高一數(shù)學(xué)競賽試題含參考答案

1、高一數(shù)學(xué)競賽試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。1某同學(xué)使用計算器求50個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中的一個數(shù)據(jù)150輸入為15，那么由此求出的平均值與實際平均值的差是（ ）A B C3 D2設(shè)集合，則等于（ ） A B C D3已知，則與的關(guān)系是（ ）A或 B C D4下列函數(shù)中在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）A BC D5若則（ ）A B C D6函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）A B C D7記為坐標原點，已知向量，又有點，滿足，則的取值范圍為（ ）A B C D 8已知，則是直角三角形的概率是（ ）A BC D 9設(shè)，其中，則的最小值為（ ）A B CD 10點在軸上，若存在過的直線交

2、函數(shù)的圖象于兩點，滿足，則稱點為“點”，那么下列結(jié)論中正確的是 （ ）A軸上僅有有限個點是“點”； B軸上所有的點都是“點”； C軸上所有的點都不是“點”；D軸上有無窮多個點（但不是所有的點）是“點” 開 始否是(12題圖)結(jié) 束二、填空題：本大題共7小題，每小題7分，共49分11同時拋擲三枚均勻的硬幣，出現(xiàn)兩個正面一個背面的概率是 12如圖執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的值為 13函數(shù)的值域是 （其中表示不超過實數(shù)的 最大整數(shù)）14. 已知定義域為的函數(shù)對任意都滿足條件 與，則對函數(shù)，下列結(jié)論中必定正確的是 （填上所有正確結(jié)論的序號） 是奇函數(shù)； 是偶函數(shù)；是周期函數(shù)； 的圖象是軸對稱的15若

3、為整數(shù)，關(guān)于的方程有整數(shù)根，則 16是定義域為的函數(shù)，若函數(shù)有且僅有4個不同的零點，則這4個零點之和為 17求值： 答題卷本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘題號一二三總分181920得分得分評卷人一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分 題號12345678910答案得分評卷人二、填空題：本大題共7小題，每小題7分，共49分11 12 13 14 15 16 17 得分評卷人三、解答題：本大題共3小題，共51分18（本題滿分16分） 已知函數(shù) 求的最小正周期和的值域； 若為的一個零點，求的值得分評卷人19（本題滿分17分）設(shè)函數(shù)，對于給定的實數(shù)，在區(qū)間上有最大值和最小值，記 求

4、的解析式；問為何值時，有最小值？并求出的最小值 得分評卷人20. （本題滿分18分）定義在正實數(shù)集上的函數(shù)滿足下列條件：存在常數(shù)，使得；對任意實數(shù), 當(dāng)時，有求證：對于任意正數(shù)，； 證明：在正實數(shù)集上單調(diào)遞減； 若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍 試題解答一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分 1某同學(xué)使用計算器求50個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中的一個數(shù)據(jù)150輸入為15，那么由此求出的平均值與實際平均值的差是（ ） A B C3 D解:求出的平均值實際平均值,選B2設(shè)集合，則等于（ ） A B C D解：可得，所以，選C3已知，則與的關(guān)系是（ ）A或 B C D解:由于,與的終邊位置

5、相同或關(guān)于軸對稱,所以或,合并得選D4下列函數(shù)中在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）A BC D解：將選擇支中各函數(shù)用區(qū)間逐一檢驗知，只有C中函數(shù)滿足要求選C5若則（ ）A B C D解：因為，可知函數(shù)單調(diào)遞減，已知不等式即，所以，選A6函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）A B C D解：，所以的零點 個數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的交 點的個數(shù)，作圖可知有個交點，選D7記為坐標原點，已知向量，又有點，滿足，則 的取值范圍為（ ）A B C D 解：，點在以點為圓心，為半 徑的圓周上可得，如圖可知，當(dāng) 直 線與圓周相切時，有最大值為，當(dāng)三點共線時有最小值為，所以的取值范圍為選A8已知，則是直角三角形的概率是（ ）A BC D 解

6、：由與構(gòu)成三角形及知，可得 與垂直，則；若與垂直，則（舍去）；若與垂直，或（舍去）；綜上知，滿足要求的有個，所求概率為故選 D9設(shè)，其中，則的最小值為（ ）A B CD 解1：，由得當(dāng)且僅當(dāng)時，選B解2：當(dāng)且僅當(dāng)時，選B10點在軸上，若存在過的直線交函數(shù)的圖象于兩點，滿足，則稱點為“點”，那么下列結(jié)論中正確的是 （ ）A軸上僅有有限個點是“點”； B軸上所有的點都是“點”； C軸上所有的點都不是“點”；D軸上有無窮多個點（但不是所有的點）是“點” 解1：設(shè)，因為，所以，得即對于軸上任意點，總有，滿足題設(shè)要求，故選B開 始否是(12題圖)結(jié) 束解2：（動態(tài)想象）：任取軸上點，將直線由軸位置開始繞

7、點逆時針旋轉(zhuǎn)，與函數(shù)的圖象的位置關(guān)系必將經(jīng)歷從不交到相切再到交于兩個點（由下至上）直到最后只交于一個點當(dāng)交于兩個點時，在由正到負的過程中必將經(jīng)歷零點當(dāng)時，即有，所以軸上所有的點都是“點”二、填空題：本大題共7小題，每小題7分，共49分11同時拋擲三枚均勻的硬幣，出現(xiàn)兩個正面一個背面的概率是 解：同時拋擲三枚均勻硬幣出現(xiàn)的等可能基本事件共有種，其 中兩個正面一個背面的情況有（正，正，背），（正，背，正）與（背，正，正）三種，故所求概率為12如圖執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的值為 解：13函數(shù)的值域是 （其中表示不超過實數(shù)的 最大整數(shù)）解：，所以 的所有可能取值為，從而值域為14已知定義域為的函數(shù)

8、對任意都滿足條件 與，則對函數(shù)，下列結(jié)論中必定正確的是 （填上所有正確結(jié)論的序號） 是奇函數(shù)； 是偶函數(shù)；是周期函數(shù)； 的圖象是軸對稱的解：由知有周期，于是，知 為奇函數(shù)，填15若為整數(shù)，關(guān)于的方程有整數(shù)根，則 解：設(shè)為方程的整數(shù)根，則，必有或得或16是定義域為的函數(shù)，若函數(shù)有且僅有4個不同的零點，則這4個零點之和為 解：，有對稱軸，故4個零點和為817求值： 解1：如圖，構(gòu)造邊長為的正五邊形，使得，則依次可得，由于，所以，從而解2：原式三、解答題：本大題共3小題，共51分18（本題滿分16分） 已知函數(shù) 求的最小正周期和的值域；若為的一個零點，求的值解： .4分所以的最小正周期；.5分由，得

9、的值域為.7分，由題設(shè)知，.8分由，結(jié)合知，可得.10分，.12分，.14分.16分19（本題滿分17分）設(shè)函數(shù)，對于給定的實數(shù)，在區(qū)間上有最大值和最小值，記 求的解析式；問為何值時，有最小值？并求出的最小值解：，拋物線開口向上，其對稱軸方程為，下面就對稱軸與區(qū)間端點的相對位置分段討論：.1分當(dāng)時，且，此時，3分當(dāng)時，且，此時，5分當(dāng)時，在區(qū)間上遞增，此時，7分當(dāng)時，在區(qū)間上遞減，此時，9分綜上所得10分當(dāng)時， ；11分當(dāng)時， 遞減，；.13分當(dāng)時， 遞增，；.15分當(dāng)時， .16分綜上所述，當(dāng)時，.17分20.(本題滿分18分)定義在正實數(shù)集上的函數(shù)滿足下列條件：存在常數(shù)，使得；對任意實數(shù), 當(dāng)時，有求證：對于任意正數(shù)，；證明：在正實數(shù)集上單調(diào)遞減； 若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范