基本不等式訓(xùn)練題

1、基本不等式訓(xùn)練題、題點(diǎn)全面練x2-2x+1-111.已知f（x）=,則f（x）在b，3 上的最小值為（4B.一3xI21A. - 2C. - 1D. 0x x x xx 2x + 11解析：選 D f(x) = =x+x-2>2-2=0,711 e 2，3，r ,1 rr，-r當(dāng)且僅當(dāng)X = x，即X=1時(shí)取等號(hào).又所以f（x）在2,3 I上的最小值是0.2. （2018 哈爾濱二模）若2、+2=1,則x+y的取值范圍是（）A 0,2B. -2,0C. -2,+°°）D. （ 一- 2 V 、， 一 1解析：選D由1=2 +2yl2M2x 2y,變形為2 yw4，即x

2、+y<- 2,當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào).則x+y的取值范圍是（一8, 2.1 23.右頭數(shù)a, b滿足a+b=yOb,則ab的取小值為（）A. 2B. 2C. 2 2D. 41 2解析：選C 因?yàn)橐?=4五，所以a>。，b>0, a b所以ab>2/（當(dāng)且僅當(dāng)b= 2a時(shí)取等號(hào)），所以ab的最小值為2卷.3 1 m . . 一.4.已知a>0, b>0,右不等式一 +工:二恒成立，則 m的取大值為（）a ba+ 3bA.9B. 12_Jm_a+ 3bC.18D. 24解析：選B,3 1由一十1>a b得(a+ 3b)b+6.+ 6= 12,p 9b a又1-

3、丁+6、2、/9a b,9b a,當(dāng)且僅當(dāng)一=匚，即a= 3b時(shí)等號(hào)成立, a bme 12,m的最大值為12.5.正數(shù)a, b滿足1+9=1,若不等式 a+b>x2+4x+18 m對(duì)任意實(shí)數(shù) x恒成立, a b則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. 3 , +oo)B.(巴 3C.(巴 6D. 6 , +8)解析：選 D 因?yàn)?a>0, b>0, ：+ b=1，所以 a+ b= (a+ b) l_+ r ：= 10 + -+ ->10+ 2f9= 16,當(dāng)且僅當(dāng) »=等，即 a= 4, b =ab a ba b12時(shí)，等號(hào)成立.由題意，得 16> - x +4x

4、+ 18一m即x2-4x-2>- mt任意實(shí)數(shù)x恒成立，令 f (x) =x2- 4x-2= (x-2) 2- 6,所以f(x)的最小值為一6,所以一 6> rn,即 m6.11 ,6. (2019 青島模擬)已知 x>0, y>0, (lg 2) x+(lg 8) y= lg 2 ,則一 十 看的最小值 x 3y是.1111解析：因?yàn)?lg 2) x+ (lg 8) y= lg 2 ,所以 x+3y=1,則1 + 藥=0+ 而J(x+3y) = 2+曳+告>4當(dāng)且僅當(dāng)=-, IP x = , y=J時(shí)取等號(hào)，故的最小值為4.x 3yx 3y26x 3y答案：42

5、27 .右正數(shù)x, y滿足4x+9y + 3xy = 30,則xy的取大值為 .解析：30 = 4x2+ 9y2+ 3xy > 2 36x2y2 + 3xy ,即 30>15xy,所以 xy<2,當(dāng)且僅當(dāng)4x2=9y2,即x=3, y = 2p時(shí)等號(hào)成立. 3故xy的最大值為2.答案：28 .規(guī)定：“ ？”表示一種運(yùn)算，即 a?b=>/ab+a+b(a, b為正實(shí)數(shù)).若1?k=3,則kk?x 一一的值為,此時(shí)函數(shù)f(x)=-j=的最小值為 x解析：由題意得 1?k=qk+1 + k=3,即 k+Jk2=0, 解得水=1或你= 2(舍去)，所以k=1,故k的值為1.又

6、f (x)=阜=市+;+1 = 1 +/> 1+ 2=3, x ，x x1r當(dāng)且僅當(dāng)5 =再，即x= 1時(shí)取等號(hào), 故函數(shù)f(x)的最小值為3.答案：1 39 .已知 x> 0, y>0,且 2x+8y xy=0,求:xy的最小值；10 ) x + y的最小值.5,82解：(1)由 2x+8yxy = 0,得x+y= 1.又 x>0, y>0,8t,得 xy > 64, xy8 2當(dāng)且僅當(dāng)8寸即x=16且y=4時(shí)，等號(hào)成立.所以xy的最小值為64.(2)由 2x+8y xy=0,得x+y=1，則 x + y= g + 2 (x+y) x y2x 8y2x 8

7、y= 10 + + >10+ 2一 , 一=18.y x. y x2x 8y當(dāng)且僅當(dāng)一,即x=12且y=6時(shí)等號(hào)成立，y x所以x+y的最小值為18.10. (1)當(dāng)xv3時(shí)，求函數(shù) y = x+ 8二的最大值; 22x3(2)設(shè)0vxv2,求函數(shù)y= x/x4- 2x 的最大值.183解：(1) y= 2(2 x3)+2 + 232x83、2 -3 2x 廣2.一3 一 ，當(dāng) x<2時(shí)，有 3-2x>0,3-2x8>223- 2x3-2x8 = 4,23 2x3-2x 81當(dāng)且僅當(dāng)丁=序,即x=-2時(shí)取等355于是yw 4+2=2,故函數(shù)的最大值為2.（2） 1-0&

8、lt;x<2,2-x>0,- y= >/x_42x- =啦 jx_2 x-< y2 + 2 = V2 當(dāng)且僅當(dāng)x=2-x,即x= 1時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x= 1時(shí)，函數(shù)y=qx4 2x 的最大值為 力.二、專項(xiàng)培優(yōu)練（一）易錯(cuò)專練一一不丟怨枉分11 .已知 a>b>1,且 2log ab+3log ba= 7,則 a+b21的取小值為（）A. 3B. 3C. 2D. 23 一一 1解析：選 A 令 log ab = t ,由 a > b> 1 得 0 v t v 1,2log ab+ 310g ba=2t+f=7,得 t=2，1一一；+ 1=3,當(dāng)且僅a

9、 1.1.21.1. 一,即 log ab= 2, a= b ,所以 a+b2 = a- 1 + + 22 a-1,，一1 ，一 ，一當(dāng)a= 2時(shí)取等號(hào).故a+可的最小值為3.心 1 2212.右正數(shù)a，b滿足：a+b=1，則k的取小值為()A. 2C.2解析：選A 由a, b為正數(shù)，且1+1=1,得b=-2a->0,所以a- 1 >0, a ba-1所以2 +a- 1a- 1笆二口 口 a-1當(dāng)且僅當(dāng)2a 1a-i 1 2 一一=和a+b=1同時(shí)成立，即a = b=3時(shí)等號(hào)成立，一 21 一所以一的最小值為2.a- 1 b-2一33 .函數(shù)v=12x(x<0)的值域?yàn)閤解析

10、：x<0,，y = 1 2x：= 1 + ( 2x) + I31+2 yj - 2x | -3= 1 +2國(guó) 當(dāng)且僅當(dāng)x=當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故函數(shù) y=1 2x x(xv0)的值域?yàn)? +2、/6,十).答案：1 +2#,+8)(二)交匯專練一一融會(huì)巧遷移4 .與函數(shù)交匯已知函數(shù)f (x) = log a(x+4) 1(a>0且aw 1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn) A,若.x y直線mn=-2(m>0, n>0)也經(jīng)過(guò)點(diǎn) a 則3nun的最小值為()A. 16B. 8C. 12D. 14解析：選 B 由題意，函數(shù) f (x) = log a(x + 4) 1( a>0 且 aw1)

11、,令x + 4= 1,可得x=3,代入可得y = - 1,圖象恒過(guò)定點(diǎn)N3, 1).，八 x y,.,直線 不=- 2(m> 0, n>0)也經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,.-.3+- = 2,即女 + =1.m n 2m 2n八 、 319 13n 3m_3n 3m 一1- 3m+ n=(3m+ n)不十不 |=二十二+丁+丁 >2 %/丁 丁+ 5= 8(當(dāng)且僅當(dāng) n=m= 2 '，2m 2n 2 2 2m 2n , 2m 2n'時(shí)，取等號(hào))3mU n的最小值為8.5.與數(shù)列交匯已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列an中，若m nCN*,滿足ana2=a2,A. 13C. 2解析：

12、選A根據(jù)題意，設(shè)an的公比為q, 則 a qm, an= qn, a4=q4.由a®n= a2得mm- 2n= 8,2n-8-=1.*又 m, nC N ,8m2n 1 n m 1 1+= + + - + >一 + 28n 4 2m 8n 4 2當(dāng)且僅當(dāng)2m £ 即 m= 2n= 4 時(shí)取:2 1 , 一，一 + 一的取小值為1.m n6.與解析幾何交匯若直線m- ny+2=0(m> 0, n>0)被圓(x+3)2 + (y+1)2=1所截得的弦長(zhǎng)為2,則常的最小值為()A. 4B. 6C. 12D. 16解析：選圓心坐標(biāo)為(一3, 1),半徑為1,又直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2,所以直線過(guò)圓心，所以一1 3 1一 . 3m- n+ 2=0, 3m n=2,所以 m+ n=-(3n) -+1 31 i=- 6+ +m n2 一127.正數(shù)a,m。9nm r *當(dāng)且僅當(dāng)與線性規(guī)劃交匯已知n 9m .心-=一時(shí)取等號(hào)x,因此m+n最小值為6,故選b.x+2y-3W0, y 滿足 Sx+3y 3>0, 1y，z=2x+y的最大值為m若b滿足a+b=3則a+b的最小值為解析：畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,工+3廣3=0z=2x+ y的幾何意義為直線 2x+yz=0在y軸上的截距，由