F0302005陶治忠5030209143修正電容電感充放電方程的嘗試在

1、修正電容電感充放電方程的嘗試在模擬電路的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)電容以及電的知識(shí)，知道了他們是模擬電路中不可或缺的電器元件，可以用改變輸入信號(hào)的頻率和相位等，也可作為儲(chǔ)能元件用于電路。但我卻對(duì)其充放電所給的方程產(chǎn)生了一定的疑問(wèn)一一那源于一次作業(yè)，按照理論，電感，電容作為儲(chǔ)能元件，其充放電時(shí)間為無(wú)窮大，亦即，永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到充滿或放光的程度。然而，根據(jù)量子力學(xué)，能量是非連續(xù)分布的一一在電路中，能量的最小單位應(yīng)該是單個(gè)電子所帶有的能量，那也就是說(shuō)，永遠(yuǎn)無(wú)法完成充電或放電意味著有一個(gè)電子永遠(yuǎn)無(wú)法放出或吸入，那是從何時(shí)開(kāi)始無(wú)能量輸入或輸出？那是否意味著其后的充放電方程是不正確的？想到這個(gè)問(wèn)題在進(jìn)一步聯(lián)想到量

2、子力學(xué)中對(duì)于能量是以能級(jí)躍進(jìn)式存在的，于是我對(duì)整個(gè)的充放電方程產(chǎn)生了一定的疑問(wèn)一一因?yàn)樗o的方程，是由經(jīng)典理論推得的，其代表的函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，而根據(jù)量子理論能量恰恰并不是連續(xù)變化的。雖然在能量較大，單個(gè)電子所帶能量較小，而充放電時(shí)間較短情況下，這一兩個(gè)電子所帶電能是可以忽略不計(jì)的，然而，在充放電能量較小，而單個(gè)電子所帶能量又較大，且是需要電容電感長(zhǎng)時(shí)間充放電的情況下，便需要方程的修正。以我們熟悉的RC電路為例，假設(shè)是最簡(jiǎn)單的的由電壓源，一個(gè)電阻和一個(gè)電容組成的電路，1t我們已知電容瞬時(shí)兩端電壓為u=己,0idt；tu12則此時(shí)其所含的電能為uidt=CuduCu2-0-02_Lt當(dāng)電容充電時(shí)u

3、c二U-UeRC11t2所以電容的電能與時(shí)間的關(guān)系是-C(U-UeRC)22此時(shí)單個(gè)電子的電量為q=1.610,9ct則單個(gè)電子所帶電能為Uq=ucq=(U-UeRC)q由于電容所含的電能必須是單個(gè)電子所含電能的整數(shù)倍，所以應(yīng)有如下關(guān)系：1工t21一二tC(U-UeRC)2-C(U-UeRC)22-Lt-。(U-UeRC)qq其中n應(yīng)為整數(shù)1t考慮到C一定，與q無(wú)關(guān)，而f(x)=uc=U-UeRC是一連續(xù)函數(shù)，故n不可能為整1tC(U-UeRC)1tt則得到電容電能的修正式為；2(U-UeRC)q其中口為取整符號(hào)然而事情似乎遠(yuǎn)非這么簡(jiǎn)單，乍看下來(lái)，似乎像那么回事，然而，細(xì)細(xì)考慮上式的推導(dǎo)過(guò)程，

4、就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)式子僅僅是經(jīng)典理論的改良，也就是說(shuō)，這個(gè)式子仍然是由經(jīng)典理論，通過(guò)數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)的經(jīng)典方程，再經(jīng)過(guò)改良所得到的。而經(jīng)典理論的依據(jù)，則是基爾霍夫電壓定律U=Riuc=RC四cudt而由于式中，i是作為獨(dú)立連續(xù)變量考慮，再通過(guò)微分方程求解，由經(jīng)典法得出uc,此時(shí)便已經(jīng)偏離了量子理論所規(guī)定的能級(jí)方式，實(shí)際電流應(yīng)是由電子組成，電流強(qiáng)度表示單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的電量，瞬時(shí)值理應(yīng)是單位電子帶電量的整數(shù)倍。由此想到，在我們現(xiàn)在所學(xué)的所有電學(xué)課程中，基本上都是從宏觀考慮問(wèn)題，忽略微觀的量子特性，例如把電流作為可連續(xù)取值的變量加以計(jì)算。由于我們所身處的環(huán)境基本上都是高能，低壓占主導(dǎo)位置的，所以，這樣計(jì)算的

5、誤差微乎其微。以電容充電為例，由量子理論與經(jīng)典方法比較所得的誤差不超過(guò)一個(gè)電子所帶的電能itUq=ucq=(U-UeRC)q假設(shè)U=220V,C=50NF,當(dāng)t=f=RC時(shí)uc=63.2%U;ucq=0.632Uq=0.6322201.610,9=2.2246410/7J而此時(shí)，電容所具有的電能為1C(U-UeRC)2-0.55010”(0.632220)2-0.483303J2然后對(duì)兩者進(jìn)行分析，得到EC=2.17251016Eq相差了十六個(gè)數(shù)量級(jí)，完全可忽略不計(jì)。這僅僅現(xiàn)在的情況，一方面是由于技術(shù)水平的的限制是人類(lèi)不能造出足夠大的電容，另一方面，人類(lèi)很少有機(jī)會(huì)接觸，也沒(méi)有必要接觸超高的電壓

6、。但隨著科技的發(fā)展，首先不能斷言人類(lèi)永遠(yuǎn)無(wú)法制造大容量電容，這是一個(gè)幾乎所有的電子元件研究單位都在努力，渴望有所突破的領(lǐng)域；其次，人類(lèi)更無(wú)法避免接觸超高電壓，近到研究閃電所帶的電能的利用，遠(yuǎn)到進(jìn)入浩瀚的宇宙，探索黑洞，反物質(zhì)，暗物質(zhì)，高電離狀態(tài)，百萬(wàn)伏當(dāng)量在未來(lái)也許只算平常，此時(shí)如果不對(duì)電學(xué)方程進(jìn)行全面的修正，能量的誤差就會(huì)變得很大，就會(huì)引起不必要的麻煩，甚至導(dǎo)致災(zāi)難，這是我們所不想看到的。而如果有特殊需要必須制造小耗量而超高電壓的精密儀器，修正電學(xué)方程就尤為重要了，也正如我們之前所看到的，當(dāng)電容兩端的電壓大幅升高，可以使得單個(gè)電子所帶能量以幾何級(jí)數(shù)增加，而此時(shí)再降低電容的儲(chǔ)能(通過(guò)減小電容C

7、),這就使得單個(gè)電子電能與電容儲(chǔ)能大幅度接近。而當(dāng)兩者的數(shù)量級(jí)之差在102之內(nèi)時(shí)，我們就不得不考慮由于經(jīng)典方程的偏差對(duì)結(jié)果造成的影響了。然而，當(dāng)我試圖從我的觀點(diǎn)對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行修正時(shí)，我卻失敗了，由于我的數(shù)學(xué)水平有限，無(wú)法對(duì)加有整數(shù)倍限制的微分方程求解。這是由于求電容兩端電壓時(shí)要解出帶有duc的微分方程，而duc是受i限制的(i=Cduc),或者說(shuō)是受電子整數(shù)倍限制的微分，所以在dt解這個(gè)微分方程時(shí)，我的高數(shù)知識(shí)顯得十分貧乏，導(dǎo)致了我從量子基礎(chǔ)推倒方程這一計(jì)劃的失敗。所以，我對(duì)電容充電方程的修正僅限于通過(guò)對(duì)經(jīng)典方法加以改良得到，也即前面所提到的11ct-C(U-UeRC)it2(U-UeRC)q口為取整符號(hào)同時(shí)用同樣的方法可得到電容的放電方程,1tU-UeRCc11 C1-tC所以：1Cu2=1(UeRC