菱形問題分類例析

1、動(dòng)手操作折菱形折紙是一種既有趣味性， 同時(shí)也能培養(yǎng)我們的動(dòng)手操作能力和思維能力的一種活動(dòng)，通過折紙可以得到許多美麗的圖案，下面就談?wù)勅绾螌⑷切位蚓匦蔚募埰鄢鲆粋€(gè)菱形。一、從三角形紙片中折出菱形例1、將一張三角形的紙片 ABC按照如下的折疊步驟進(jìn)行折疊：1將三角形的紙片 ABC沿過B點(diǎn)的某條直線折疊，使BC與BA重合，得到折痕與 AC的交點(diǎn)D。2再將三角形的紙片 ABC沿某條直線折疊，使點(diǎn) B與點(diǎn)D重合，得到折痕與 BA、BC的交點(diǎn)E、F。那么四邊形EBFD是菱形。分析：關(guān)鍵利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到相應(yīng)的邊等和角等，然后熟練利用菱形的判定進(jìn)行說理。此題說明四邊形EBFD是菱形的方法很多，下面一一

2、予以說明。解：由第一步折疊可知：/ ABD= / CBD，由第二步折疊可知：EF垂直平分BD , BE=DE , DF=BF , OD=OB ,/ ABD= / EDB ./ EDB= / CBD .又/ EOD= / FOBEOD FOB, DE=BF BE=DE=DF=BF .四邊形EBFD是菱形四邊相等的矩形是菱形.二、從矩形紙片中折出菱形例2、把一張矩形的紙 ABCD按照如下的折疊步驟進(jìn)行折疊：將矩形的紙片 ABCD沿某條直線折疊，使點(diǎn) B與點(diǎn)D重合，得到折痕與AD、BC的交點(diǎn)E、F。那么四邊形EBFD是菱形。分析：雖然紙片不同，但方法同例1 一樣，說明四邊形EBFD是菱形的方法還有很

3、多，下面只選一種予以說明。解：由折疊可知： EF垂直平分 BD , BE=DE , DF=BF , OD=OB ,/ EBD= / EDB .四邊形 ABCD 是矩形， AD / BC, EDB= / FBD，又：厶 EOD= / FOB , EOD FOB , DE=BF BE=DE=DF=BF .四邊形EBFD是菱形四邊相等的矩形是菱形.菱形中的計(jì)算題在矩形中，常見的計(jì)算題有求線段的長(zhǎng)， 角的度數(shù)，圖形的周長(zhǎng)與面積等。 菱形作為特 殊的平行四邊形問題，平行四邊形的性質(zhì)它都具有，同時(shí)還具有它本身所特有的性質(zhì)， 即菱 形的四條邊都相等，菱形的對(duì)角線互相垂直， 并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。 下

4、面舉例說 明這些性質(zhì)在解題中的應(yīng)用。一、求角的度數(shù)圖1例1、如圖1，菱形ABCD的一條對(duì)角線 BD長(zhǎng)為12cm, 周長(zhǎng)為48 cm,求這個(gè)菱形的內(nèi)角的度數(shù)。解析：如圖1,因?yàn)樗倪呅?ABCD為菱形，周長(zhǎng)為48 cm,所以 AB=BC=CD=DA=1 2 cm,又假設(shè) BD=12cm,所以 AB=AD=BD所以 ABD為等邊三角形，所以/ A=60 ° ,所以又/ ABC= / ADC =120 °，那么/ C=60例 2、如圖 2，在菱形 ABCD 中，/ B =Z EAF = 60°, / BAE = 20°,求/ CEF.解析：連結(jié)AC.因?yàn)? B

5、= 60°, AB = BC,所以 ABC是等邊三角形，所以 AB = AC,/ BAC = 60°因?yàn)? CAF+ / CAE= 60°, / CAE + / BAE = 60°, 所以/ BAE =/ CAF.因?yàn)樗倪呅?ABCD是菱形，所以/ BCD = 180°/ B= 120° AC平分/ BCD , 所以/ ACF = 60° 即/ B =/ ACF ,在厶 ABE 和厶 ACF 中，因?yàn)? B = / ACF , AB = AC, / BAE = / CAF ,所以 ABE ACF，所以 AE = AF,因?yàn)?

6、 EAF = 60°所以 AEF是等邊三角形，即/ AEF = 60°因?yàn)? AEC =/ B+ / BAE = 60°+20° = 80°所以/ CEF = / AEC / AEF = 80° 60° = 20°、求線段的長(zhǎng)例3、菱形的周長(zhǎng)為20 cm,相鄰兩角的度數(shù)之比為 1 : 2,求菱 形的較短的對(duì)角線長(zhǎng)。解析：如圖3,因?yàn)樗倪呅?ABCD為菱形，那么CD / AB，所以/ A+ / ADC=180 °，又/ A: / ADC= 1 : 2，那么/ A=60 °，又因?yàn)榱庑蔚乃臈l邊相等，

7、即 AB=AD= 5 cm，所以 ABD為等邊三角形，圖3所以AB=BD=5cm，那么菱形的較短的對(duì)角線長(zhǎng)為5cm。三、求圖形的周長(zhǎng)例4、如圖4，菱形ABCD的兩條對(duì)角線 AC、BD的長(zhǎng)分別是那么菱形的周長(zhǎng)為，面積為解析：由于菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，所以O(shè)A=12 ,以AB= OA2 OB2 = 122 52 =13，又菱形的四條邊都相等,的周長(zhǎng)為52。111又菱形的面積為 Smbd+Sabcd= BDX OAi BDX OC= BDX222由此可以得到，菱形的面積等于兩條對(duì)角線積的一半。24和 10,A四、求圖形的面積例5、如圖5，菱形ABCD中，AB=4 , E為BC的中點(diǎn),AE丄B

8、C于E, AF丄CD 于點(diǎn)F, CG / AE , CG與AF交于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G1求菱形ABCD的面積2求/ CHA的度數(shù)解析：1連結(jié)AC , / E為BC的中點(diǎn)，AE丄BC, AB=AC ,又菱形的四邊相等， AB=BC=AC=4 ,AC二 AE= . AB2 BE2 =2 . 3,菱形ABCD的面積為4X 2.3=8.32因?yàn)镃G/ AE，又AE丄BC,所以CG丄CD，又可得厶ACD為等邊三角形， AF丄CD ,易得/ DAF=30 °，所以/ AHG=60 ° , / CHA=120 °。說明：此題也可以利用 Rt ABO求出BO的長(zhǎng)，從而求出 BD長(zhǎng)，

9、利用菱形 ABCD的面積是其對(duì)角線積的一半，求出菱形的面積。綜觀上述例題，我們可以看出，菱形的對(duì)角線將矩形分成四個(gè)等腰三角形和四個(gè)全等的 直角三角形，再由特殊角，又可得某些等邊三角形， 然后利用等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定 理來解決問題。解決菱形問題時(shí)，在充分運(yùn)用它們邊、角和對(duì)角線的性質(zhì)同時(shí)，還常常把它們轉(zhuǎn)化為等腰三角形和直角三角形中的問題，將等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)和矩形、菱1、如圖7,在菱形 ABCD中，不定成立的A四邊形ABCD是平行四邊形BAC 丄 BDC ABD是等邊三角形D/ CAB = Z CAD練習(xí):圖7形的性質(zhì)結(jié)合起來進(jìn)行求解。答案：菱形作為特殊的平行四邊形，平行四邊形的性

10、質(zhì)它都具有，同時(shí)它還具有平行四邊形不具有的性質(zhì)：四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直，每一條對(duì)角線都平分一組對(duì)角。所以A、B、D都是正確的， ABD只能是等腰三角形，要是等邊三角形，還需增加條件。應(yīng)選Co菱形“條件追溯型試題賞析這類問題的根本特征是： 針對(duì)一個(gè)結(jié)論，條件未知需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷解決這類問題的根本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件在“執(zhí)果索因的過程中，常常會(huì)犯的一個(gè)錯(cuò)誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當(dāng)作充分條件，應(yīng)引起注意現(xiàn)從中考試題中采擷幾例，予以分析.1D例1如圖1,四邊形 ABCD的對(duì)角線互相平分，要使

11、它變?yōu)榱庑?，需要添加的條件是 只填一個(gè)你認(rèn)為正確的即可解析：此題是對(duì)菱形判定的直接考查，比擬容易，只要對(duì)判定方 法熟悉，問題便可迎刃而解.因?yàn)樗倪呅?ABCD的對(duì)角線互相平分，所以四邊形ABCD丄BD.圖2例2 如圖2,在厶ABC中，AB=AC, D是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD, 在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) E,連結(jié)BE, CE.1求證： ABE ACE2當(dāng)AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABEC是菱形？并說明理由分析:欲證 ABE ACE,因?yàn)锳B=AC , AE是公共邊，只需證其夾角相等，這可由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得到；(2)假設(shè)四邊形ABEC是菱形，因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直且平分1證明：T

12、 AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)/ BAE=Z CAE ,AE=AE ABE ACE SAS2當(dāng)AE=2AD或AD=DE或DE=1AE時(shí)，四邊形 ABEC是菱形 2理由如下：/ AE=2AD , AD=DE又點(diǎn)D為BC中點(diǎn)， BD=CD四邊形ABEC為平行四形邊/ AB=AC四邊形ABEC為菱形評(píng)注：解這類問題，應(yīng)從分析題中己有條件，包括從圖形中找的條件和結(jié)論著手，通 過分析、聯(lián)想找出結(jié)記成立的必備條件，然后根據(jù)己知條件，加以補(bǔ)充、完善、驗(yàn)證.趁熱打鐵：如圖，在口ABCD中，AE是BC邊上的 高，將 ABE沿BC方向平移，使點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，得厶GFC .1求證：BE DG ;2假設(shè) B 60°，當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFG是菱形？證明你的結(jié)論.證明：1：四邊形 ABCD是平行四邊形， AB CD AE是BC邊上的高，且 CG是由AE沿BC方向平移而成. CG丄 AD. AEB CG