第2講映射概念

1、1映射概念映射概念v映射的定義 v映射的性質(zhì)v逆映射v復(fù)合映射21 1 映射的定義映射的定義設(shè)設(shè) A, B 是任意給定的兩個(gè)集合，若存在一個(gè)對應(yīng)法則是任意給定的兩個(gè)集合，若存在一個(gè)對應(yīng)法則f，使得對于使得對于任意任意xA，均存在唯一均存在唯一的的 y B與它對應(yīng)與它對應(yīng), 則稱則稱 f 是是A到到B的一個(gè)的一個(gè)映射映射，記為，記為 f:AB，且，且y=f(x)。 一一 映射的定義映射的定義3注意：映射注意：映射 f 本質(zhì)上定義為一個(gè)對應(yīng)，這種對應(yīng)本質(zhì)上定義為一個(gè)對應(yīng)，這種對應(yīng)有可能有解析表達(dá)式（正如我們通常見到的一有可能有解析表達(dá)式（正如我們通常見到的一樣），但也可能不存在相應(yīng)的表達(dá)式，如樣）

2、，但也可能不存在相應(yīng)的表達(dá)式，如A= a, b, c , B=0, 1規(guī)則規(guī)則f: a 對應(yīng)于對應(yīng)于0， b對應(yīng)于對應(yīng)于1， c對應(yīng)于對應(yīng)于1。 f 即為即為 A到到B的一個(gè)映射。的一個(gè)映射。又如又如 A 為有理數(shù)集為有理數(shù)集, B為實(shí)數(shù)集為實(shí)數(shù)集xexBAf,:1特征函數(shù)特征函數(shù)假定假定A是論域是論域U上的集合，定義上的集合，定義1 , 0:UAAxAxxA, 0, 1)(其中42 2 映射的相等映射的相等設(shè)設(shè) f, g 是是A到到B 的兩個(gè)映射，若對于任意的兩個(gè)映射，若對于任意xA，均有，均有f(x) = g(x),則稱則稱映射映射f, g是相等的是相等的，或是同一映射。，或是同一映射。5

3、3 3 幾個(gè)相關(guān)的稱謂幾個(gè)相關(guān)的稱謂假定假定 f:AB, y=f(x)，通常把，通常把 x稱為稱為自變量自變量，自變量的取值范，自變量的取值范圍稱為圍稱為定義域定義域，記為，記為 dom f。將。將 y 稱為稱為因變量因變量，而把由所有，而把由所有因變量構(gòu)成的集合稱為因變量構(gòu)成的集合稱為值域值域，記為，記為 ran f。對映射而言：對映射而言： 對映射對映射 f:AB 而言而言, 必有必有 dom f = A, ran f B且如前所述，把因變量且如前所述，把因變量 y 稱為稱為 x 在映射在映射f下的下的像像或或函數(shù)值函數(shù)值，記，記為為 y=f(x).6定義定義：設(shè)：設(shè) f:AB, 令令 X

4、 A，用，用 f(X) = f(x) | xX表示表示 X 在映射在映射f下的下的像像。 同理令同理令Y B，用，用表示表示Y在映射在映射f下的下的原像原像。注：這里的注：這里的 是一個(gè)整體記號(hào)。是一個(gè)整體記號(hào)。)(|)(1YxfxYf)(1Yf7對于集合對于集合 A 和和B，用，用 (B上上A)表示表示A到到B的所有映射組的所有映射組成的集合，即有成的集合，即有AB:|BAffBA【例1-5】若 求,21321yyBxxxA.AB.8,.,2 , 1|ifBiAx1x2x3y1y2BAf:BA8定理定理：對于集合：對于集合 A 和和B，若，若|A|=m, |B|=n，則，則.|mAnB 注意

5、注意: B上上A的記號(hào)與該結(jié)論的關(guān)系的記號(hào)與該結(jié)論的關(guān)系.證明：設(shè)證明：設(shè) f:AB, 對于任意的對于任意的 xA,顯然顯然 f(x) 可取可取B中中n個(gè)個(gè)元素中任意一個(gè)，元素中任意一個(gè)， 而而 |A|=m, 根據(jù)乘法原理，結(jié)論成立。根據(jù)乘法原理，結(jié)論成立。9n n元函數(shù)定義元函數(shù)定義 在函數(shù)定義中，若在函數(shù)定義中，若 ，則對任意，則對任意xA，有，有 ,這時(shí)這時(shí) 稱稱 f 為為 到到 B 的的n n元函數(shù)元函數(shù)。n21AAAA ),(21nxxxx),(),()(2121nnxxxfxxxfxf n21A,A,A10二 映射的性質(zhì)1 1 單射單射 定義：定義：f:Af:AB, B, 若對任意

6、若對任意 , , A，由，由 可推出可推出 ，（或，（或 ），則稱），則稱 f 是是 A 到到 B的的單射單射，或稱，或稱 f 是是 A 到到 B 的的一對一一對一映射映射。2 2 滿射滿射 定義：定義：f:Af:AB, B, 若對任意若對任意y yB，均存在，均存在xA，使得，使得y=f(x)，則稱，則稱 f 是是 A 到到 B的的滿射滿射，或稱，或稱 f 是是 A 到到 B 的的映上的映上的映射。映射。1x2x)()(21xfxf21xx )()(2121xfxfxx時(shí)3 雙射雙射 定義：定義：f:AB, 若若f既是單射又是滿射，則稱既是單射又是滿射，則稱 f 是是 A 到到 B的的雙射雙

7、射，或稱，或稱 f 是是 A 到到 B 的的一一對應(yīng)一一對應(yīng)。11 125 5 置換置換 若若 A A 是有限集合，通常把是有限集合，通常把 A A 到到 A A的雙射稱為的雙射稱為 A A 上上的的置換置換。4 4 變換變換 集合集合 A A 到自身的映射習(xí)慣上稱為到自身的映射習(xí)慣上稱為 A A 的一個(gè)的一個(gè)變換變換。v例例1.建立一個(gè)建立一個(gè)Z到到N的一一對應(yīng)。的一一對應(yīng)。 v例例2.建立一個(gè)建立一個(gè)(0,1)到到R的一一對應(yīng)。的一一對應(yīng)。v例例3. 寫出寫出A=1,2,3上的所有置換。上的所有置換。13三 逆映射1 1 定義定義 設(shè)設(shè)f:Af:AB, B, 若將對應(yīng)關(guān)系逆轉(zhuǎn)，能夠得到一個(gè)

8、集合若將對應(yīng)關(guān)系逆轉(zhuǎn)，能夠得到一個(gè)集合B B到集合到集合A A的映射，則該映射稱為的映射，則該映射稱為f f的的逆映射逆映射或或逆函數(shù)逆函數(shù)，常稱為常稱為反函數(shù)反函數(shù), ,記為記為 。2 2 定理定理 設(shè)設(shè)f:Af:AB, B, 則則 f f 的逆映射存在的的逆映射存在的充要條件充要條件是：是：f f 是是雙射雙射。1f14 看下面映射是否存在逆映射？看下面映射是否存在逆映射？15四 復(fù)合映射定義定義 設(shè)設(shè)f:AB,g:BC，對任意的，對任意的 xA，h(x)=g(f(x) 為為 A 到到 C的映射，稱的映射，稱 h 為為 f 和和 g 的的復(fù)合映射復(fù)合映射或或復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)，記為記為 f

9、g。 由復(fù)合函數(shù)定義知，由復(fù)合函數(shù)定義知，)()(xfgxgfx)(xfy zyg)()(xgfz1617恒等映射恒等映射 設(shè)設(shè)A A是集合，令是集合，令f:Af:AA,f(x)=xA,f(x)=x，稱，稱f f為集合為集合A A上的上的恒恒等映射等映射，記為，記為 。AI定理定理 若若f:Af:AB B 是雙射是雙射, , 則有則有特別地，若特別地，若f:Af:AA A是雙射，則有是雙射，則有,1AIff.1BIff.11AIffff18定理定理 設(shè)設(shè) f:AB, g:BC, 若若 f 和和 g 是單射，則是單射，則 f g 是單射；是單射； 若若 f 和和 g 是滿射，則是滿射，則f g是

10、滿射；是滿射；(1)(3)若若 f 和和 g 是雙射，則是雙射，則f g是是雙射雙射 且有且有111)(fggf證明：證明：(1) 因?yàn)橐驗(yàn)?f 是是 A到到B的單射函數(shù)，所以當(dāng)?shù)膯紊浜瘮?shù)，所以當(dāng) ， A， ,又因?yàn)橛忠驗(yàn)間是是B到到C單射函數(shù)，所以單射函數(shù)，所以 ；即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)，時(shí)，(f g)( ) (f g)( )，由此可見，復(fù)合函數(shù)由此可見，復(fù)合函數(shù)g f是單射函數(shù)是單射函數(shù) 同理可證明同理可證明(2)與與(3) 。1x2x)()(2121xfxfxx時(shí))()(21xfgxfg21xx 1x2x19定理定理 設(shè)設(shè) f:AB, g:BC, 若若 f g 是單射，則是單射，則 f 是單射但是單射但 g不一定；不一定；(1)若若 f g 是滿射，則是滿射，則 g 是滿射而是滿射而 f 不一定。不一定。 ab123gf同理可證明同理可證明(2)。20定理定理 設(shè) f:AB，g:BC，h:CD，則)()(hgfhgf由上面定理可知，當(dāng)多個(gè)函數(shù)求復(fù)合時(shí)可以不加括號(hào)，即由上面定理可知，當(dāng)多個(gè)函數(shù)求復(fù)合時(shí)可以不加括號(hào)，即)()(hgfhgfhgf證明證明：對任意：對任意 xA，由于，由于 (f g) h)(x) = h(f g)(x) = hg(f(