學年第一學期概率試題B卷

1、忻州師院計算機科學與技術系20062007學年第一學期?概率論與數(shù)理統(tǒng)計?期末測試試題B卷測試班級：2006級計本18班測試時間：110分鐘一.此題總分值35分,共有5道小題,每道小題7分.1 .擲2顆均勻的骰子,令：A第一顆骰子出現(xiàn)4點B兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)穩(wěn)為7.試求PA,PB,PAB；判斷隨機事件A與B是否相互獨立？2 .設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為cx0x3xfx23x4,20其它求：常數(shù)c；概率P2X6.3 .設隨機變量X和Y的數(shù)學期望分別是2和2,方差分別是1和4,而相關系數(shù)為0.5.求EXY及DXY；試用切比雪夫Chebyshev不等式估計概率PXY6.4.在總體XN52,6.3

2、2中隨機抽取一個容量為36的樣本,求P50.8X53.8.附,標準正態(tài)分布N0,1的分布函數(shù)x的局部值:x0.190.291.141.091.631.71x0.57530.61410.87290.86210.94840.95645.設總體XN,2,其中且與2都未知,20.現(xiàn)16從總體X中抽取容量n16的樣本觀測值Xi,x2,Xi6,算出xi8060,i116Xi24060802.試在置信水平1i10.95T,求的置信區(qū)間.t0.05151.7531,10.05161.7459,t.3152.131510.025162.1199.二.此題總分值45分,共有5道小題,每道小題9分.6.甲、乙、內三

3、人獨立地破譯一份密碼.甲、乙、丙三人能譯出的概111率分別為1、-、-.求密碼能被破譯的概率.密碼已經(jīng)被破譯,534求破譯密碼的人恰是甲、乙、丙三人中的一個人的概率.7 .某學生參加一項測試,他可以決定聘請5名或者7名考官.各位考官獨立地對他的成績做出判斷,并且每位考官判斷他通過測試的概率均為0.3,如果至少有3位考官判斷他通過,他便通過該測試.試問該考生聘請5名還是7名考官,能使得他通過測試的概率較大？8 .設二維隨機變量X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為212fx,yx2y1其它.求EX,EY及EXY;.分別求出求X與Y的邊緣密度函數(shù)；.判斷隨機變量X與Y是否相關？是否相互獨立？9 .某快餐店出售四種

4、快餐套餐,這四種快餐套餐的價格分別為6元、10元、15元和18元.并且這4種快餐套餐售出的概率分別為0.2、0.45、0.25和0.1.假設某天該快餐店售出套餐500份,試用中央極限定理計算：該快餐店這天收入至少為5500元的概率.15元套餐至少售出140份的概率.附,標準正態(tài)分布N0,1的分布函數(shù)x的局部值：x0.390.481.481.550.65170.68440.93060.9394x10 .設總體XN0,2,X1,X2,Xn是取自該總體中的一個樣本.求2的極大似然估計量；求pPX1的極大似然估計量.三.此題總分值20分,共有2道小題,每道小題10分.11 .設隨機變量與相互獨立,且服

5、從同一分布.的分布律為1Pi-i1,2,3.3又設Xmax,Ymin,.求出二維隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律及隨機變量X及Y各自的邊緣分布律；求EX、EY及EXY.12 .設總體X的數(shù)學期望為,方差為20,現(xiàn)從中分別抽取容量為與出的兩個獨立樣本,這兩個樣本的樣本均值分別為元與又2.證實：對于滿足ab1的任何常數(shù)a及b,YaX1bX2是的無偏估計,并確定常數(shù)a及b,使得YaX1bX2的方差到達最小.06-07概率試題B卷一.此題總分值35分,共有5道小題,每道小題7分.1 .擲2顆均勻的骰子,令：A第一顆骰子出現(xiàn)4點B兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)和為7.試求PA,PB,PAB;判斷隨機事件A與B是否相互獨立

6、？解：擲2顆骰子,共有6236種情況樣本點總數(shù).A事件含有6個樣本點,故PA1.366B事件含有6個樣本點,故PB1.3661AB事件含有1個樣本點,故PAB.436分.、.111由于PAB11PAPB,所以隨機事件A與B相互獨立.36667分2 .設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為cx0x3xfx2-3x4,20其它求：常數(shù)c；概率P2X6.解：1由密度函數(shù)的性質fxdx1,得0341fxdxfxdxfxdxfxdxfxdx0340dxcxdx03x_dx0dx2422x4所以,得c即隨機變量X的密度函數(shù)為4分其它xdxdxxdxdx3-dx26dx60dx42x1222x4152;r7分3.設

7、隨機變量X和Y的數(shù)學期望分別是方差分別是1和4,而相關系數(shù)為0.5.；試用切比雪夫(Chebyshev)不等式估計概率PX分)解：令Z那么有2covX,DY2,DX、DY21、40.53根據(jù)切比雪夫不等式,有X,Y4DZ31PXY6PZ6PZEZ6一一.7分636124.在總體XN52,6.32中隨機抽取一個容量為36的樣本,求P50.8X53.8.附,標準正態(tài)分布N0,1的分布函數(shù)x的局部值:x0.190.291.141.091.631.710.86210.94840.95640.5753x解：由于總體XN52,0.61410.87296.32,而且樣本量n36,所以XN52,36所以,P5

8、0.8X53.8P50.8526.3526.353.8526.3分53.8526.350.8526.31.711.141.711.1410.95640.87290.8293.5.設總體X-N4分70.現(xiàn)16從總體X中抽取容量n16的樣本觀測值X1,X2,X16,算出Xi8060,i1162xii14060802.試在置信水平10.95T,求的置信區(qū)間.已知：t0.05151.7531,t0.05161.7459,t0.025152.131510.025162.1199.解：SXnt由于正態(tài)總體N,2中期望與方差2都未知,所以所求置信區(qū)間為Sn1,Xtn12n2.由0.05,n16,得一0.02

9、5.查表,得t0025152.13152116由樣本觀測值,得XXi503.75,16i111615i115162Xii12nx6.2022.4分所以,503.756.2022162.1315500.445,-stn1n2503.756.2022,162.1315507.055,因此所求置信區(qū)間為500.445,507.055.7分二.此題總分值45分,共有5道小題,每道小題9分.6.甲、乙、內三人獨立地破譯一份密碼.甲、乙、丙三人能譯出的概求密碼能被破譯的概率.密碼已經(jīng)被破譯,求破譯密碼的人恰是甲、乙、丙三人中的一個人的概率.解:設A甲破譯出密碼B乙破譯出密碼,C丙破譯出密碼D密碼被破譯.那

10、么DABC,因止匕,PDPABC1PABC1PABC423231.4分D1破譯密碼的人恰是甲、乙、丙三人中的一個人53455D1ABCABCABC,所以PD1PABCABCABCPABCPABCPABCPAPBPCPAPBPC123413421534534534注意到D1D,所求概率為PD1D分PAPBPC11213105153013PD1DPD13013PDPD318597.某學生參加一項測試,他可以決定聘請5名或者7名考官.各位考官獨立地對他的成績做出判斷,并且每位考官判斷他通過測試的概率均為0.3,如果至少有3位考官判斷他通過,他便通過該測試.試問該考生聘請5名還是7名考官,能使得他通過

11、測試的概率較大？解：設A一位考官判斷他通過考試,那么PA0.3.B該考生通過測試.由于各位考官獨立地對他的成績做出判斷,因此考生聘請n位考官,相當于做一個n重Bernoulli試驗.令X表示判斷他通過測試的測試人數(shù),那么XBn,0.3,因此PXkC：0.3k0.7nk,k0,1,n.1假設考生聘請5位考官,相當于做一個5重Bernoulli試驗.所以,PBPX3PX3PX4PX5C；0.330.72C50.340.71C；0.350.700.16308.4分假設考生聘請7位考官,相當于做一個7重Bernoulli試驗.所以,2PBPX31PX31PXkk01C00.300.77C；0.310.

12、76C"0.320.750.3529305.所以聘請7位考官,可以使該考生通過測試的概率較大.9分8 .設二維隨機變量X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為fx,y212一xy40x2y1其它.求EX,EY及EXY;.分別求出求X與Y的邊緣密度函數(shù);.判斷隨機變量X與Y是否相關？是否相互獨立?解:(1).Exfx,ydxdy2111dxx3ydyx221813x141xdxEXY.當yfx,ydxdy211dx4122xydyx212x1dx71x212.dx-9xyfx,ydxdy,32,dxxydy41x2714x6dx0(3分)1x1時,2112HfXxfx,ydyxydy4x2所以,隨機變量

13、X的邊緣密度函數(shù)為212x81x4212一x81x其它當0y1時,fYxfx,ydx214y2.xydxy73yx72y所以,隨機變量X的邊緣密度函數(shù)為72fYy2y00y1其它6分.由于covX,YEXYEXEY0,所以X與Y不相關.fx,yfXxfYy,所以X與Y不獨立.9分6元、10元、9 .某快餐店出售四種快餐套餐,這四種快餐套餐的價格分別為15元和18元.并且這4種快餐套餐售出的概率分別為0.2、0.45、0.25和0.1.假設某天該快餐店售出套餐500份,試用中央極限定理計算：該快餐店這天收入至少為5500元的概率.15元套餐至少售出140份的概率.附,標準正態(tài)分布N0,1的分布函

14、數(shù)x的局部值:x0.390.481.481.55x0.65170.68440.93060.9394解：設X表示售出一份套餐的收入,那么X的分布律為X6101518P0.20.450.250.1貝UEX60.2100.45150.25180.111.25,_2_2_22_2一EX60.2100.45150.25180.1140.85,DXEX2EX2140.8511.25214.2875.令Xi表示出售的第i套快餐套餐的收入,i1,2,500.那么X1,X2,X500獨立同分布,且Xii1,2,500的分布都與X的分布550011.25500.50014.2875相同.那么500PXi5500i

15、1500Xi11.25500500Xi11.255001.4811.481.480.93066分Pi1.50014.2875設Y表示售出的500份套餐中15套餐的份數(shù),那么YB500,0.25.那么Y5000.251405000.25PY140P.5000.250.755000.250.751PYPi114.28750.251.5511.5510.93940.0606.9分5000.250.7510.設總體XN0,2,X1,X2,Xn是取自該總體中的一個樣本.求2的極大似然估計量；解：.總體X的密度函數(shù)為求pPX1的極大似然估計量.所以似然函數(shù)為122eXp2_2L2n2eXp2Xi1Xi1,

16、2,所以,取對數(shù),得lnL21nn2Xi1Xi1,2,所以,InL2Xii12Xii1解方程-1nLd2122Xi0,得2Xi2的極大似然估計量為?2分由于Xi22的極大似然估計量為Xi2(6又函數(shù)J2具有單值反函數(shù),因此的極大似然估計量為.？1nxi,ni1又函數(shù)-具有單值反函數(shù),因此的極大似然估計量為11nxi,ni1分.此題總分值20分,共有2道小題,每道小題10分.11.設隨機變量與相互獨立,且服從同一分布.的分布律為i1,2,3.又設Xmax求出二維隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律及隨機變量X及Y各自的邊緣分布律；求EX、EY及E解:由與的取值都是1,2,3,可知Xmax與Ymin的取值也是1,2,1,1,1,0；1,2,1,2,2,2,PX2,Y3P0;PX3,Y1P3,1P1,31111233339PX3,Y2P3,2P2,3P3P2P3,YP3,11112333396分因此二維隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律及X的邊緣分布律為EXY4.10分12.設總體X的數(shù)學期望為,方差為20,現(xiàn)從中分別抽取容量為與出的兩個獨立樣本,這兩個樣本的樣本均值分別為元與女2.證實：對于滿足ab1的任何常數(shù)a及b,YaXibX?是的無偏估計,并確定常數(shù)a及b,使彳YYaXib