步步高大一輪復習講義高三數(shù)學53平面向量的數(shù)量積

1、§5.3平面向量的數(shù)量積1平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量_叫做a和b的數(shù)量積(或內積)，記作_規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_兩個非零向量a與b垂直的充要條件是_，兩個非零向量a與b平行的充要條件是_2平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影_的乘積3平面向量數(shù)量積的重要性質(1)e·aa·e_；(2)非零向量a，b，ab_；(3)當a與b同向時，a·b_；當a與b反向時，a·b_，a·a_，|a|_；(4)cos_；(5)|a·b|_|a|b|.

2、4平面向量數(shù)量積滿足的運算律(1)a·b_(交換律)；(2)(a)·b_(為實數(shù))；(3)(ab)·c_.5平面向量數(shù)量積有關性質的坐標表示設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·b_，由此得到(1)若a(x，y)，則|a|2_或|a|_.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點間的距離|AB|_.(3)設兩個非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab_.難點正本疑點清源1向量的數(shù)量積是一個實數(shù)兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦值有關，在運用向量的數(shù)量積解題時，一定要注意兩向量

3、夾角的范圍2數(shù)量積的運算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結合律，但不滿足向量間的結合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)這是由于(a·b)c表示一個與c共線的向量，而a(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線1(課本改編題)已知向量a和向量b的夾角為135°，|a|2，|b|3，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b_.2已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b與ab垂直，則實數(shù)的值為_3已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b方向上的投影為_4(課本精選題)設a，b，c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有_(填序

4、號)(a·b)c(c·a)b0；|a|b|<|ab|；(b·c)a(a·c)b不與c垂直；(3a4b)·(3a4b)9|a|216|b|2.5(2011·遼寧)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a·(2ab)0，則k等于()A12B6C6D12題型一平面向量的數(shù)量積的運算例1已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)·(bc)0，則|c|的最大值是_ (1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正東方向，且|a|b|1，則(3a)·(ab)_.(2)如圖，在ABC中，ADAB

5、，|1，則·等于()A2B.C.D.題型二向量的夾角與向量的模例2已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61，(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面積探究提高(1)在數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|要引起足夠重視，它是求距離常用的公式(2)要注意向量運算律與實數(shù)運算律的區(qū)別和聯(lián)系在向量的運算中，靈活運用運算律，達到簡化運算的目的(1)(浙江高考改編)已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，求|2|的值；(2)已知三個向量a、b、c兩兩所夾的角都為120°，|a|1，|b|2，|c|3，求

6、向量abc與向量a的夾角題型三平面向量的垂直問題例3已知a(cos，sin)，b(cos，sin)(0<<<)(1)求證：ab與ab互相垂直；(2)若kab與akb的模相等，求.(其中k為非零實數(shù))探究提高(1)當向量a與b是坐標形式給出時，若證明ab，則只需證明a·b0x1x2y1y20.(2)當向量a，b是非坐標形式時，要把a，b用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進行運算證明a·b0.(3)數(shù)量積的運算中，a·b0ab中，是對非零向量而言的，若a0，雖然有a·b0，但不能說ab.已知平面向量a(，1

7、)，b.(1)證明：ab；(2)若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，試求函數(shù)關系式kf(t)3.三審圖形抓特點試題：(5分)如圖所示，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若xy，則x_，y_.審題路線圖圖形有一副三角板構成(注意一副三角板的特點)令|AB|1，|AC|1(一副三角板的兩斜邊等長)|DE|BC|(非等腰三角板的特點)|BD|DE|sin60°×(注意ABD45°90°135°)在上的投影即為xx|AB|BD|cos45°1×1在上的投影即yy|BD|·sin45

8、76;×.正確答案1解析方法一結合圖形特點，設向量，為單位向量，由xy知，x，y分別為在，上的投影又|BC|DE|，|DE|·sin60°.在上的投影x1cos45°1×1，在上的投影ysin45°.方法二xy，又，xy，(x1)y.又，·(x1)2.設|1，則由題意|.又BED60°，|.顯然與的夾角為45°.由·(x1)2，得×1×cos45°(x1)×12.x1.同理，在(x1)y兩邊在取數(shù)量積可得y.點評突破本題的關鍵是，要抓住圖形的特點(圖形由一

9、副三角板構成)根據(jù)圖形的特點，利用向量分解的幾何意義，求解方便快捷方法二是原試題所給答案，比較方法一，略顯繁雜.方法與技巧1向量的數(shù)量積的運算法則不具備結合律，但運算律和實數(shù)運算律類似如(ab)2a22a·bb2；(ab)·(satb)sa2(ts)a·btb2(，s，tR)2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，將模的運算轉化為向量的數(shù)量積的運算3利用向量垂直或平行的條件構造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法技巧失誤與防范1(1)0與實數(shù)0的區(qū)別：0a00，a(a)00，a·000；(2)0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只

10、定義了非零向量的垂直關系2a·b0不能推出a0或b0，因為a·b0時，有可能ab.3一般地，(a·b)c(b·c)a即乘法的結合律不成立因a·b是一個數(shù)量，所以(a·b)c表示一個與c共線的向量，同理右邊(b·c)a表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，故一般情況下(a·b)c(b·c)a.4a·ba·c(a0)不能推出bc，即消去律不成立5向量夾角的概念要領會，比如正三角形ABC中，應為120°，而不是60°.課時規(guī)范訓練(時間：60分鐘)A組專項基礎訓練題

11、組一、選擇題1(2011·大綱全國)設向量a，b滿足|a|b|1，a·b，則|a2b|等于()A.B.C.D.2已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c等于()A.B.C.D.3在ABC中，AB3，AC2，BC，則·等于()ABC.D.二、填空題4(2011·課標全國)已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量ab與向量kab垂直，則k_.5(2011·江西)已知兩個單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1·b2_.6已知a(2，1)，b(，3)，若a與b的夾

12、角為鈍角，則的取值范圍是_三、解答題7已知a(1,2)，b(2，n)，a與b的夾角是45°.(1)求b；(2)若c與b同向，且a與ca垂直，求c.8在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)設實數(shù)t滿足(t)·0，求t的值B組專項能力提升題組一、選擇題1(2011·遼寧)若a，b，c均為單位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，則|abc|的最大值為()A.1B1C.D22已知|a|6，|b|3，a·b12，則向量a在向量b方向上的投影是

13、()A4B4C2D23已知a、b、c是同一平面內的三個單位向量，它們兩兩之間的夾角均為120°，且|kabc|>1，則實數(shù)k的取值范圍是()A(，0)B(2，)C(，0)(2，)D(0,2)二、填空題4(2011·浙江)若平面向量，滿足|1，|1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是_5已知向量a，b，c滿足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，則|a|2|b|2|c|2的值是_6已知在平面直角坐標系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，動點P(x，y)滿足不等式0·1,0·1，則z·的最大

14、值為_三、解答題7設平面上有兩個向量a(cos，sin) (0°<360°)，b.(1)求證：向量ab與ab垂直；(2)當向量ab與ab的模相等時，求的大小8設兩向量e1、e2滿足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍答案要點梳理1|a|b|cosa·b|a|b|cos0a·b0a·b±|a|b|2|b|cos3(1)|a|cos(2)a·b0(3)|a|b|a|b|a2(4)(5)4(1)b·a(2)(a·b

15、)a·(b)(3)a·cb·c5x1x2y1y2(1)x2y2(2)(3)x1x2y1y20基礎自測132.3.4.5.D題型分類·深度剖析例1變式訓練1(1)3(2)D例2解(1)(2a3b)·(2ab)61，4|a|24a·b3|b|261.又|a|4，|b|3，644a·b2761，a·b6.cos.又0，.(2)可先平方轉化為向量的數(shù)量積|ab|2(ab)2|a|22a·b|b|2422×(6)3213，|ab|.(3)與的夾角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC

16、15;4×3×3.變式訓練2解(1)(2,0)，|2，又(2)，·(2)22·12·0.·.(2)24224·44210.|2|.(2)由已知得(abc)·aa2a·ba·c12cos120°3cos120°，|abc|.設向量abc與向量a的夾角為，則cos，即150°，故向量abc與向量a的夾角為150°.例3(1)證明(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab與ab互相垂直(2)解kab(kc

17、oscos，ksinsin)，akb(coskcos，sinksin)，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.而0<<<，0<<，.變式訓練3(1)證明a·b×1×0，ab.(2)解ca(t23)b，dkatb，且cd，c·da(t23)b·(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)a·b0，又a2|a|24，b2|b|21，a·b0，c·d4kt33t0，kf(t) (t0)課時規(guī)范訓練A組141566(，6)7解(1)a

18、·b2n2，|a|，|b|，cos 45°，3n216n120 (n>1)，n6或n(舍)，b(2,6)(2)由(1)知，a·b10，|a|25.又c與b同向，故可設cb (>0)，(ca)·a0，b·a|a|20，cb(1,3)8解(1)由題設知(3,5)，(1,1)，則(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的兩條對角線長分別為4，2.(2)由題設知(2，1)，t(32t,5t)由(t)·0，得(32t,5t)·(2，1)0，從而5t11，所以t.B組1B2A3C4.54637(1)證明(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)0，故ab與ab垂直(2)解由|ab|ab|，兩邊平方得3|a|22a·b|b|2|a|22a·b3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4a·b0，而|a|b|，所以a·b0，則·cos·sin0，即cos(60°)0，60°k·180