定積分的計算方法

1、定積分的計算方法摘要定積分是積分學(xué)中的一個基本問題，計算方法有很多，常用的計算方法有四種：（1）定義法、（2）牛頓萊布尼茨公式、（3）定積分的分部積分法、（4）定積分的換元積分法。以及其他特殊方法和技巧。本論文通過經(jīng)典例題分析探討定積分計算方法，并在系統(tǒng)總結(jié)中簡化計算方法！并注重在解題中用的方法和技巧。關(guān)鍵字：定積分，定義法，萊布尼茨公式，換元法CalculationmethodofdefiniteintegralAbstracttheintegralistheintegralcalculusisafundamentalproblem,itscalculationmethodisalotof,

2、(l)definitionmethod,(2)Newton-Leibnizformula,(3)integralsubsectionintegralmethod,(4)substitutemethod.Thispaper,byclassicexamplesdefiniteintegralanalysismethod,andinthesystemofsimplified,summarizedtheapproximatecalculationmethod!Andpayattentiontoprobleminusingthemethodsandskills.Keywords:definiteinte

3、gral,definitionmethod,Newton-Leibniz,substitutemethod目錄目錄21緒論31.1 定積分的定義31.2 定積分的性質(zhì)42常用計算方法5定義法5牛頓-萊布尼茨公式6定積分的分部積分法7定積分的換元積分法73簡化計算方法錯誤！未定義書簽。含參變量的積分錯誤！未定義書簽。有理積分和可化為有理積分的積分錯誤！未定義書簽。4總結(jié)9致謝10參考文獻(xiàn)101緒論定積分的定義定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間a,b中圖線下包圍的面積，如圖1.1所示。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積1。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)

4、間a,b上連續(xù)，將區(qū)間a,b分成n個子區(qū)間孔刈，(xi,x2,(X2,X3,，(Xn-1,Xn,其中xo=a,xn=b?？芍鲄^(qū)間的長度依次是：Axi=xi-x0,Ax2=x2-xi,xn=xn-xn-1。在每個子區(qū)間(xi-1,xi中任取一點&(1,2,.,n),作和式n口(卻心若!=1設(shè)X=maxAx1，Ax2,任門(即入是最大的區(qū)間長度)，則當(dāng)入一時，該和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b的定積分2,記為£f(x)dx其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積表達(dá)式

5、，/叫做積分號。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。根據(jù)上述定義，若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積分，則有n等分的特殊分法：=JfMdxn-t_lim、fa+1+°°廿nn特別注意，根據(jù)上述表達(dá)式有，當(dāng)a,b區(qū)間恰好為0,1區(qū)間時，則0,1區(qū)間積分表達(dá)式為：f(xWx="limT/()/、nUT+DOL一rMi=l定積分的性質(zhì)bbb.性質(zhì)1f(x)_g(x)dxf(x)dx_g(x)dxaaabb性質(zhì)2fkf(x)dx=kf(x)dx,(k為吊數(shù))aabcb性質(zhì)3假設(shè)a<b<cff(x)dx=ff(x)dx+f

6、f(x)dxaacbb性質(zhì)4如果在區(qū)間a,b上，恒有f(x)Wg(x)，則ff(x)dx<fg(x)dxaab性質(zhì)5如果在區(qū)間a,b上，f(x)之0,則ff(x)dx>0.(a<b)a性質(zhì)6設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值，b則m(b-a)<ff(x)dx<M(b-a),(a<b)此性質(zhì)可用于估計積分值的大致氾a圍網(wǎng)。性質(zhì)7若f(x)在a,b上可積，則If(x)I在a,b上也可積，廠bb,且ff(x)dx<f(x)dxaa性質(zhì)8(積分第一中值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，g(x)在a,b上可積,且在a,b上不變號，則在a,

7、b上至少存在一點士，使得：bbf(x)g(x)dx=f()g(x)dxaa2常用計算方法定義法定積分的定義法計算是運(yùn)用極限的思想，簡單的來說就是分割求和取極限。以bI=f(x)dx為例：任意分割,任意選取、作積分和再取極限。任意分割任意取所計算a出的I值如果全部相同的話，則定積分存在。如果在某種分法或者某種、的取法下極限值不存在或者與其他的分法或者、的取法下計算出來的值不相同，那么則說定積分不存在。如果在不知道定積分是否存在的情況下用定義法計算定積分是相當(dāng)困難的，涉及到怎樣才是任意分割任意取匕。但是如果根據(jù)上述三類可積函數(shù)判斷出被積函數(shù)可積，那么就可以根據(jù)積分和的極限唯一性可作Ia,b的特殊分

8、法，選取特殊的，計算出定積分4。第一步：分割.b-a將區(qū)間Ia,b分成n個小區(qū)間，一般情況下米取等分的形式。h=，那么分割點的n坐標(biāo)為(a,0),(a+h,0),(a+2h,0).(a十(n1)h,0),(b,0),在口，人】任意選取，但是我們在做題過程中會選取特殊的即左端點，右端點或者中點。經(jīng)過分割將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形。我們近似的看作是n個小長方形。第二步：求和.n計算n個小長方形的面積之和，也就是£f(£khok1第三步：取極限.nn四/居四":),hT0即nT8，也就是說分的越細(xì)，k4kF那么小曲邊梯形就越接近小長方形，當(dāng)n趨于無窮之時，小曲邊梯形也

9、就是小長方形，那么小長方形的面積和即為曲邊梯形的面積，也就是定積分的積分值。例1、用定義法求定積分Xxdx。0解：因為f(x)=x在10,1連續(xù)所以f(x)=x在0,1可積1-01將0,1等分成取鼠是小區(qū)間I(k1)h,kh的右端點，即=kh于1xdx=lim0n_.；二2圻八叫號=nmn(n1)2n21=limnnf：2n個小區(qū)間，分點的坐標(biāo)依次為0ch<2h<.<nh=111所以，xdx=一-02牛頓-萊布尼茨公式牛頓-萊布尼茨公式很好的把定積分與不定積分聯(lián)系在一起。利用此公式，可以根據(jù)不定積分的計算計算出定積分。這個公式要求函數(shù)f(x)在區(qū)間b,b】內(nèi)必須連續(xù)。求連續(xù)函

10、數(shù)f(x)的定積分只需求出f(x)的一個原函數(shù)，再按照公式計算即可。定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間la,b連續(xù)，且F(x)是f(x)的原函數(shù)，則bf(x)dx=F(b)F(a)。a證明：因為F(x)是f(x)的原函數(shù)，即VxwIa,bl有F'(x)=f(x)x積分上限函數(shù)(f(t)dt也是f(x)的原函數(shù)a(x所以f(t)dt-：-f(x)ax所以f(t)dt-F(x)=Caa令x=a有f(t)dtF(a)=C即C=F(a)ab再令x=b有if(x)dx=F(b)-F(a)a我們知道，不定積分與定積分是互不相關(guān)的，獨(dú)立的。但是在連續(xù)的條件下，微積分基本定理把這兩個互不相關(guān)的概念聯(lián)系起來，這

11、不僅給定積分的計算帶來極大的方便，在理論上把微分學(xué)與積分學(xué)溝通起來，這是數(shù)學(xué)分析的卓越成果，有著重大的意義。例1、用牛頓萊布尼茨公式計算定積分“19解：原式=1x22110=2同樣的一道題目，用牛頓-萊布尼茨公式明顯比定義法簡單，容易計算。2.3定積分的分部積分法公式：函數(shù)u(x),v(x)在Ia,b】有連續(xù)導(dǎo)數(shù)則bu(x)dv(x)=u(x)v(x)abba-七v(x)du(x)證明：因為u(x),v(x)在Ia,b】有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)所以l.u(x)v(x)1=u(x)v(x)v(x)u(x)所以1aL(x)v(x)1=u(x)v(x)a=Jau(x)v(x)+v(x)u(x)Idx=u(x)v

12、(x)b(bb,即u(x)v(x)dx=u(x)v(x)-v(x)u(x)dxaa例1、求定積分Inxdx°bbbu(x)dv(x)=u(x)v(x)a-aa2v(x)du(x)2lnxdx=xlnx解：12.2.-fxdInx=2ln20-x1121=2ln2-12.4定積分的換元積分法應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式求定積分，首先求被積函數(shù)的原函數(shù)，其次再按公式計算。一般情況下，把這兩步截然分開是比較麻煩的，通常在應(yīng)用換元積分法求原函數(shù)的過程中也相應(yīng)交換積分的上下限，這樣可以簡化計算。公式：若函數(shù)f(x)在區(qū)間Ja,b】連續(xù)，且函數(shù)x=(t)在k,B】有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)WtWP時，有aW9(t

13、)Wb則：b二，二f(x)dx=fI(t)；:(t)dt=fI(t)d(t)ab,、.b.證明：f(x)dx=F(x)a=F(b)F(a)PBfa(t)»'(t)dt=F仲=F©(F)】F19(a)=F(b)-F(a)Ha即:f(x)dx=fL(t)：'(t)dt這個公式有兩種用法：b(1)、若計算(f(x)dxa、選取合適的變換x=cP(t),由a,b通過b=cP(t),a=cP(t)分別解出積分限P與ot；b、把x=(t)代入ff(x)dx得到ff3(t)S(t)dt；a例1、計算定積分(Ja2-x2dx。解：設(shè)x=asint有dx=acostdtx=0

14、時，t=0；x=a時，t=2sin2ta2-212a20、a-Xdx=a02costdt=j(t(2)、計算Jg(t)dt,其中g(shù)(t)=f伸(t)】邛'、把g(t)湊成f3(t)6(t)的形式；檢查x=%t)是否連續(xù)；、根據(jù)a與P通過x=9(t)求出左邊的積分限a,b;、計算.1.例2、計算定積分dt05-4t-5-x1斛：令J54t=x,則t=,dt=-xdx42當(dāng)t=1時，x=3；當(dāng)t=1時，x=111111所以原式=!（x）dx=13x2234總結(jié)定積分計算中最常用的四種方法，本文通過舉例分析定積分的幾種計算方法，來體現(xiàn)定積分的計算。定積分的計算類型很多，要熟練地進(jìn)行定積分的各種運(yùn)算，就要對定積分的運(yùn)算技巧不斷熟悉和掌握。其實，在實際計算中，遇到的題目不一樣，用的計算方法也不一樣。定義法一般不常用，計算起來比較困難，所以一般不會用定義法計算。常用的就是其他三種，即牛頓-萊布尼茨公式，分部積分法和換元積分法。致謝在老師的悉心指導(dǎo)下我完成了這篇關(guān)于定積分的計算方法的論文，感謝老師以以其嚴(yán)謹(jǐn)求實的教學(xué)態(tài)度、高度的敬業(yè)