(y)-f(x)c，.yx證明充分性用反證法.假若f(x并區(qū)間I上不一致連續(xù)，則存在&00,存在&,%)在1,1，使得xn-yn|一，但f(xn)-f(yn)A知，即有乎)一*0,A一yn由假設條件，對包0,只需要一充分大,2就有|f(xn)-f(yn)：.,矛盾所以f(xX區(qū)問I上一致連續(xù);必要性設f(x廊區(qū)問I上一致連續(xù)，用反證法若結論不成立，則存在0,對任意正整數(shù)n,存在G一

6、,ynwI,使得村冷)一0七)引,但fXn-fyn；0.即有Xn-yn|2M,；M=supf(x“，這與f一致連續(xù)矛盾.注：對函數(shù)f(x)=C，或者f(x)=x,顯然在I上一致連續(xù)，不成立必要性的結論，反證法中的，y不存在，所以此題應只有充分性，應無必要性.設f:R2TR2是連續(xù)映射，若對R2中任何有界閉集K,fK)均是有界的,證明f(R2)是閉集.證明設y是f(R2)的任意一個極限點，則存在&仁R2,使得nf(冷)=y，而集合A=f(xn)：n=1,2，Uy,作為R2中的有界閉集(有界是因為極限存在，而閉性是由丁極限唯一)其原像f(A)是有界的，現(xiàn)因xdA),所以板是有界的，由Weierst

7、rass聚點定理，存在子歹U*頁及xR2,使得limxn=x,k_Jnk由f得連續(xù)性，limfxn=fx=y,kllk所以y=fxfR2,故f(R2)是閉集.fy(0,0)存在證明二元函數(shù)f(x,y)=寸阿在點(0,0)處連續(xù),fx(0,0),但在點(0,0例不可微.證明(1)顯然limfy0x,y)=0=f(0,0),所以f(x,y)在點(0,0)處連續(xù),fx,0-f0,0f0,y-f0,0由=0,=0,xy知fx0,0=0,fy0,0=0,Rx,：y)=f.：x,：y):f0,0fx0,0xfy0,0：y=,心,當J(*3(Ay30時，f(Xi)-f(X2)=nJ11jg+x_2n+x21QO-Xi_X?n42X2X2-1Xi-X?1-n4221壬一X|X2,3由此既得f(X)在0,心)一致連續(xù);unx=一一22nx,UnqQZu：（X庶10,E）上一致收斂,n1于是f（x性10,E）連續(xù)可導，且_：:1fX】X.unX=2-(2)由丁，f(x0,2k2k二1fxdx=-dX22nT2X2k12k-2心2k2k2k41J1，一k-1,22k42k所以(x)dX發(fā)散,k1(x)dx發(fā)故.尸(皈,智)不存在極限，2222xy,以y所以f(x,y)在(0,0)處不可微.,、-二1七H*xL