三次函數(shù)性質(zhì)總結(jié)

1、三次函數(shù)性質(zhì)的探索我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù) 1 -，知道圖象是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，在整個定義域上不存在最大值與最小值，在某一區(qū)間b J取得最大值與最小值那么，是什么決定函數(shù)的單調(diào)性呢？禾U用已學(xué)過的知識得出：當 k>0時函數(shù)單調(diào)遞增；當 k<0時函數(shù)單調(diào)遞增；b決定函數(shù)與y軸相交的位置. 其中運用的較多的一次函數(shù)不等式性質(zhì)是：fx 0在m, n上恒成立的充要條件f m 0YL f n 02 ,接著，我們同樣學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，圖象大致如下:圖1圖2利用已學(xué)知識歸納得出：當J ''時如圖1，在對稱軸的左側(cè)單調(diào)遞減、右側(cè)單調(diào)遞增,x=-y =對稱軸上取得最小值' J

2、；當：時圖2，在對稱軸的左側(cè)單調(diào)遞增、右側(cè)單調(diào)遞減,&Aac x-y-對稱軸:丿上取得最大值4二在某一區(qū)間取得最大值與最小值.其中a決定函數(shù)的開口方向，a、b同時決定對稱軸，c決定函數(shù)與y軸相交的位置.總結(jié)：一次函數(shù)只有一個單調(diào)性，二次函數(shù)有兩個單調(diào)性，那么三次函數(shù)是否就有三個單調(diào)性呢?三次函數(shù)專題、定義:定義1、形如y ax3 bx2cx d(a 0)的函數(shù)，稱為“三次函數(shù)從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)上命名。定義2、三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y2 23ax 2bx c(a 0)，把4b 12ac叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式。由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，所以三次函數(shù)的問題

3、， 已經(jīng)成為高考命題的一個新的熱點和亮點。特別是文科。系列探究1:從最簡單的三次函數(shù) y x開始 反思1:三次函數(shù)y x31的相關(guān)性質(zhì)呢？反思2:三次函數(shù)y x31的相關(guān)性質(zhì)呢？3反思3:三次函數(shù)y x 11的相關(guān)性質(zhì)呢?2022天津理4函數(shù)f (x)2xx32在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是B1D3A0C2系列探究2：探究一般三次函數(shù) f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)的性質(zhì)：先求導(dǎo) f (x) 3ax 2bx c(a 0)1.單調(diào)性：1假設(shè) (2b)2 12ac 0，此時函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；2假設(shè) (2b)2 12ac 0，令 f (x) 3ax2 2bx c 0兩根為 x

4、-i, x2且 x! x2,那么f (x)在(，xJ,(X2)上單調(diào)遞增，在(x,x2)上單調(diào)遞減。a>0a<0>00>00圖 象J Jf1a/x1 X2 %/xoxx1x2 X2.極值點的個數(shù)：假設(shè)函數(shù)f(X)在點X。的附近恒有f(X o) > f(X)(或f(X o) W f(X)，那么稱函數(shù)f(X) 在點Xo處取得極大值或極小值，稱點Xo為極大值點或極小值點。1假設(shè) 0,此時函數(shù)無極值；三次函數(shù)y f %在 ,上不存在極值點。2假設(shè) 厶>0，三次函數(shù)y f X在 上的極值點要么有兩個。2且 f (x) 3ax 2bx c 0 兩根為 且為x2，此時函數(shù)

5、f (x)在X 花處取極大值f(Xi)，簡言之：波峰是為極大值在X X2處取極小值f(X2)，簡言之：波谷是為極小值論證如下：令f' x=3ax2+2bx+c, y=f x的極值點就是方程 f ' x=0的實根。 當 =4b2-12ac > 0時，方程f/ x=0有兩個不等的實根，記為 xi、X2,那么XI、X2是f X在(-g，+ g)上的兩個極值點； 當 =4b2-12ac =0時，該方程有兩個等根：xi=X2=X0,由下表可知 y=fx在(-g，+ g)上單調(diào)增，此時y=f x沒有極值點；X(-g ,X 0)X0X0,+g )f / X+0+f(x)/ 當 =4b2

6、-12ac v 0時，f x=0無實根，f(x)沒有極值點，結(jié)論得證。3奇偶性： 函數(shù)當且僅當b d 0時是奇函數(shù)。4.對稱性：函數(shù)圖象關(guān)于點(一，f()中心對稱了解3a 3a證明：三次函數(shù)f (x) ax3 bx2 cx d關(guān)于點m, n對稱的充要條件是f(m x) f (m x) 2n ,即a(m x)3 b(m x)2 c(m x) d + a(m x)3 b(m x)2 c(m x) d 2n,整理得，(6ma 2b)x2 (2am3 2bm2 2mc 2d) 2n據(jù)多項式恒等對應(yīng)系數(shù)相等，可得f(3a且 n am3 bm2 mc d = f (m) 3a從而三次函數(shù)是中心對稱曲線，且

7、對稱中心是(僉，仁埶；證明：設(shè)函數(shù)? I = - - L/的對稱中心為m n。按向量 丁=(-期，用)將函數(shù)的圖象平移，那么所得函數(shù)y=/(x + -«是奇函數(shù)，所以上式對"尺恒成立，故3ma + b三0，得 r,n = am -I-= J3a/ (忑十用)十/(一工+朋)一 2二U化簡得：(珈口+占)兀了 +4附"+創(chuàng)異+£觀+出一闿=0所以，函數(shù).的對稱中心是"-：-丨。實際上：其導(dǎo)函數(shù)為f(X)3ax2 2bx c 0對稱軸為b，所以對稱中心的橫坐標也就是導(dǎo)函數(shù)的對X3a稱軸，可見，y = f(x)圖象的對稱中心在導(dǎo)函數(shù) y = .5.的

8、對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二 階導(dǎo)為零的點。由上又可得以下結(jié)論：yf (x)是可導(dǎo)函數(shù)，假設(shè) y f (x)的圖象關(guān)于點(m, n)對稱，那么y f'(x)圖象關(guān)于直線x m對稱證明 y f (x)的圖象關(guān)于(m,n)對稱，那么f (x) f (2m x) 2n,f'(x) lim f(x x) f(x)x 0xf (2m x x) f (2m x) f '(2m x) limx 0xlim f(x) f(x x) f'(x)x 0xlimfx 0x) 2n f(x)xy f'(x)圖象關(guān)于直線xm對稱.假設(shè)yf(x)圖象關(guān)于直線 x m

9、對稱，那么y f'(x)圖象關(guān)于點(m,0)對稱證明 y f (x)圖象關(guān)于直線x m對稱，那么f (x)f'(x)limf(xx)f(x)x 0xf (2m x x)f (2m x)f '(2mx)limx 0xf'(2m x) f'(x)0 ,y f'(x)圖象關(guān)于點(m,0)對稱.這是因為：奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)f (2 m x),lim f(xx)f(x) (x),x 0x系列探究3:三次函數(shù)fx圖象的切線條數(shù)由三次函數(shù)的中心對稱性可知：過三次函數(shù)的對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且只有一

10、條; 而過三次曲線上除對稱中心的任一點與該三次曲線相切的直線有二條。例.曲線y= x3/3 + 4/3，求曲線在點2,4處的切線方程k = f '2=4y 4 = 4 x2，解：f ' X= x , f '2=4, 曲線在點2,4丨處的切線斜率為代入直線方程的斜截式，得切線方程為: 即 y=4 x4變式：曲線y = x3/3 + 4/3，那么曲線過點2,4丨的切線方程 錯解：依上題，直接填上答案4X y 4 = 0錯因剖析：如以以下圖所示，在曲線上的點A處的切線與該曲線還有一個交點。這與圓的切線是有不同的。點2,4在曲線 y = x'/3 + 4/3上，它可以是

11、切點也可以不是。3 正確解法：設(shè)過點2,4丨的切線對應(yīng)的切點為xo, xo/3 + 4/3,斜率為 k=xo2，切線方程為 y - xo3/3 + 4/3=xo2 x-x o即 y=xo2x- 2x o3/3+4/3點2, 4的坐標代入，得 4=2xo2- 2x o3/3+ 4/3 ,32322 x o -6 x o +8=0 , Xo -3x o +4=0,32又 T Xo +1- 3xo -3=O2xo+1 xo-xo+1-3 Xo-1 xo+1=o Xo+1 Xo2-4Xo+4=o Xo=-1 或 Xo=2切線的方程為 4x-4-y=o或x-y+2=o點評：一個是“在點2, 4、一個是“

12、過點2, 4，一字之差所得結(jié)果截然不同。系列探究4： 一般三次函數(shù)f(x) ax3 bx2 ex d(a 0)的圖像:a>0a<0導(dǎo)函數(shù)>00>00圖 象a/f ; : 1FlJVa/ x1 x2 XX1x2 X從數(shù)形結(jié)合的視角看 三次方程的實數(shù)根:三次函數(shù)y=f x的圖象與x軸交點個數(shù)交點個數(shù)的本質(zhì)是多項式ax3+bx2+cx+d在實數(shù)集上怎樣進行因式分解，記 ax3+bx2+cx+d=a x-x1 x-x2 x-x3i假設(shè)x1豐x2M x3，那么交點為3個；ii假設(shè)x1、x2、x3中有兩個相等，不妨x1=x2豐x3,那么交點為2個。iii假設(shè)x1=x2=x3，那么交

13、點為1個；iv假設(shè) f x=ax-x0 x2+dx+e，且 有 d2-4ev 0, y=f x的圖象與 x 軸只有一個交點。1假設(shè) (2b)2 12ae 0，方程有且只有一個實數(shù)解;2假設(shè) (2b)2 12ae 0,令 f (x) 3ax2 2bx e 0兩根為 x-i, x2且 x1 x2,假設(shè)f(xj f (x2) 0，即函數(shù)yf (x)極大值點和極小值點在x軸同側(cè)，圖象均與 x軸只有一個交點,所以原方程有且只有一個實根。那么方程有且只有一個實數(shù)解，且X1或X2 ,假設(shè) f (x1) f(x2)0，那么方程有三個不同的實數(shù)解)，且有 為X2假設(shè)f(X1)0或f(X2)0，那么方程有兩個不同

14、的實數(shù)解由圖像能夠探究出在區(qū)間 m, n的最大值與最小值嗎?,且叼、二Q，那么:函數(shù)： :.、一 _ = 1 |,假設(shè).：|=山掃7觀，fM，jg拉格朗日中值定理：假設(shè)函數(shù)f滿足如下條件:if在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；ii f在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo);那么在a,b內(nèi)至少存在一點，使得 f請你掌握：三次函數(shù)解析式的形式1一般形式：f (x) ax3 bx2 ex d(a 0)2函數(shù)的對稱中心為 m, n，貝U f xA(x m)3 B(x m) n(a 0)3函數(shù)圖象與x軸的三個交點的橫坐標，那么f(x) a(x )(x)(x)(a0)4函數(shù)圖象與x軸的一個交點的橫坐標xo，那么 fX2(x x0)(a

15、xmx n)(a 0)32022全國大綱版10函數(shù)y x 3x c的圖像與x軸恰有兩個公共點，那么 cA.2 或 2B.9 或 3C 1或 1D 3 或 1【解析】因為三次函數(shù)的圖像與x軸恰有兩個公共點，結(jié)合該函數(shù)的圖像，可得極大值或者極小值為零即可滿足要求。而f (x)23x2 3 3(x )(x 1) ，當 x 1時取得極值由 f(1)0或f( 1)0可得c 20或c 20,即c2。答案a2022 福建文12. f x=x3-6x2+9x-abc, a bv c,且 f a=f b=f c=0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：f0f 1 0;f0f 1 0 :f0f 3 0 :f 0f 3 0.其中正確結(jié)

16、論的序號是A.B.C.D.【 解析】f (x)3x212x 93(x1)(x3)f(a)f (b)f (c)0 ，所以a(,1)b【法一】f(1)4 abc 0 ， f(3)abc0，【法二】又因為f(b)b3 6b29babcb(b2正數(shù)，又因為 f(0)abc 0 ，f(1)0，f (3)， ( ,1) 單調(diào)遞(1,3) ， c (3,f(0) abc增，0(1,3) 單 調(diào) 遞減 ， (3,6b 9) abc b(b 3)2 ac 0 ，所以0) 單 調(diào)遞 增 ， 又 因 為ac為正數(shù)，所以a為答案】 A點評】 此題考查運用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的能力，數(shù)形結(jié)合及代入轉(zhuǎn)化的能力2022重慶理卷8設(shè)

17、函數(shù) 佝 在斤上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為 廣© ，且函數(shù)；' 二的圖象如題8圖所示，那么以下結(jié)論中一定成立的是A函數(shù).有極大值 /(?) 和極小值B丨函數(shù)有極大值 /(-2) 和極小值c函數(shù) f(x) 有極大值和極小值 /(-2)D丨函數(shù)'有極大值和極小值 f高考含參三次函數(shù)題型分析我們知道導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，正因如此，三次函數(shù)問題的解決往往關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，如二次函數(shù)方程根的問題，二次不等式解集問題等常見題型。首先，回憶一下三次函數(shù)f(x) ax3 bx2 ex d(a 0)圖象a>0a<0>00>00圖 象J.

18、Vf11/x1x2 x/x0xx1 x2 *【題型1】含參三次函數(shù)單調(diào)性問題例一(08全國文21 )函數(shù) f(x)=x3+a x2+x+ 1,a R.I討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；2 1n設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間-,內(nèi)是減函數(shù)，求 a的取值范圍33解法分析：對于問題I我們往往采用的解題思路是：求函數(shù)f (x) ax3 bx2 ex d的導(dǎo)數(shù)為f (x) 3ax2 2bx e然后往往按以下步驟進行討論分析。(1) 討論導(dǎo)數(shù)二次項系數(shù)是否為零(2) 討論導(dǎo)數(shù)判別式(3) 0那么原函數(shù)為單調(diào)增減函數(shù)(4) 0求導(dǎo)函數(shù)等于0時的根，并比擬根的大小(5) 結(jié)合到導(dǎo)函數(shù)圖象，得出三次函數(shù)單調(diào)性 下面我們按照這

19、個思路解決一下3 2 2f (x) x ax x 1 那么 f (x) 3x 2ax 11討論導(dǎo)數(shù)二次項系數(shù)是否為零2討論判別式=4a2 1230 ,那么原函數(shù)為單調(diào)增減函數(shù)即 0時， ,3 a 3 , f (x) 0恒成立，那么f (x)為單調(diào)增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為(,)(4)0求導(dǎo)函數(shù)等于0時的根，并比擬根的大小0時，a 3或a 3時，f (x) 0存在零解,a Va23a 4a2_3此時為x2顯然x2 x1,335結(jié)合到導(dǎo)函數(shù)圖象，得出三次函數(shù)單調(diào)性所以此時函數(shù)f (X)的單調(diào)遞增區(qū)間為)和(旦P，)單調(diào)遞減區(qū)間為aa2 33a a232 1對于冋題n設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間-一，丨內(nèi)是減函

20、數(shù)，求a的取值范圍33往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)不等式問題，采用根的分布數(shù)形結(jié)合、主參別離求最值、求根公式三種方法解決。f(x)在區(qū)間-2,-丨內(nèi)是減函數(shù)，那么332f (x) 3x 2 ax 10對x (-)恒成立。33方法一：根的分布，數(shù)形結(jié)合2由f (x) 3x 2ax 10的兩根在區(qū)間外那么有0成立，可以解得a 20方法二：主參別離，求最值2 2 1f (x) 3x 2ax 1 0對x (,)恒成立。那么有a333x2 12x3x22x)max ,由“對勾函數(shù)(1)(333x21)max2x2，那么 a 2方法三：求根公式由f (x) 3x22ax 10的兩根在區(qū)間外那么有a a2 33aa2

21、33031丄可以解得a 23【題型2】不等式與恒成立問題例二08安徽文設(shè)函數(shù) f(x) ax33x232I函數(shù) f (x)在x(a 1)x 1,其中a為實數(shù)。1處取得極值，求a的值；n不等式f'(x) x2 x a 1對任意a (0,)都成立，求實數(shù)x的取值范圍。解法分析：I f'(x) ax2 3x (a 1)，由于函數(shù)f (x)在x 1時取得極值，所以 f'(1) 0 即 a 3 a 10, a a 1對于問題n有兩種方法：方法一轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)g(a)2 2由題設(shè)知：ax 3x (a 1) x x a 1對任意a (0,)都成立即a(x22) x2 2x 0對任

22、意a (0,)都成立設(shè)g(a) a(x22) x2 2x(a R),那么對任意x R, g(a)為單調(diào)遞增函數(shù)(a R)所以對任意a (0,), g(a) 0恒成立的充分必要條件是 g(0)0即 x2 2x 0, a 2 x 0于是x的取值范圍是 x| 2 x 0方法二恒成立問題，轉(zhuǎn)化為不等式的最值問題由題設(shè)知:2 ax23x (a 1) xx a1對任意a (0,)都成立2即a(x2)2 x2x 0對任意a(0,)都成立于是a2 x22x對任意a (0,2)都成立，即J2x 0x2x22x0于是x的取值范圍是 x| 2 x 0【題型3】三次方程根問題例三05全國設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x) x3

23、 x2 x a。I求f(x)的極值；n當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y f(x)與乂軸僅有一個交點。解法分析：15對于問題I易得 f(x)的極大值是f( -) a，極小值是f(1) a 1327對于問題n主要方法結(jié)合三次函數(shù)圖象解決方法一：由三次函數(shù)單調(diào)性函數(shù) f(x) x3 x2 x a (x 1)2 (x 1) a 1由此可知x取足夠大的正數(shù)時，有 f(x) 0 , x取足夠小的負數(shù)時有 f(x) 0 ,所以曲線y f(x)與x軸至少有一個交點。結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知：55當f(x)的極大值a 0,即a (,)時，它的極小值也小于0,2727因此曲線y f (x)與x軸僅有一個交點，它在 (1,) 上;當f(x)的極小值a 1 0，即a (1,)時，它的極大值也大于0,1因此曲線y f (x)與x軸僅