解三角形知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)

1、根底強(qiáng)化8一一解三角形1 三角形三角關(guān)系：A+B+C=180 ; C=180° -(A+B);三角形三邊關(guān)系：a+b>c; a-b<csin(A B) si nC,cos(A B)cosC, tan (A B) tanC,銳角三角形性質(zhì)：假設(shè)A>B>C那么60 A 90 ,0 C 60a b csin sin sin Casinbsincsin C=2RsinA2BcC;os ,cos2A B C + A sin ,tan 2B2+ C cot-223、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、C的對(duì)邊，R為C的外接a圓的半徑，那么有 bc2R .sinsinsi

2、n C4、正弦定理的變形公式：化角為邊：a2Rsin,b2Rsi n,c2Rsin C ；化邊為角：sina,sinbsin Cc2R2R，2R ； a : b: c sin:sin:sinC;2、三角形中的根本關(guān)系:兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角 的情況一解、兩解、三角形面積公式：.(對(duì)于兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解6、C 1bcs in27、余弦定理：在三解 )1 abs in C21 . acs in2.=2R2sinAsin Bsi nC=也=(a b c)4RC中,2bc cos，b22ac cos ，c2a2 b2 2abcosC .余弦定理的推論：cosb22a2bc

3、，coscosC2.2 2a b c2ab9、余弦定理主要解決的問(wèn)題:兩邊和夾角，求其余的量。三邊求角5、兩類(lèi)正弦定理解三角形的問(wèn)題：兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角10、三角形的五心:垂心三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn) 重心一一三角形三條中線(xiàn)的相交于一點(diǎn) 外心三角形三邊垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn) 內(nèi)心三角形三內(nèi)角的平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)旁心三角形的一條內(nèi)角平分線(xiàn)與其他兩個(gè)角的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)與俯角，方向角與方位角題型一：求解斜三角形中的根本元素指兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問(wèn)題，進(jìn)而求出三角形的三線(xiàn)(高線(xiàn)、角平分線(xiàn)、中線(xiàn))及周長(zhǎng)等根本問(wèn)題.例1. 1在 ABC中， A 45 , B 6

4、0 , a 42 cm，解三角形.2在 ABC 中，c ,6, A 45,a 2,求 b和 B,C .3在 ABC中，b 3,B 60 ,c 1,求a和A,C .4在厶 ABC 中， a 3 , b 、2 , B 45，求 A,C 和 c .5在厶ABC中，三邊長(zhǎng)a3 , b 4 , c 37 ，求三角形的最大內(nèi)角.si nC2在 ABC中，ABdsB,AC邊上的中線(xiàn)BD .5 ,6求sinA的值.1 .在 ABC 中，a題型二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀.例2. 1在 ABC中，a 2bcosC，那么此三角形一定是2在 ABC中，假設(shè)sinC 2cosAs

5、in B，那么此三角形必是3設(shè) ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，假設(shè)a (b c)cosC ,那么 ABC的形狀是1、在 ABC 中，假設(shè) lgsi nA lgcos B lg si nC lg 2,那么 ABC 的形狀是()A.直角三角形B.等邊三角形C.不能確定D.等腰三角形2 .在 ABC中，假設(shè)bcosC ccos B a si nA,貝U ABC的形狀為A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定題型三：與面積有關(guān)問(wèn)題例 3、向量 m (sinx, . 3sinx), n (sinx, cosx),設(shè)函數(shù) f (x) m n,假設(shè)函數(shù) g(x)的圖象與f(x)的

6、圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(1)求函數(shù)g (x)在區(qū)間2,石上的最大值，并求出此時(shí) X的值；在 ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，A為銳角，假設(shè)f(A) g(A)2b c 7, ABC的面積為23,求邊a的長(zhǎng).2 一1.、在 ABC中，內(nèi)角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.cos A, si nB . 5 cosC.3(1)求tan C的值；(2)假設(shè)a 2,求 ABC的面積.2. ABC 的周長(zhǎng)為 2 1，且 sinA sin B ，2si nC .I求邊AB的長(zhǎng)；1II假設(shè) ABC的面積為一sin C ,求角C的度數(shù).62 在銳角 ABC中，角AB, C所對(duì)的邊分別為a, b,

7、c， sin A1求題型之四：三角形中求值問(wèn)題1.在 ABC中，A、 B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a、b、c,設(shè)a、b、c滿(mǎn)足條件b2 c2 bc a2和- 丄.3，求 A和tan B的值b 2E 丁 肘號(hào)的值；2假設(shè)a 2 , & ABC d，求b的值。3 .在 ABC中，內(nèi)角A, B, C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是 a, b, c，c 2 , CI假設(shè) ABC的面積等于3，求a, b ；n假設(shè) si nC sin(B A) 2si n 2A，求 ABC的 面積.題型五：解三角形中的最值問(wèn)題例5.在厶ABC中，角A，B, C所對(duì)的邊分別為a，b, c,c 2，C -3(1) 求厶ABC周長(zhǎng)的取值范

8、圍(2) 求厶ABC面積的取值范圍 ABC 中，角 A，B，C所對(duì)的邊分別為 a，b，c， cosC (cosA 3sin A)cos B 0 .1求角B的大小；(2)假設(shè)a c 1，求b的取值范圍2. ABC在內(nèi)角 A,B,C的對(duì)邊分別為a,b, c,a b cosC csi nB.(I)求B ；( n )假設(shè)b 2,求厶ABC面積的最大值.3. a,b,c分別為 ABC的三個(gè)內(nèi)角 代B,C的對(duì)邊，a=2，且(2 b)(sin A sin B) (c b)sin C，那么 ABC 面積的最大值為4. 設(shè)銳角三角形 ABC的內(nèi)角A，B, C的對(duì)邊分別為 a，b，c，a=2bsinA.I求B的大

9、小；n求cosA+sinC的取值范圍.B C5. ABC的三個(gè)內(nèi)角為 A、B、C，求當(dāng)A為何值時(shí)，cosA 2cos取得最大值，并2求出這個(gè)最大值。題型六：圖形中的解三角形例6.如圖，在 ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且1如圖 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，AC AD ,2 2sin BAC 一，AB 3 J2, AD 3，那么 BD 的長(zhǎng)為3題型七：正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用一測(cè)量問(wèn)題1如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定 B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物 C,測(cè)得/ CAB=30°, / CBA=75 , AB=120cm，求河的寬度。圖1C二遇險(xiǎn)問(wèn)題2某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15。北的方向，此艦艇以 30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30°北。假設(shè)此燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)此艦艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)?圖2AB AD,2