抽屜原理各題型解析

1、抽屜原理（一）專題簡(jiǎn)析：如果給你5盒餅干，讓你把它們放到4個(gè)抽屜里，那么可以肯定有一個(gè)抽屜里至少有2盒餅干。如果把4封信投到3個(gè)郵箱中，那么可以肯定有一個(gè)郵箱中至少有2封信。如果把3本聯(lián)練習(xí)冊(cè)分給兩位同學(xué)，那么可以肯定其中有一位同學(xué)至少分到2本練習(xí)冊(cè)。這些簡(jiǎn)單內(nèi)的例子就是數(shù)學(xué)中的“抽屜原理”。基本的抽屜原理有兩條：（1）如果把x+k（k1）個(gè)元素放到x個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里含有2個(gè)或2個(gè)以上的元素。（2）如果把m×x×k（xk1）個(gè)元素放到x個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里含有m+1個(gè)或更多個(gè)元素。利用抽屜原理解題時(shí)要注意區(qū)分哪些是“抽屜”？哪些是“元素”？然后按以下

2、步驟解答：a、構(gòu)造抽屜，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屜。C、說明理由，得出結(jié)論。本周我們先來學(xué)習(xí)第（1）條原理及其應(yīng)用。例題1：某校六年級(jí)有學(xué)生367人，請(qǐng)問有沒有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天？為什么？把一年中的天數(shù)看成是抽屜，把學(xué)生人數(shù)看成是元素。把367個(gè)元素放到366個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有2個(gè)元素，即至少有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天。平年一年有365天，閏年一年有366天。把天數(shù)看做抽屜，共366個(gè)抽屜。把367個(gè)人分別放入366個(gè)抽屜中，至少在一個(gè)抽屜里有兩個(gè)人，因此，肯定有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天。練習(xí)1：1、某校有370名1992年出生的學(xué)生，其中至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天，為

3、什么？2、某校有30名學(xué)生是2月份出生的，能否至少有兩個(gè)學(xué)生生日是在同一天？3、15個(gè)小朋友中，至少有幾個(gè)小朋友在同一個(gè)月出生？例題2：某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書。買書的情況是：有買一本的、二本的、也有三本的，問至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每種書最多買一本）？首先考慮買書的幾種可能性，買一本、二半、三本共有7種類型，把7種類型看成7個(gè)抽屜，去的人數(shù)看成元素。要保證至少有一個(gè)抽屜里有2人，那么去的人數(shù)應(yīng)大于抽屜數(shù)。所以至少要去7+1=8（個(gè)）學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書。買書的類型有：買一本的：有語文、數(shù)學(xué)、外語3種。買二本的：有語文和數(shù)學(xué)、語文和外語、

4、數(shù)學(xué)和外語3種。買三本的：有語文、數(shù)學(xué)和外語1種。3+3+1=7（種）把7種類型看做7個(gè)抽屜，要保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書，至少要去8位學(xué)生。練習(xí)2：1、某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書、美術(shù)書、自然書。買書的情況是：有買一本的、二本的、三本或四本的。，問至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每種書最多買一本）？2、學(xué)校圖書室有歷史、文藝、科普三種圖書。每個(gè)學(xué)生從中任意借兩本，那么至少要幾個(gè)同學(xué)才能保證一定有兩人所借的圖書屬于同一種？3、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的玻璃珠子，顏色有綠、紅、黃三種，問最少要取出多少個(gè)珠子才能保證有兩個(gè)同色的？例題3：一只袋中裝有許多規(guī)

5、格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有3副同色的？把四種不同的顏色看成是4個(gè)抽屜，把手套看成是元素，要保證有1副同色的，就是1個(gè)抽屜里至少有2只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時(shí)拿出1副同色的后，4個(gè)抽屜中還剩下3只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套又能保證有一副手套是同色的，以此類推。把四種顏色看成是4個(gè)抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有一副就要摸出5只手套。這時(shí)拿出1副同色的后，4個(gè)抽屜中還剩下3只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套又能保證有一副手套是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有 5+2+2=9（只

6、） 答：最少要摸出9只手套才能保證有3副同色的。練習(xí)3：1、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有4副同色的？2、布袋中有同樣規(guī)格但顏色不同的襪子若干只。顏色有白、黑、藍(lán)三種。問：最少要摸出多少只襪子，才能保證有3雙同色的？3、一個(gè)布袋里有紅、黃、藍(lán)色襪子各8只。每次從布袋中拿出一只襪子，最少要拿出多少只才能保證其中至少有2雙不同襪子？例題4：任意5個(gè)不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是4的倍數(shù)，這是為什么？一個(gè)自然數(shù)除以4的余數(shù)只能是0，1，2，3。如果有2個(gè)自然數(shù)除以4的余數(shù)相同，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差就是4的倍數(shù)。一個(gè)自然數(shù)除

7、以4的余數(shù)可能是0，1，2，3，所以，把這4種情況看做時(shí)個(gè)抽屜，把任意5個(gè)不相同的自然數(shù)看做5個(gè)元素，再根據(jù)抽屜原理，必有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)的余數(shù)是相同的，它們的差一定是4的倍數(shù)。所以，任意5個(gè)不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是4的倍數(shù)。練習(xí)4：1、任意6個(gè)不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是5的倍數(shù)，這是為什么？2、任意取幾個(gè)不相同的自然數(shù)，才能保證至少有兩個(gè)數(shù)的差是8的倍數(shù)？3、證明在任意的（n+1）個(gè)不相同的自然數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)之差為n的倍數(shù)。例題5：能否在圖29-1的5行5列方格表的每個(gè)空格中，分別填上1，2，3這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè)，使得每行、每列及對(duì)角線AD、BC

8、上的各個(gè)數(shù)的和互不相同？由圖29-1可知：所有空格中只能填寫1或2或3。因此每行、每列、每條對(duì)角線上的5個(gè)數(shù)的和最小是1×5=5，最大是3×5=15。從5到15共有11個(gè)互不相同的整數(shù)值，把這11個(gè)值看承11個(gè)抽屜，把每行、每列及每條對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和看承元素，只要考慮元素和抽屜的個(gè)數(shù)就可得出結(jié)論是不可能的。因?yàn)槊啃?、每列、每條對(duì)角線上的5個(gè)數(shù)的和最小是5，最大是15，從5到15共有11個(gè)互不相同的整數(shù)值。而5行、5列及兩條對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和共有12個(gè)，所以，這12條線上的各個(gè)數(shù)的和至少有兩個(gè)是相同的。練習(xí)5：1、能否在6行6列方格表的每個(gè)空格中，分別填上1，2，3這三

9、個(gè)數(shù)中的任一個(gè)，使得每行、每列及對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和互不相同？為什么？2、證明在8×8的方格表的每個(gè)空格中，分別填上3，4，5這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè)，在每行、每列及對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和中至少有兩個(gè)和是相同的。3、在3×9的方格圖中（如圖29-2所示），將每一個(gè)小方格涂上紅色或者藍(lán)色，不論如何涂色，其中至少有兩列的涂色方式相同。這是為什么？答案：練11、 1992年共有366天，把它看成是366個(gè)抽屜，把370個(gè)人放入366個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)人，因此其中至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天的。2、 2月份最多有29天，把它看作29個(gè)抽屜，把30名學(xué)生放入29個(gè)抽屜，至少有一

10、個(gè)抽屜里有兩個(gè)人，因此這30名學(xué)生中至少有兩個(gè)學(xué)生的生日是在同一天。3、 一年有12個(gè)月，把12個(gè)月看作12個(gè)抽屜，把15個(gè)小朋友放入12個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)小朋友，因此至少有2個(gè)小朋友是才同一個(gè)月出生。練21、 買書的類型中買一本的有4種，買二本的有6種，買三本的有4種，買4本的有一種，共有4+6+4+115種情況。把種15種情況看出15個(gè)抽屜，要保證有兩位同學(xué)買到相同的書，至少要去16位學(xué)生。2、 從三周圖書種任意借2本，只有6種情況。要保證有兩個(gè)所借的圖書屬于同一種，至少要7個(gè)學(xué)生。3、 玻璃珠子的顏色有三種，要保證有2個(gè)同色，最少應(yīng)取出4只珠子。練31、 思路同例3，最少要

11、摸出11只手套才能保證有4付同色的。2、 把三種顏色看作3個(gè)抽屜，要保證有一雙同色的就要摸出4只襪子，這時(shí)拿出1雙同色的后，3個(gè)抽屜中還剩2只襪子。以后，只要再摸出2只襪子就可保證有一雙同色的。因此，要保證有3雙同色的，最少要摸4+2+28只襪子。3、 袋中有三種襪子時(shí)。每次從袋中拿出一只襪子，有可能拿出8只都是同一顏色。在余下兩種顏色中要拿出一雙同色的襪子，最少要取3只。因此，最少要拿出8+311只才能保證其中至少有2雙顏色不同的襪子。練41、 一個(gè)自然數(shù)除以5的余數(shù)可能是0、1、2、3、4，把這5種情況看做5個(gè)抽屜，6個(gè)不同的自然數(shù)放入這5個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜中至少有兩個(gè)數(shù)，這兩數(shù)的余數(shù)是

12、相同的，所以它們的差一定是5的倍數(shù)。2、 一個(gè)自然數(shù)除以8的余數(shù)可能是0、1、2、3、4、6、7，把這8種情況看做8個(gè)抽屜，要保證至少有兩個(gè)數(shù)的差是8的倍數(shù)，就要保證至少有1個(gè)抽屜里有兩個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原理，要取9個(gè)不同的自然數(shù)，才能保證至少有兩個(gè)數(shù)的差是8的倍數(shù)。3、 一個(gè)自然數(shù)除以n的余數(shù)可能是0、1、2、3、.n1，把這n種情況看作n個(gè)抽屜，把（n+1）個(gè)自然數(shù)反復(fù)如n個(gè)抽屜中去，則必有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，則它們的差一定能被n整除，也就是n的倍數(shù)。練51、 不可能。因?yàn)槊啃?、每列、每條對(duì)角線上的6個(gè)數(shù)的和最小是6，最大是18。從6到18共有13個(gè)不同的整數(shù)值，而6行、6

13、列及兩條對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和共有14個(gè)，所以這14條線上的各個(gè)數(shù)的和至少有兩個(gè)是相同的。2、 因?yàn)槊啃?、每列、每條對(duì)角線上的8個(gè)數(shù)的和最小是24，最大是40。從24到40共有17個(gè)互不相同的整數(shù)值，而8行、8列及兩條對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和共有18個(gè)，所以這14條線上的各個(gè)數(shù)的和至少有兩個(gè)是相同的。3、 每個(gè)方格中可涂上紅、藍(lán)兩種不同的顏色，每列3個(gè)方格的土色就有2×2×28種不同情況，把這8種情況看做8個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理，9列中至少有兩列的土色方式是相同的。抽屜原理（二）專題簡(jiǎn)析：在抽屜原理的第（2）條原則中，抽屜中的元素個(gè)數(shù)隨著元素總數(shù)的增加而增加，當(dāng)元素總數(shù)達(dá)到抽屜數(shù)的

14、若干倍后，可用抽屜數(shù)除元素總數(shù)，寫成下面的等式： 元素總數(shù)=商×抽屜數(shù)+余數(shù)如果余數(shù)不是0，則最小數(shù)=商+1；如果余數(shù)正好是0，則最小數(shù)=商。例題1：幼兒園里有120個(gè)小朋友，各種玩具有364件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具？把120個(gè)小朋友看做是120個(gè)抽屜，把玩具件數(shù)看做是元素。則364=120×3+4，4120。根據(jù)抽屜原理的第（2）條規(guī)則：如果把m×x×k（xk1）個(gè)元素放到x個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里含有m+1個(gè)或更多個(gè)元素。可知至少有一個(gè)抽屜里有3+1=4個(gè)元素，即有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具。練習(xí)1：1、一

15、個(gè)幼兒園大班有40個(gè)小朋友，班里有各種玩具125件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具？2、把16枝鉛筆放入三個(gè)筆盒里，至少有一個(gè)筆盒里的筆不少于6枝。這是為什么？3、把25個(gè)球最多放在幾個(gè)盒子里，才能至少有一個(gè)盒子里有7個(gè)球？例題2：布袋里有4種不同顏色的球，每種都有10個(gè)。最少取出多少個(gè)球，才能保證其中一定有3個(gè)球的顏色一樣？把4種不同顏色看做4個(gè)抽屜，把布袋中的球看做元素。根據(jù)抽屜原理第（2）條，要使其中一個(gè)抽屜里至少有3個(gè)顏色一樣的球，那么取出的球的個(gè)數(shù)應(yīng)比抽屜個(gè)數(shù)的2倍多1。即2×4+1=9（個(gè)）球。列算式為 （31）×4+1=9（個(gè)）練習(xí)2

16、：1、布袋里有組都多的5種不同顏色的球。最少取出多少個(gè)球才能保證其中一定有3個(gè)顏色一樣的球？2、一個(gè)容器里放有10塊紅木塊、10塊白木塊、10塊藍(lán)木塊，它們的形狀、大小都一樣。當(dāng)你被蒙上眼睛去容器中取出木塊時(shí)，為確保取出的木塊中至少有4塊顏色相同，應(yīng)至少取出多少塊木塊？3、一副撲克牌共54張，其中113點(diǎn)各有4張，還有兩張王的撲克牌。至少要取出幾張牌，才能保證其中必有4張牌的點(diǎn)數(shù)相同？例題3：某班共有46名學(xué)生，他們都參加了課外興趣小組?；顒?dòng)內(nèi)容有數(shù)學(xué)、美術(shù)、書法和英語，每人可參加1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)或4個(gè)興趣小組。問班級(jí)中至少有幾名學(xué)生參加的項(xiàng)目完全相同？參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況，只參

17、加一個(gè)組的有4種類型，只參加兩個(gè)小組的有6個(gè)類型，只參加三個(gè)組的有4種類型，參加四個(gè)組的有1種類型。把4+6+4+1=15（種）類型看做15個(gè)抽屜，把46個(gè)學(xué)生放入這些抽屜，因?yàn)?6=3×15+1，所以班級(jí)中至少有4名學(xué)生參加的項(xiàng)目完全相同。練習(xí)3：1、某班有37個(gè)學(xué)生，他們都訂閱了小主人報(bào)、少年文藝、小學(xué)生優(yōu)秀作文三種報(bào)刊中的一、二、三種。其中至少有幾位同學(xué)訂的報(bào)刊相同？2、學(xué)校開辦了繪畫、笛子、足球和電腦四個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加）。某班有52名同學(xué)，問至少有幾名同學(xué)參加課外學(xué)習(xí)班的情況完全相同？3、庫房里有一批籃球、排球、足球和鉛球，每人任意搬運(yùn)兩個(gè)，

18、問：在31個(gè) 搬運(yùn)者中至少有幾人搬運(yùn)的球完全相同？例題4：從1至30中，3的倍數(shù)有30÷3=10個(gè)，不是3的倍數(shù)的數(shù)有3010=20個(gè)，至少要取出20+1=21個(gè)不同的數(shù)才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)。練習(xí)4：1、在1，2，3，49，50中，至少要取出多少個(gè)不同的數(shù)，才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)能被5整除？2、從1至120中，至少要取出幾個(gè)不同的數(shù)才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)？3、從1至36中，最多可以取出幾個(gè)數(shù)，使得這些數(shù)中沒有兩數(shù)的差是5的倍數(shù)？例題5：將400張卡片分給若干名同學(xué)，每人都能分到，但都不能超過11張，試證明：找少有七名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同。這題需要靈活運(yùn)

19、用抽屜原理。將分得1，2，3，11張可片看做11個(gè)抽屜，把同學(xué)人數(shù)看做元素，如果每個(gè)抽屜都有一個(gè)元素，則需1+2+3+10+11=66（張）卡片。而400÷66=64（張），即每個(gè)周體都有6個(gè)元素，還余下4張卡片沒分掉。而這4張卡片無論怎么分，都會(huì)使得某一個(gè)抽屜至少有7個(gè)元素，所以至少有7名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同。練習(xí)5：1、把280個(gè)桃分給若干只猴子，每只猴子不超過10個(gè)。證明：無論怎樣分，至少有6只猴子得到的桃一樣多。2、把61顆棋子放在若干個(gè)格子里，每個(gè)格子最多可以放5顆棋子。證明：至少有5個(gè)格子中的棋子數(shù)目相同。3、汽車8小時(shí)行了310千米，已知汽車第一小時(shí)行了25千米，最

20、后一小時(shí)行了45千米。證明：一定存在連續(xù)的兩小時(shí)，在這兩小時(shí)內(nèi)汽車至少行了80千米。答案：練11、 把40名小朋友看做40個(gè)抽屜，將125件玩具放入這些抽屜，因?yàn)?253×40+5，根據(jù)抽屜原理，可知至少有一個(gè)抽屜有4件或4件以上的玩具，所以肯定有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具。2、 把三個(gè)筆盒看做3個(gè)抽屜，因?yàn)?65×3+1，根據(jù)抽屜原理可以至少有一個(gè)筆盒里的筆有6枝或6枝以上。3、 把盒子數(shù)看成抽屜，要使其中一個(gè)抽屜里至少有7個(gè)球，那么球的個(gè)數(shù)至少應(yīng)比抽屜個(gè)數(shù)的（71）倍多1，而254×（71）+1，所以最多方子4個(gè)盒子里，才能保證至少有一個(gè)盒子里有7個(gè)球。練2

21、1、 最少應(yīng)取出（31）×5+111個(gè)球2、 至少取出（41）×3+110塊木塊。3、 如果沒有兩張王牌，至少要?。?1）×13+140張，再加上兩張王牌，至少要摸出40+242張，才能保證其中必有4張牌點(diǎn)數(shù)相同。練31、 小學(xué)六年中最多有2個(gè)閏年，共366×2+365×42191天，因?yàn)?31706×2192+18，所以其中一定有7人是同年同月同日生的。2、 參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況，只參加一個(gè)組的有4種類型，只參加兩個(gè)組的有6種類型，只參加三個(gè)字的有4種類型，參加四個(gè)組的有1種類型。把4+6+4+115種類型看作15個(gè)抽屜，把46個(gè)學(xué)生放入這些抽屜，因?yàn)?615×3+1，所以班級(jí)中至少有4名學(xué)生參加的項(xiàng)目完全相同。3、 全班訂閱報(bào)刊的類型共有3+3+17種，因?yàn)?75