趣味數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)也能夠耍流氓

1、.興趣數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)也可以耍流氓數(shù)學(xué)一向以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S著稱，每一步推理都需要嚴(yán)格的理由。但在數(shù)學(xué)歷史中，破綻百出的數(shù)學(xué)推理也頻頻出現(xiàn)。有趣的是，即使是這些不嚴(yán)格的思路也充滿著智慧，在數(shù)學(xué)中的地位不亞于那些偉大的證明。今天，用幾個(gè)經(jīng)典例子告訴你，在數(shù)學(xué)里也是可以耍流氓的。邏輯中的那些流氓耍流氓是各種數(shù)學(xué)悖論的來源。你能想一個(gè)命題，使得它和它的否認(rèn)形式同時(shí)成立嗎?令人難以置信的是，這樣的命題真的存在?！斑@句話是七字句就是這樣一種奇怪的命題。它的否認(rèn)形式是“這句話不是七字句，同樣是成立的。你肯定會(huì)大叫“賴皮，命題的真假與這個(gè)命題本身的形式有關(guān)，這樣的命題算數(shù)學(xué)命題嗎?沒錯(cuò)，這些涉及到自己的命題都叫做“自我

2、指涉命題，它們的出現(xiàn)會(huì)引發(fā)很多令人頭疼的問題。從說謊者悖論Liar paradox到羅素悖論Russell's paradox，各種邏輯悖論的產(chǎn)生根源幾乎都是自我指涉。數(shù)理邏輯中的流氓遍地都是，它們直接引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。歐拉的流氓證明法在數(shù)學(xué)史上，很多漂亮的定理最初的證明都是錯(cuò)誤的。最典型的例子可能就是 1735 年大數(shù)學(xué)家歐拉Euler的“證明了。他曾經(jīng)仔細(xì)研究過所有完全平方數(shù)的倒數(shù)和的極限值，并且給出了一個(gè)漂亮的解答：這是一個(gè)出人意料的答案，圓周率 π 毫無征兆地出如今了與幾何完全沒有關(guān)系的場(chǎng)合中。歐拉的證明另辟蹊徑，采用了一種常人完全想不到的絕

3、妙方法。他根據(jù)方程 sinx/x = 0 的解，對(duì) sinx/x 的級(jí)數(shù)展開進(jìn)展因式分解，再利用比照系數(shù)的方法神奇地得到了問題的答案。不過，利用方程的解進(jìn)展因式分解的方法只適用于有限多項(xiàng)式，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)背景下，這種方法不能直接套用到無窮級(jí)數(shù)上。雖然如此，歐拉利用這種不嚴(yán)格的類比，卻得出了正確的結(jié)果。歐拉大師耍了一個(gè)漂亮的流氓。最經(jīng)典的“無字證明一些定理的直觀理解雖然毫無邏輯可言，完全算不上是數(shù)學(xué)證明，但這些精巧而歡樂的視角，仍然讓數(shù)學(xué)家們?nèi)绨V如醉。1989 年的?美國數(shù)學(xué)月刊?American Mathematical Monthly上有一個(gè)貌似非常困難的數(shù)學(xué)問題：以下圖是由一個(gè)個(gè)小三角形組成

4、的正六邊形棋盤，如今請(qǐng)你用右邊的三種僅朝向不同的菱形把整個(gè)棋盤全部擺滿圖中只擺了其中一部分，證明當(dāng)你擺滿整個(gè)棋盤后，你所使用的每種菱形數(shù)量一定一樣。文章末尾提供了一個(gè)非常帥的“證明。把每種菱形涂上一種顏色，整個(gè)圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個(gè)個(gè)立方體在墻角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側(cè)、右側(cè)、上方觀察整個(gè)立體圖形可以看到的面，它們的數(shù)目顯然應(yīng)該相等。這個(gè)工作可讓學(xué)生分組負(fù)責(zé)搜集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學(xué)生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì),熱愛生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價(jià)值、理想、學(xué)習(xí)、成長(zhǎng)、責(zé)任、友誼、愛心、探究、環(huán)保等多

5、方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多那么材料。假如學(xué)生的腦海里有了眾多的鮮活生動(dòng)的材料,寫起文章來還用亂翻參考書嗎?家庭是幼兒語言活動(dòng)的重要環(huán)境，為了與家長(zhǎng)配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開家長(zhǎng)會(huì)，給家長(zhǎng)提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動(dòng)及閱讀情況及時(shí)傳遞給家長(zhǎng)，要求孩子回家向家長(zhǎng)朗讀兒歌，表演故事。我和家長(zhǎng)共同配合，一道訓(xùn)練，幼兒的閱讀才能進(jìn)步很快。唐宋或更早之前，針對(duì)“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師。“教授和“助教均原為學(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)

6、“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目的講授者；而后者那么于西晉武帝時(shí)代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國子、博士培養(yǎng)生徒?！爸淘诠糯粌H要作入流的學(xué)問，其教書育人的職責(zé)也十清楚晰。唐代國子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國子監(jiān)國子學(xué)一科的“助教，其身價(jià)不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無論是“博士“講師，還是“教授“助教，其今日老師應(yīng)具有的根本概念都具有了。嚴(yán)格地說，這個(gè)本來不算數(shù)學(xué)證明的。但它把一個(gè)純組合數(shù)學(xué)問題和立體空間圖形結(jié)合在了一起，實(shí)在讓人拍案叫絕。因此，這個(gè)問題及其鬼斧神工般的“證明流傳甚廣，深受數(shù)學(xué)家們的喜歡。?最迷人的數(shù)學(xué)趣題一位數(shù)學(xué)名家精彩的趣題珍集?Mathematical P