平面向量復(fù)習(xí)公開(kāi)課

1、2021/3/91 第二章第二章 平面向量復(fù)習(xí)課平面向量復(fù)習(xí)課2021/3/92一一. .基本概念基本概念1.1.向量及向量的模、向量的表示方法向量及向量的模、向量的表示方法1)1)圖形表示圖形表示2)2)字母表示字母表示3)3)坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示ABaAB 有向線段有向線段AB:| |aAB 向量的模( , )axiy jx y( , )( , )aOAx yA x y 點(diǎn)(,)NMNMaMNxxyy 2021/3/93一一. .基本概念基本概念2.2.零向量及其特殊性零向量及其特殊性3.3.單位向量單位向量a0aa0)5(00)4(00)3(a/0)2(0)1( 方方向向任任意意 0)6(a

2、0)7(00|a|a 0aa共共線線的的單單位位向向量量與與非非零零向向量量2021/3/94一一. .基本概念基本概念4.4.平行向量平行向量5.5.相等向量相等向量6.6.相反向量相反向量方向相同或相反方向相同或相反的非零向量叫做平行向量的非零向量叫做平行向量長(zhǎng)度相等且方向相同長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量.在保持在保持長(zhǎng)度和方向不變的前提下長(zhǎng)度和方向不變的前提下,向量可以平行移動(dòng)向量可以平行移動(dòng).平移先后兩向量相等平移先后兩向量相等任一組平行向量都可平移到同一直線上任一組平行向量都可平移到同一直線上( (共線向量共線向量) )區(qū)分向量平行、共線與幾何平行、共線區(qū)分

3、向量平行、共線與幾何平行、共線長(zhǎng)度相等且方向相反長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做相反向量的向量叫做相反向量.0)a(a, a)a( 2021/3/951.向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則2.向量加法的平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則3.向量減法的三角形法則向量減法的三角形法則abABBCAC ABCDabABADAC 中，abABADDB 首尾相連首尾連首尾相連首尾連首同尾連向被減首同尾連向被減共起點(diǎn)共起點(diǎn)二二. .基本運(yùn)算（向量途徑）基本運(yùn)算（向量途徑）ABCabab+CABDbab+a2021/3/964.4.實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積a 是一個(gè)向量是一個(gè)向量0a,0a0a0a

4、a,0aa0,0a|a|a| 都都有有，則則對(duì)對(duì)于于任任意意的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)若若方方向向任任意意時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)反反向向；與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)同同向向；與與時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)則則其其方方向向：若若其其長(zhǎng)長(zhǎng)度度：共線的向量是一個(gè)與 aa二二. .基本運(yùn)算（向量途徑）基本運(yùn)算（向量途徑）2021/3/975.5.兩個(gè)非零向量?jī)蓚€(gè)非零向量 的的數(shù)量數(shù)量積積ab與a b | |cosab向量數(shù)量積的幾何意義向量數(shù)量積的幾何意義|cosbba叫做向量 在 方向上的投影可正可負(fù)可為零可正可負(fù)可為零|a ba 二二. .基本運(yùn)算（向量途徑）基本運(yùn)算（向量途徑）OABB1ab0,向量夾角：向量夾角：首要的是通過(guò)向首要的是通過(guò)向量平移量平

5、移, ,使兩個(gè)向量共起點(diǎn)。使兩個(gè)向量共起點(diǎn)。2021/3/98ea=ae=|a|cosab ab=0a，b同向同向ab=|a|b|反向時(shí)反向時(shí)ab=-|a|b| a2=aa=|a|2(aa= )cos=|ab|a|b| |baba2a平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積ab的性質(zhì)的性質(zhì):2021/3/991122(,),(,),1)2)3)4)axybxyababaa b 若則)yy,xx(2121 )yy,xx(2121 )y,x(11 二二. .基本運(yùn)算（坐標(biāo)途徑）基本運(yùn)算（坐標(biāo)途徑）2121yyxx 5)|6)cos|aa aa bab 2121yx 222221212121yxyxyyxx

6、 2021/3/9101./abab 向量 和非零向量2.abab非零向量 和則則若若),y,x(b),y,x(a2211 0yxyx1221 0yyxx2121 三三. .兩個(gè)等價(jià)條件兩個(gè)等價(jià)條件ab有唯一的實(shí)數(shù) ，使0a b 2021/3/911四四. .一個(gè)基本定理一個(gè)基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理.eeeea, a,ee2122112121基基底底平平面面內(nèi)內(nèi)所所有有向向量量的的一一組組叫叫做做表表示示這這一一、把把不不共共線線的的向向量量使使有有且且只只有有一一對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)任任一一向向量量那那么么對(duì)對(duì)于于這這一一平平面面內(nèi)內(nèi)的的向向量量共共線線的的是是同同一一平平面面內(nèi)內(nèi)的

7、的兩兩個(gè)個(gè)不不、如如果果 利用向量分解的利用向量分解的“唯一性唯一性”來(lái)構(gòu)建實(shí)系數(shù)方程組來(lái)構(gòu)建實(shí)系數(shù)方程組2021/3/912向量的有關(guān)概念向量的有關(guān)概念五五. .應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例2021/3/913例例2 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)（1）（）（AB + MB）+ BO + OM （2） AB + DA + BD BCCA利用加利用加法減法運(yùn)算法則，借助結(jié)論法減法運(yùn)算法則，借助結(jié)論AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0進(jìn)行變形進(jìn)行變形.解：解：原式原式= AB +（BO + OM + MB）= AB + 0 = AB（1）（2）原式原式= AB + BD + DA （BC + CA）= 0BA

8、= AB五五. .應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例向量加減法則向量加減法則2021/3/914五五. .應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例例3.3.如圖平行四邊形如圖平行四邊形OADBOADB的對(duì)角線的對(duì)角線ODOD、ABAB相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)C,C,線段線段BCBC上有一點(diǎn)上有一點(diǎn)M M滿足滿足BC=3BM,BC=3BM,線段線段CDCD上有一上有一點(diǎn)點(diǎn)N N滿足滿足CD=3CN,CD=3CN,OAa OBba bMN 設(shè)試用表示平面向量基本定理平面向量基本定理.ONOM、分析：先求2021/3/915例例4、如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，已知，中，已知， ， ， 求：求：（1） ；（；（2） ； | 4A

9、B |3AD 60DAB AD BC AB DA BACD解：解：因?yàn)橐驗(yàn)锳D BC 且方向相同，且方向相同，所以所以AD 與與BC 夾角是夾角是0所以所以|cos03 3 19AD BCADBC 所以所以AB DA 與與的夾角為的夾角為120 60 因?yàn)橐驗(yàn)锳B 與與AD 的夾角是的夾角是，所以所以1|cos1204 3 ()62AB DAABDA （1）（2）的值。試求的中點(diǎn)，分別是、思考：若AFAEDCBCFE五五. .應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例EF平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積202021/3/916例例5 設(shè)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線向量。是兩個(gè)不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a

10、-2bA、B、D共線則共線則k=_(kR)解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1五五. .應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例向量共線定理向量共線定理2021/3/917例例7. 已知已知a =(1，-1)，求，求a共線共線的單位向量。的單位向量。例例6. 已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD的三頂點(diǎn)的三頂點(diǎn) A(1, 3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四個(gè)頂點(diǎn)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D和和中心中心M的坐標(biāo)的坐標(biāo)D(1，2)1(2,)2M)22,22(0a例例8. 已知向量已知向量a=(1，5)，b=(3，2)，求，求a在在b

11、方向上的正射影的數(shù)量。方向上的正射影的數(shù)量。713| cos,|13a baa bb2021/3/918例例9已知已知 ， ，且，且 與與 夾角為夾角為120求求 ； ； 與與 的夾角。的夾角。4|a2|bab)()2(baba|2|ba aba 五五. .應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例向量的長(zhǎng)度與夾角問(wèn)題向量的長(zhǎng)度與夾角問(wèn)題2021/3/9197123 21323abkkababkabab 例 、已知（， ）， （， ），當(dāng)為何值時(shí)，（）與垂直？（ ）與平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？（1）k=19（2） , 反向31k五五. .應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例平行與垂直問(wèn)題平行與垂直問(wèn)題例102021/3/920練習(xí)練

12、習(xí): 1、若、若a=(1,2)，b=(-2, ), 且且a與與b的的夾角為鈍角，則夾角為鈍角，則的取值范圍是的取值范圍是的坐標(biāo)。，求點(diǎn)且上，在直線點(diǎn)），（已知點(diǎn)CABCAABCBA3),5 , 4(,11. 2）或（17,14-)19,16(4-1且2021/3/921 3. 在四邊形ABCD中， = =（1，1）， ，求四邊形ABCD的面積。 AB DC113B AB CB DB AB CB D 2021/3/922特別注意：特別注意：00cos0為銳角或ba為鈍角或0cos0ba 由此，當(dāng)需要判斷或證明兩向量夾角為銳角或鈍角時(shí)，應(yīng)排除夾角為0或 的情況，也就是要進(jìn)一步說(shuō)明兩向量不共線。20

13、21/3/9234、已知 O，N，P 在ABC所在平面內(nèi)，且,0OAOBOC NANBNC， 且PA PBPB PCPC PA，則點(diǎn) O，N，P 依次是ABC的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 內(nèi)心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 內(nèi)心,0OAOBOCOABCNANBNCOABC由知為的外心；由知， 為的重心; 00,PA PBPB PCPAPCPBCA PBCAPBAPBCP，同理，為 ABC的垂心， 思考：C2021/3/924向量垂直的判定向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（向量平行的判定向量平行的判定(共線向量的判定共線向量的判定)）（）（0/1aabba122111222/0ba