實(shí)變函數(shù)期末考試卷A卷完整版

1、實(shí)變函數(shù)期末測試卷AHENsystemofficeroomHEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688一、判斷題每題2分,共20分1 .假設(shè)A是8的真子集,那么必有X2 .必有比.小的基數(shù).J3 .一個(gè)點(diǎn)不是七的聚點(diǎn)必不是七的內(nèi)點(diǎn).V4 .無限個(gè)開集的交必是開集.X5 .假設(shè)E,MlinE0oX6 .任何集EuR都有外測度.37 .兩集合的基數(shù)相等,那么它們的外測度相等.義8 .可測集的所有子集都可測.X9 .假設(shè)/X在可測集上可測,那么/在七的任意子集上也可測.X10 ./X在E上可積必積分存在.X1.設(shè)石為點(diǎn)集,尸亡石,那么夕是E的外點(diǎn).X而J一1閱卷人2.不可數(shù)個(gè)閉集的交集

2、仍是閉集.XL-3.設(shè)是一列可測集,且瓦用uEn,n=1,2,.,那么8w(QEzi)=(X)n-14 .單調(diào)集列一定收斂.V5 .假設(shè)/x在E上可測,那么存在七型集尸uE,mE-F=0,fx在F上連續(xù).X二、填空題每空2分,共20分1 .設(shè)8是“中無理數(shù)集,那么=_o2 .設(shè)A=,那么屋=0,A=0o23J11XX3 .設(shè)=,“=0,1,2,那么uA=_-1,1_,c_0_on+n+=o-=i4 .有界變差函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集是至多可列集.5 .設(shè)七是0,1上的Cantor集,那么7石=_.6 .設(shè)A是閉集,8是開集,那么A8是閉集.7 .閉區(qū)間a,b上的有界函數(shù)/X可積的充要條件是_/

3、x是a力上的兒乎處處的連續(xù)函數(shù)08 .Rimann函數(shù)是_Rimann可積也是Lebesgue可積的.三、計(jì)算題每題10分,共20分1 .計(jì)算limR.、sinnWx.提示：使用Lebesgue限制收斂定理廿J.1+廠解：設(shè)fnx=-sinnxn=12,那么+irx1因.X在0,1上連續(xù),所以是可測的；2 2lim/；1x=0,xe0J;3由于顯然尸X在0,1上可積.于是由Lebesgue限制收斂定理,有x,X為大于1的無理數(shù)2.設(shè)為小于1的無理數(shù);試計(jì)算kJ.0,x為有理數(shù),21解：由于有理數(shù)集的測度為零,所以fx=X2a.e.于0,1,fx=xa.e.于1,2.于是四、證實(shí)題每題8分,共4

4、0分Q30L證實(shí)：4UA“=nAAW-1/1-證實(shí)：AQ4=AnU4f“1/I-1=nAn/r=l2 .設(shè)M是直線上一族兩兩互不相交的非空開區(qū)間組成的集合,證實(shí)是至多可列集.證實(shí)：由有理數(shù)集的稠密性可知,每一個(gè)開區(qū)間中至少有一個(gè)有理數(shù),從每個(gè)開區(qū)間中取定一個(gè)有理數(shù),組成一個(gè)集合A.由于這些開區(qū)間是互不相交的,所以此有理數(shù)集A與開區(qū)間組成的集合M是一一對應(yīng)的.那么A是有理數(shù)集的子集,故至多可列,所以M也是至多可列集.3 .證實(shí)：假設(shè)/E=0,那么E為可測集.證實(shí)：對任意點(diǎn)集7,顯然成立著mTmTCE+TCl七,.總之,加7=?7PE+,TAE,.故E是可測集.4 .可測集七上的函數(shù)/X為可測函數(shù)

5、充分必要條件是對任何有理數(shù)人集合Exvr是可測集.一、填空題每題2分,共10分D1、ABUC=a3C成立的充分必要條件是A、AubB、BuACAuCD、CuAA2、設(shè)七是閉區(qū)間0中的無理點(diǎn)集,那么C.E是不可測集DE是閉集C3、設(shè)E是可測集,A是不可測集,7石=0,那么EUA是A.可測集且測度為零8.可測集但測度未必為零.不可測集D以上都不對B4、設(shè)Evy,力4是E上兒乎處處有限的可測函數(shù)列,/八是E上幾乎處處有限的可測函數(shù),貝IJ力X幾乎處處收斂于是力依測度收斂于“X的A.必要條件8.充分條件C充分必要條件D無關(guān)條件(D)5、設(shè)是上的可測函數(shù),那么()4工)是片上的連續(xù)函數(shù)B.f(x)是E上的勒貝格可積函數(shù)C./(x)是E上的簡單函數(shù)D“X)可表示為一列簡單函數(shù)的極限設(shè)/(X)是(-S,xo)上的實(shí)值連續(xù)函數(shù),那么對于任意常數(shù)a,E=x(x)是一開集,而石=1/(X)之.總是一閉集.證實(shí)：假設(shè)為丘那么/(“)“,由于/是連續(xù)的,所以存在30,使任意Ix%la,(5分)即任意U(Xo),就有xwE,所以U(Xo,5)u及后是開集(10分)假設(shè)XeE,且xnT/(-8),那么/(x“)之a(chǎn),由于/(x)連續(xù),“4)=獨(dú)(玉)24,即x()eE,因此E是閉集.(1)設(shè)A,=(0,1),A,“(0,),=1,2,求出集列4的上限集和下限集n證實(shí)：lirrt4n=(0,s)(5分)