數(shù)列通項(xiàng)公式常用求法及構(gòu)造法

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的常用求法構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式一、構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用乘、除、去分母、添項(xiàng)、去項(xiàng)、取對(duì)數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公式變形成為f(n+1)-f(n)=A(其中A為常數(shù))形式，根據(jù)等差數(shù)列的定義知f(n)是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，先求出f(n)的通項(xiàng)公式，再根據(jù)f(n)與a。，從而求出an的通項(xiàng)公式。例1在數(shù)列an中，4=工，an書=在一(nwN+),求數(shù)歹an通項(xiàng)公式.2an3一.3a.解析：由an41=an43行，an+1On=3an+1-3On=0,兩邊向除以ch+1On行，anian3，設(shè)bn=，則bn+1-bn=1，根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列bn是首項(xiàng)b1

2、=2,公差d=+的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得bn=2+3(n-1)=|n+-3333數(shù)列通項(xiàng)公式為an=高2例2在數(shù)列4中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn*0,a1=1,an=(n>2),求Sn與an2,一no2解析：當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1代入a=新得，Sn-Sn-仔新，變形整理2snJ_'2SnJ_'得Sn-Sn-1=SnSn-1?兩邊除以SnSn-1得，'S"-六=2,.$是首相為1,公n°n_1n差為2的等差數(shù)列.Sn=1+2(n-1)=2n-1,.Sn=由(n>2),n=1也適合，.Sn=孺(n>1)當(dāng)n)2時(shí)，a

3、i=Sn-Sn-1='2；1：1-'2=-4n2_28no，n=1不滿足此式，1 n=1&=_24n2-§n3n_2、構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用乘、除、去分母、添項(xiàng)、去項(xiàng)、取對(duì)數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公式變形成為f(n+1)=Af(n)(其中A為非零常數(shù))形式，根據(jù)等比數(shù)列的定義知f(n)是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，先求出f(n)的通項(xiàng)公式，再根據(jù)f(n)與a。，從而求出an的通項(xiàng)公式。例3在數(shù)列an中，ai=2,an=an-i2(n>2),求數(shù)列an通項(xiàng)公式。解析：=ai=2,an=an-i2(n>2)>0,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，

4、lgan=2lgan-i.*=2,根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列l(wèi)gan是首相為lg2,公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得lgan=2n-ilg2=lg22ni數(shù)列通項(xiàng)公式為an=22一評(píng)析：本例通過兩邊取對(duì)數(shù)，變形成logan=2logan形式，構(gòu)造等比數(shù)列l(wèi)ogaj,先求出logan的通項(xiàng)公式，從而求出an的通項(xiàng)公式。例4在數(shù)列an中，ai=i,an+i=4an+3n+i,求數(shù)列an通項(xiàng)公式。解析：設(shè)an+i+A(n+i)+B=4(an+An+B),(A、B為待定系數(shù))，展開得3A=3A=i3B-A=ia+i=4an+3An+3B-A,與已知比較系數(shù)得.2- '-an+i+(

5、n+i)+2=4(an+n+-|),根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列ai+n+2是首項(xiàng)為8,公比為q=3的等比數(shù)列，an+n+f=-|-x33333n-i- 數(shù)列通項(xiàng)公式為an=1-X3n-i-n-反例5在數(shù)列an中，ai=i,an+ian=4n,求數(shù)列an通項(xiàng)公式。解析：an+ian=4nanan-i=4n-i兩式相除得：；：=4,- '-ai,a3,%，與a2,a4,a6,是首相分別為ai,a2,公比都是4的等比數(shù)列，又,ai=i,an+ian=4n,a2=4,an=等差等比混合構(gòu)造法iana»數(shù)列有形如f(an，an4，anan=)=0的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以，先求出,再求

6、得aan例6.設(shè)數(shù)列an滿足a1=2,an4an、(nwN),求an.an-3解：原條件變形為1an書，an+3，an+=an.兩邊同乘以，行anan1113=anan1"11、11-3(+)=+-,an2an12-=3nJan2.a=_2_n23n-1四、輔助數(shù)列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個(gè)新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列,例7.在數(shù)列GJ中，a從而利用這個(gè)數(shù)列求其通項(xiàng)公式。=1,a2=2,an-221一二an由二an，求an。33解析：在an也2=&an11十a(chǎn)n兩邊減去an4,3得an2-an1=-(an1-an)an1-an是以a2-a

7、=1為首項(xiàng)，以11為公比的等比數(shù)列,3；an書-an=（）n，,由累加法得3an=(an-an)(an一an2廣''(a2"a1)a11111-(尸31二(弓尸.(一：)心，(:)11=3=H1-(-Hn44(一3)練習(xí)*1、在數(shù)列Sh中，a1=1,an+1=3an+2n(nN*),求數(shù)列an通項(xiàng)公式解：由an+1=3an+2n(nCN*)得，an+1+2n+1=3(an+2n)(nCN*),設(shè)bn=an+2n貝Ubn+1=3bn,青=3,根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列bn是首相b1=3,公比為q=3的等比數(shù)歹！J,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得bn=

8、3n,即an+2n=3n,數(shù)列通項(xiàng)公式為an=3n-2n注意：2n+1-2n=2n2、在數(shù)列aj中，a1=1,af=an-2n+3,求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式解：、由a5=an-2n+3得，（an+2n¥）-（an+2n）=3,根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列a。+2n是首項(xiàng)為3,公差為3的等差數(shù)列，所以an+2n=3n,所以an=3n-2n3、已知數(shù)列a滿足a1=2an+=nan,求an3n1解：由條件知亙土=一,分別令n=1,2,3,.,；（n1）,代入上式得（n1）個(gè)ann1等式累乘之，即空空包.=工23；:.n_z!=包=工aa2a3an234nan23n2又“a1=一，an34 .數(shù)列

9、an滿足a1=1,an=1an+1（n>2）,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2解：由an=anj,+1(n>2)得an2=(an,2),而a12=12=1,221數(shù)列an2是以1為公比，一1為首項(xiàng)的等比數(shù)列（2產(chǎn)5 .數(shù)列A中，a1=1,a2=2,3an七=2an書+an,求數(shù)列小的通項(xiàng)公式。2 1斛.由3an七2an書+an行ane一an由an,設(shè)an七一kan七一h(an+kan)3 32 11.1比較系數(shù)得k+h=-,kh=,解得k=1,h=-一或k=一一,h=13 33311右取k=1,h=二，則有an七an+=：(an書an)33一一1.an1-an是以-為公比，以a2=2-1=

10、1為首項(xiàng)的等比數(shù)列3=（一；嚴(yán)3由逐差法可得an=(an-anj)(anJl-an)一-，(a2-a1)a11nNlnl2l=（一3）（飛）匕）匕）一1-(-1廣331=3l一(廣l4.3；73(n.1二一一(一一)4436.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列心口的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)于任意正整數(shù)n,都有等式:2an解：+2an=4Sn成立，求an的通項(xiàng)an.22an,2an=4Sn=anJ2anJ4Sn，22"cc,an_anJ2an_2an1=4(Sn-SnJ)=4an(an+an)(an-anJ.-2)=0,-an+an¥。，,an的等差數(shù)列，且al2-2&=4曰=al=2.

11、-an=2.即Qn是以2為公差an=22(n-l)=2n7.設(shè)Q是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且a；-a；-nan-nan=0,(nCN*),求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得an)(an-an-n)=0.an>0,anA>0,an+an_1>0.an-anA=n皿（a2®-比）缸-皿23n=T8.數(shù)列Q中,前n項(xiàng)的和Sn=n2an,求an書.解:22an=Sn-Sn=nan"(n"l)an=/22(n-l)an=(n-l)anan_n-lannlanan.a2n-lan='al=an4an2alnln-2aginln(nl)l''

12、;anl=(nl)(n2)9.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列K>滿足21=1,an=2a24（n>2）.求數(shù)列除的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對(duì)數(shù)得：logan=l+2logan:10g2n+1=2(log2n-l),設(shè)bn=log；則bn=2bn,&是以2為公比的等比數(shù)列，bl=log2+l=l.bn=lM2n"=2nlog；n+l=2n110g2n=2n,l,2nan=2+l，總結(jié)而運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。遞推式一般為：a3=pan+f(n);a=pan+qn(1)通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列an+k的形式求解。一般地，形如an=pan+q(pwl,pq

13、w0)型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè)an書+k=p(an+k)與原式比較系數(shù)可得pkk=q,即k=-、，從而得等比數(shù)列an+k。(2)通過分解系數(shù),可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列an-a。的形式求解。這種方法適用于an七=pan書+qan型的遞推式，通過對(duì)系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列a-an：設(shè)an也-kan+=h(an4-kan)，比較系數(shù)得h+k=p,-hk=q,可解得h,k3、構(gòu)造法構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中，通過對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析，聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式

14、.(1)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.(2)構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3)構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(4)構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵?，使問題得以解決.補(bǔ)充一般方法：一、定義法這種方法適應(yīng)直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法,于已知數(shù)列類型的題目.例1.等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn,且

15、為，a3,a9成等比數(shù)列,2S5求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：設(shè)數(shù)列為公差為d(dA0)2 a1，染，a9成等比數(shù)列,.a3=a1a9,22.即(ai+2d)=ai(a1+8d),得d=a1d d,0,a1=d, S5=a554,、25ald=(a14d) 二2,_3.3a1d由得：5,5333an=-(n-1)-=-n.555二、累加法求形如an-an-1=f(n)(f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列)的數(shù)列通項(xiàng)，可用累加法，即令n=2,3,n1得到n1個(gè)式子累加求得通項(xiàng)。a=a1anan1,、例2.已知數(shù)列an中，a=1,對(duì)任意自然數(shù)n都有n(n+1),求%.1an-anJ=一,-解：由

16、已知得n(n+1),1anJ-an,2=；(n-1)n、1a31a2-34,1a2-a1=23,以上式子累加，利用11n(n+1)nn+1得111111!-11_an-a二23(n-2)(n-1)(n-1)nn(n1)=2n1,三、累乘法咄=f(n)對(duì)形如an的數(shù)列的通項(xiàng)，可用累乘法，即令n=2,3,n-1個(gè)式子累乘求得通項(xiàng)。1例3.已知數(shù)列小中，明=3,前n項(xiàng)和G與an的關(guān)系是S通項(xiàng)公式an.解：由&=n(2n。得=(n1)(2n3)an兩式相減得：(2n+1)an=(2n-3)an，an2n-3an一2n1,a”12n-5a21,an_22n-1a15將上面n1個(gè)等式相乘得:an(

17、2n-3)(2n-5)(2n-7)31_3a1-(2n1)(2n-1)(2n-3)75-(2n1)(2n-1)1an一，(2n1(2n-1)四、公式法若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)Sn=1an=*9-&二心2求解。例4.已知數(shù)列加)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an十(-1,n'1通項(xiàng)公式；解：由a1=S1=2a1-1,彳11al=1.當(dāng)n之2時(shí)，有an=SnSn=2(anan,)+2M(1)n,an=2an2(-1廣，am=2an22(-1)n：,n1得到n(2n1)an,求an可用公式求數(shù)列右J的,a2=2al-2.&=2n1ai升(-1)2n(

18、-1f2(-1廠=2nj(-1)n(-2尸(-2尸(-2)一n-1_9n1n21-(-2)一2一(冒)302n?+(_y.人an=22心(-1廣經(jīng)驗(yàn)證ai=1也滿足上式，所以3Snn=1an=J點(diǎn)評(píng)：利用公式1sn-Snn之2求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并.五、“歸納一猜想一證明”法直接求解或變形都比較困難時(shí)，先求出數(shù)列的前面幾項(xiàng)，猜測出通項(xiàng)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法就是“歸納一猜想一證明”法.例5.若數(shù)列.n滿足:ai=1自+=耳+3乂2口計(jì)算32,33,a4的例,由此歸納出an的公式，并證明你的結(jié)論.解：32=2ai+3X2°=2X1+3X2°,33=2(2X1+3X2°)+3X21=22