圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一、基礎(chǔ)題1.求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)2,6；6.(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為分析：當(dāng)方程有兩種形式時(shí)，應(yīng)分別求解,2如(1)題中由二a22yb21求出a2148,2b237,2在得方程上148372匕1后，不能依此寫(xiě)出另一方程2y1482X37解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y_b22Xb2由已知a2b.2又過(guò)點(diǎn)2,6,因此有2_a由、，得14862工b222薩37或a252,b213.故所求的方程為148372y52(2)設(shè)方程為.由已知，c3,b3,所以a218.故所求方程為2X182上1-9說(shuō)明：根據(jù)

2、條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn),定參數(shù)”.關(guān)鍵在于焦點(diǎn)的位置是否確定,22若不能確定，應(yīng)設(shè)方程=41或y2221-5-aba221-b22.根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過(guò)點(diǎn)Po153,一，416巧且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.3(2)C粕,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,2),焦點(diǎn)在X軸上.(3)與雙曲線2X162L1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)421.13點(diǎn)32,2解：(1)設(shè)雙曲線方程為2匚1,P、Q兩點(diǎn)在雙曲線上,n旦m25622516n25解得m16所求雙曲線方程為2X說(shuō)明：采取以上“巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的(2)二.焦點(diǎn)在X軸上,cJ6,設(shè)所求雙曲線方程為:2-y1(其中066)雙曲線

3、經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一2552)30(舍去)，所求雙曲線方程(3)2設(shè)所求雙曲線方程為：16雙曲線過(guò)點(diǎn)3J2,2,.181614(舍)，所求雙曲線方程為2X12說(shuō)明：與雙曲線2X162匕1有公共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為42x162一1后，便有了以上巧妙4的設(shè)法.1共漸近線且過(guò)A2v3,點(diǎn)的雙曲線方程及離心率解法一：雙曲線2Ly_1691的漸近線方程為:(1)設(shè)所求雙曲線方程為2X2a2yb2I，A2J3,3在雙曲線上，12-2a9b2由一,得方程組無(wú)解2(2)設(shè)雙曲線方程為4aA2V3,3在雙曲線上，12b292由得a2,b4,42所求雙曲線方程為：L91且離心率e22解法二：設(shè)與雙曲線y-1共漸近線的雙曲線

4、方程為:1692x16丁點(diǎn)A2J3,3在雙曲線上，12161一、一，所求雙曲線方程為:42x162yf4說(shuō)明:(1)不難證明與雙曲線2x1621共漸近線的雙曲線方程162x1.4般地，在已知漸近線方程或與已知雙曲線有相同漸近線的條件下，利用雙曲線系方程2yb226,求以曲線2xy4x100和y4.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)點(diǎn)P(4,2)2_(A)x=8y(B)x2=4y(C)x2=2y5.拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過(guò)焦點(diǎn)且與的拋物線方程是()(D)x2-y2y軸垂直的弦長(zhǎng)等于8,則拋物線方程為2x2的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線為漸近線，且實(shí)軸長(zhǎng)為12的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3或x3,.漸近線方

5、程為y2y26,得b4._22一一么2xy4x100x解：,，二y2x2y當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由b2且aa322所求雙曲線方程為幺13616當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由亙2,且a6,得b9.b322所求雙曲線方程為L(zhǎng)13681說(shuō)明：(1)“定量”與“定位”是求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)過(guò)程，解題過(guò)程中應(yīng)準(zhǔn)確把握.(2)為避免上述的“定位”討論，我們可以用有相同漸近線的雙曲線系方程去解，請(qǐng)讀者自行7.已知雙曲線的漸近線方程為3x2y0,兩條準(zhǔn)線間的距離為16.13,求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.131解：二.雙曲線漸近線方程為y2x,3、一x2.設(shè)雙曲線方程為一4b29，準(zhǔn)線方程為：4.13138.1316J131313(

6、2)若0,b24,，準(zhǔn)線方程為：y9,131318.131316.13136481，所求雙曲線方程為:162y361或宜颯642568.中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1,0的雙曲線，其實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之比為求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.9.解:2解：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為三a2x2-m-27m12y12m12yb21為所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)設(shè)所求雙曲線方程為:b2P1,8,，所求雙曲線方程為說(shuō)明：（1）離心率e2a2bc21,解得b22mm211-2"m1且離心率為雙的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.1,J2是雙曲線的等軸雙曲線的充要條件，證明如下：設(shè)等軸雙曲線222xymm0,則a2b

7、2m2,c2a2b22m2,.cV2m,.e-2m42am反之，如果一個(gè)雙曲線的離心率eV2.-J2,.cJ2a,c22a2,a22222ab2a,ab,ab，雙曲線是等軸雙曲線（2）還可以證明等軸雙曲線的其他性質(zhì)：兩條漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)等.10.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A2,0，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：題目沒(méi)有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置.22解：（1）當(dāng)A2,0為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，a2,b1,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：L4122（2）當(dāng)A2,0為短軸端點(diǎn)時(shí)，b2,a4,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：*上1；416說(shuō)明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)

8、，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況.為AB中11.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與直線xy10交于A、B兩點(diǎn)，M點(diǎn)，OM的斜率為0.25,橢圓的短軸長(zhǎng)為2,求橢圓的方程.1,222ax2ax0,2x解：由題意，設(shè)橢圓方程為二axy102由x_v21,得12y1akOMx1x21a2xM"2ayM1xM11a2Vm12xma4,y21為所求.說(shuō)明：（i）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法;數(shù)的關(guān)系，來(lái)解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率問(wèn)題.（2）直線與曲線的綜合問(wèn)題，經(jīng)常要借用根與系22212 .已知ABC的二個(gè)頂點(diǎn)是圓xy9x0與拋物線y2pxp0的交點(diǎn)，且ABC的垂心恰好是拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程.（答案：y24x）13 .已知直角OAB的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，a、B在拋物線y22pxp0上，原點(diǎn)在直線AB上的射影為D2,1,求拋物線的方程.（答案：y25x）214 .已知拋物線y22pxp0與直線yx1相交于AB兩點(diǎn)，以弦長(zhǎng)AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)，求此拋物線的方程.,2（答案：Vx）15 .已知直線y