數(shù)學(xué)任意角的三角函數(shù)的定義

1、三角三角三角三角5.2.1 任意角的三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)的定義百度文庫：百度文庫： 李天樂樂李天樂樂 為您呈獻(xiàn)！為您呈獻(xiàn)！初中銳角三角函數(shù)定義初中銳角三角函數(shù)定義( (正弦，余弦，正切正弦，余弦，正切) ) 思考思考 角的范圍已經(jīng)推廣，那么我們?nèi)绾味x角的范圍已經(jīng)推廣，那么我們?nèi)绾味x 任意角任意角 的的三角函數(shù)呢？三角函數(shù)呢？ 斜邊鄰邊Acos斜邊對(duì)邊Asin鄰邊對(duì)邊AtanAB鄰鄰 邊邊 斜斜 邊邊對(duì)對(duì)邊邊C 任意角三角函數(shù)的定義任意角三角函數(shù)的定義 已知已知 是是任意角，任意角，P(x，y)，P (x，y)是角是角 的的終邊與兩個(gè)半徑不同的同心圓的交點(diǎn)，終邊與兩個(gè)半徑不同的同心

2、圓的交點(diǎn)， 則由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得則由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得 xyxy,ryry,rxrx由于點(diǎn)由于點(diǎn) P，P 在同一象限內(nèi)，在同一象限內(nèi)，所以它們的坐標(biāo)符號(hào)相同，因此得所以它們的坐標(biāo)符號(hào)相同，因此得 ，xyxyryryrxrxPPyxOxyryxr 所以當(dāng)角所以當(dāng)角 不變時(shí)，不論點(diǎn)不變時(shí)，不論點(diǎn) P 在角在角 的的終邊上的位置如何，終邊上的位置如何，這三個(gè)比值都是定值，只這三個(gè)比值都是定值，只依賴于依賴于 的大小，與點(diǎn)的大小，與點(diǎn) P 在在 角角 終邊上的位終邊上的位置無關(guān)置無關(guān).設(shè)角設(shè)角 的終邊上的任意一點(diǎn)的終邊上的任意一點(diǎn)P（x，y），），點(diǎn)點(diǎn) P 到原點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為的距離為

3、r. 于是我們有如下定義：于是我們有如下定義：rxrx比值比值 叫做叫做角角 的余弦的余弦. .記作記作 cos ryry比值比值 叫做叫做角角 的正弦的正弦. .記作記作 sin xyxy比值比值 叫做叫做角角 的正切的正切. .記作記作 tan 依照上述定義，對(duì)于每一個(gè)確定的角依照上述定義，對(duì)于每一個(gè)確定的角 ，都分別，都分別有唯一確定的三角函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，所以這三個(gè)對(duì)應(yīng)有唯一確定的三角函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，所以這三個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系都是以角關(guān)系都是以角 為自變量的函數(shù)，分別稱作角為自變量的函數(shù)，分別稱作角 的的余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)計(jì)算三角函數(shù)值的步驟：計(jì)算三角函數(shù)值

4、的步驟：S1 畫角畫角 在直角坐標(biāo)系中，作轉(zhuǎn)角在直角坐標(biāo)系中，作轉(zhuǎn)角 ；S2 找點(diǎn)找點(diǎn) 在角的終邊上任找一點(diǎn)在角的終邊上任找一點(diǎn)P，使，使 OP 1 1， 并量出該點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)；并量出該點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)；S3 求值求值 根據(jù)三角函數(shù)定義，求出角根據(jù)三角函數(shù)定義，求出角 的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值 三角函數(shù)求值三角函數(shù)求值例例 1 已知角已知角 終邊經(jīng)過點(diǎn)終邊經(jīng)過點(diǎn) P（2，- -3）如圖，如圖， 求求角角 的三個(gè)三角函數(shù)值的三個(gè)三角函數(shù)值OyxP（2，-3）解解 已知點(diǎn)已知點(diǎn) P（2， -3），則則133222 OPr；23tan13132132cos13133133sinxyrxry例

5、例 2 試確定三角函數(shù)在各象限的符號(hào)試確定三角函數(shù)在各象限的符號(hào)解解 由三角函數(shù)的定義可知，由三角函數(shù)的定義可知，sin ，角，角 終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 的正、負(fù)的正、負(fù)與角與角 的正弦值同號(hào)；的正弦值同號(hào)；rycos ，角，角 終邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo)終邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo) x 的正、負(fù)的正、負(fù)與角與角 的余弦值同號(hào)；的余弦值同號(hào)；rxtan ，則當(dāng)，則當(dāng) x 與與 y 同號(hào)時(shí)，正切值為正，同號(hào)時(shí)，正切值為正，當(dāng)當(dāng) x 與與 y 異號(hào)時(shí)，正切值為負(fù)異號(hào)時(shí)，正切值為負(fù)xy記憶口訣：記憶口訣：全全正，正，正弦，正弦，正切，正切，余弦余弦+ + +xyosin- - -xcosyo+ +- -+

6、 +- -tanxyo+ + +- - -三角函數(shù)在各象限的符號(hào)如下圖所示：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)如下圖所示： ( (2) ) 因?yàn)橐驗(yàn)?130 是第二象限角，是第二象限角，所以所以 cos 130 0.練習(xí)練習(xí)1 1 確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào)：確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào)：34tan)4sin( (1) ； (2) cos130 ； (3)( (3) ) 因?yàn)橐驗(yàn)?是第三象限角，是第三象限角，34解解 ( (1) ) 因?yàn)橐驗(yàn)?是第四象限角，是第四象限角， 434tan所以所以 0.)4sin(所以所以 0.例例3 使用函數(shù)型計(jì)算器，計(jì)算下列三角函數(shù)值：使用函數(shù)型計(jì)算器，計(jì)算下列三角函數(shù)值：

7、(1) sin67.5 ， cos372 ， tan (86 )；(2) sin1.2， cos ， tan 43651. 以原點(diǎn)為圓心，半徑為以原點(diǎn)為圓心，半徑為 1 的圓稱為的圓稱為單位圓單位圓.2. 如圖，角如圖，角 的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，則根據(jù)三角函數(shù)定義可知，點(diǎn)則根據(jù)三角函數(shù)定義可知，點(diǎn) P 的坐標(biāo)的坐標(biāo) x， y 分別為分別為 cos 和和 sin ，即，即 P( cos , sin ).O M x A(1,0)(1,0)y1 P 由于由于 cos x OM； sin y MP，于是我們把于是我們把規(guī)定了方向的線段規(guī)定了方向的線段OM 稱作角稱作角 的的余弦線

8、余弦線，MP 稱作角稱作角 的的正弦線正弦線 . 單位圓與三角函數(shù)線單位圓與三角函數(shù)線(cos , sin )練習(xí)練習(xí) 2 2（1 1） 在單位圓中作出下列各角的正弦線、余弦線在單位圓中作出下列各角的正弦線、余弦線 （1） ； （2） 332yxOyxO3PM32PM如何畫如何畫正切線？正切線？yxOATT所以所以 AT ( AT ) 稱作角稱作角 的的正切線正切線 ，因?yàn)?(tanTAATxy附注 通過單位圓研究三角函數(shù)的幾何演示過程可在主界面單擊“單位圓研究三角函數(shù).gsp”文件觀看.練習(xí)練習(xí) 2 2（2 2） 在單位圓中作出下列各角的正切線在單位圓中作出下列各角的正切線 （1） ； （2） 332yxOyxO3M32MTATA 本節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)：本節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)：1 1任意角三角函數(shù)的定義（代數(shù)表示）任意角三角函數(shù)的定義（代數(shù)表示）2 2任意角三角函數(shù)值的求法（兩種方法）任意角三角函數(shù)值的求法（兩種方法）3 3任意角三角