線性代數(shù)例題[1]講解學(xué)習(xí)

1、線 性 代 數(shù) 例 題 1 行列式例1：若1,2, 3, 1,2都是四維列向量，且四階行列式231 m,1 2 2 3|門，四階行列式3 2 112等于多少？例2：設(shè)A是n階方陣，且A 0，則A中()(A) 必有一列元素全為零；(B) 必有兩列元素成比例；(C )必有一列向量是其余列向量的線性組合；(D)任一列向量是其余列向量的線性組合.例3:設(shè)A 佝»3 3， Aj為aj的代數(shù)余子式，且Aj aj，并且0，求 A.例4:設(shè)四階方陣A (aj)44，f (x) E A，其中E是n階單位矩陣，求：(1) 4的系數(shù)；(2) 3的系數(shù)；(3)常數(shù)項(xiàng).例5:設(shè)A為n階方陣，E是n階單位矩陣，

2、AAT E，A 0，計(jì)算A E .例6:設(shè)A，B為n階正交矩陣，若 A B 0，證明A B是降秩矩陣.1 0 0例1:設(shè)A 10 1，證明當(dāng)n 3時(shí)，恒有An An 2 A E .0 1 0111 例 2:設(shè) (1,2,3,4),(1, , T, T)， A,計(jì)算 A .2 3 4例3:設(shè)三階方陣A , B滿足關(guān)系A(chǔ) 1BA 6A BA，且A求B1例4:設(shè)A是三階方陣，|A -，求(3A) 1 2A*例5：證明：若實(shí)對(duì)稱矩陣A滿足條件A20,則A O例6:設(shè)A E '，其中E是n階單位矩陣，是n維非零列向量，證明：(1) A2 A的充要條件是1 ；(2) 當(dāng)1時(shí)，A是不可逆矩陣.例7:

3、已知n階方陣A滿足2A(A E) A3，求(E A)10000100 1例8:設(shè)A*，且 ABA 1BA 1 3E，求 B.101003081 0 0例9:設(shè)f (x)1x2 x100典x ， A0 0 0，求 f(A), f (f (A)0 1 0例10:設(shè)A,B是n階方陣，且滿足AB A B，證明：AB BA例11:設(shè)A是n階方陣，是否存在B E，使得AB A，若存在B，指出ana12a13a21a22a 23例12：設(shè)Aa31a 32a 33a41a42a 4300010100PP200101000其中A可逆，則B1（）求B的辦法，若不存在，說明理由10 0 00 0 100 10 00

4、 0 0 1a14a14a13a12ana 24a24a23a22a21，Ba34a34a33a 32a31a 44a44a43a42a411 1(A)A PR ； (B)RA P2 ；1 1(GP1P2A ； (D)P2A r.例13：設(shè)A是3階方陣，將A的第一列與第二列交換得B，再把B的第列加到第三列得C，則滿足AQ C的可逆矩陣為010010010011(A)100（B）101（C） 100（D）100101001011001例14：設(shè)A,B是n階方陣，已知B可逆，且滿足A2 AB B20 ,證明A和A B都是可逆矩陣，并求它們的逆例15：設(shè)A,C分別是m階和n階非奇異方陣,B是m n矩

5、陣，證明:（1） M A B為可逆矩陣；（2）M0 CA 1BC 10中所有元素的代數(shù)余子式的和一 1例16：求n階行列式0例17：設(shè)A是n階方陣，且存在正整數(shù)m，使Am 0，又B是n階可逆矩陣，證明矩陣方程AX XB只有零解.例18:( 1)設(shè)A,B是n階方陣，且AB 0，證明：R(A) R(B) n(2)設(shè) A 是 n 階方陣，且 A2 A 2E，證明：R(2E A) R(E A) n1 23例19:已知Q 2 4 t ，P為三階非零矩陣，且PQ 0,則()3 6 9(A)t 6時(shí)，P的秩必為1； (B)t 6時(shí)，P的秩必為2；(C) t 6時(shí)，P的秩必為1； (D)t 6時(shí)，P的秩必為2

6、.例20：設(shè)A是n m矩陣，B是m n矩陣，其中n m，若AB E，證明 B的列向量線性無關(guān).例21：求n(n 2)階方陣A的秩，其中abbbabAbbaA b例22：求設(shè)A,B,C,D是和n階方陣，G，且C DAC CA, AD CB，又行列式 A 0，求證：n R(G) 2n.例23：設(shè)A是m n矩陣，B是n s矩陣，并且R(A) n,證明：R(AB) R(B)例24：設(shè)n維列向量組1, 2線性無關(guān)，向量組t可用s線性表示，表示矩陣為C，證明:(1) R( 1, 2, ， t) R(C)(2)當(dāng)t s時(shí)，有s線性無關(guān)C是可逆矩陣.例25:設(shè),為三維列向量，矩陣AT,其中T分別是的轉(zhuǎn)置.證明

7、：（1）秩r（A） 2若,線性相關(guān)，則秩r（A） 2（2008年數(shù)學(xué)一）例26：設(shè)AB均為2階方陣，A*, B*分別為AB的伴隨矩陣，若 A 2,B 3,O A則分塊矩陣B O的伴隨矩陣為O*3BO*2B(A)"O(B)"O2A3AO*3AO2A（C）心O(D)*O2B3B（答案：B） （ 2009年數(shù)學(xué)一、例1:設(shè)向量組例2:設(shè)向量組例3:設(shè)向量組3線性無關(guān)，證明向量組11也線性無關(guān).關(guān)，則向量可由向量組例4：設(shè)向量 佝&,m線性無關(guān)，討論向量組1的線性相關(guān)性.m線性無關(guān)，向量組2,， m線性表示.m?線性相,an）'， A為n階矩陣，如Am 1Am0，則

8、，A ,A2 , ,Am1線性無關(guān).例5:設(shè)A為n階矩陣，證明R（An） R（An1）例6：設(shè)向量組m1（m 3）線性相關(guān)，向量組2，3?，m線性無關(guān)，問（1）1能否由3?，m 1線性表示？ （ 2） m能否由1, 2， m 1線性表示?例7：設(shè)向量組I線性無關(guān)，向量1可由它線性表示，向量2不能由它線性表示，證明I1個(gè)向量1, 2,， l,k 12線性無關(guān).例8：設(shè)向量組A 2, ，m與向量組B i的秩相同，且向量組A可由向量組B線性表示，證明A與B等價(jià).例9：設(shè)A為n階矩陣,s是一組n維向量，滿足A i i 1 i , i 2,3, S，并且 10，證明向量組s線性無關(guān).例10：設(shè)3是線性無

9、關(guān)的5維向量組,3也是5維向量組,滿足(i, j)0,i, j 1,2,3。證明2,3線性相關(guān).例11：如果!，2，s與1，2，t是兩個(gè)線性無關(guān)的門維向量組，并且 每個(gè)i與j都正交，證明向量組1, 2, s, 1, 2,七線性無關(guān)例12：設(shè)有向量組1 (1, 1,2,4), 2(0,3,1,2), 3(3,0,7,14), 4(1, 2,2,0)，5(2,1,5,10)，求該向量組的秩及極大線性無關(guān)組，并用極大無關(guān)組來表示組中諸向量例15：設(shè)1(1,2,0)T, 2(1,a2, 3a)T, 3( 1, b 2,a2b)T,(1,3, 3)T討論當(dāng) a,b為何值時(shí)，(I) 不能由1, 2, 3線

10、性表示；(II) 可由1, 2, 3惟一地線性表示，并求出表示式；(III) 可由1, 2, 3線性表示，但表示式不惟一，并求出表示式(2004年數(shù)學(xué)三)線性方程組例1:已知三階矩陣B O，且B的每一個(gè)列向量都是以下方程組的解X! 2x2 2x302 捲 x2x3 03x1 x2 x30（1）求的值；（2）證明B 0例2：設(shè)向量組!, 2, ， t是齊次方程組AX O的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量 不是方程組AX O的解，即A O。試證明向量組 ，1，2，t線性無關(guān)例3：設(shè)n階矩陣A的行列式A 0,且有一個(gè)代數(shù)余子式Aj 0,證明: 線性方程組AX O的所有解為k（AA2, , An）'，k為任

11、意常數(shù).例4:設(shè)!, 2,， s是齊次方程組AX O的一個(gè)基礎(chǔ)解系，1 b 1 t? 2，2 h 2 t? 3， s X s t? 1，其中山譏?為頭常數(shù)。試問H滿足什么關(guān)系時(shí)，1, 2s也是方程組AX O的一個(gè)基礎(chǔ)解系.a11a12a1nbi1. a21a22a2nbi2A，i，i1,2, ,nmam1am2amnbin又已知齊次方程組AXO的基礎(chǔ)解系就是1 , 2,n m，求齊次線性方程組bn y1b12 y2bnyn0b21 y1 b22 y2b2nyn0例5:設(shè)m n，且bn m,1 y1bn m,2y2bnm,n yn的基礎(chǔ)解系，并說明理由例6:設(shè)i(ai1 , ai2 ,ain )

12、, i1,2,m,a1 xa2 X2a1 nXn0證明：如果a?1 xa?2 X2a2nXn0am1X1am2X2amn Xn0的解全是方程b1x1b2X2bn Xn0的解，貝U向量可由向量組 1,2 , ，m線性表出,bn)例7:已知四元兩個(gè)方程的線性方程組的基礎(chǔ)解系為i 1,2,3,4T, 2 1,1,2, 3t，求原方程組.例8：已知線性方程組XiX22x3 3x42x1 x2 6x3 4x413x1 2x2 px3 7x41x1 x2 6x3X4討論參數(shù)p,t取何值時(shí)，方程組有解、無解；當(dāng)有解時(shí)，試用其導(dǎo)出組的基 礎(chǔ)解系表示通解例 9：已知 1(1,0,2,3), 2(1,135),

13、3(1, 1,a 2,1), 4(1,2,4,a 8)及（1,1,b 3,5）（1） a,b取何值時(shí)，不能表示成1, 2, 3, 4的線性組合？（2） a,b取何值時(shí)，有1, 2, 3, 4的惟一的線性表示式？并寫出該表示式例10：已知下列非齊次線性方程組x1 x2 2 x46(i) 4x1 X2 X3 X4 1(n)3x1X2X3x1 mx2 x3 x45nx2 x3 2x41x3 2x41 t(1) 求解方程組(I);用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解(2) 當(dāng)方程組(U)中的參數(shù)m, n,t為何值時(shí)，方程組(I)與(U)同 解.例11：已知四階矩陣A ( 1, 2, 3, 4),1, 2, 3

14、, 4均為4維列向量，其中2, 3, 4線性無關(guān)，1 2 2 3，如果1 2 3 4，求線性方程組AX 的通解.例12:若n線性方程組AX b對(duì)任何n維列向量b均有解，則對(duì)于任何n維 列向量，方程組A* X 必有唯一解，其中A*是A的伴隨矩陣.例 13:設(shè)有向量組(I)1(1,0,2)t, 2(1,1,3)T, 3(1, 1,a 2)T和向量組(U)1(1,2,a 3)t, 2(2,1,a6)T, 3(2,1,a 4)T。試問：當(dāng) a 取何值時(shí)，向量組(I)與(U)等價(jià)？當(dāng)a取何值時(shí)，向量組(I)與(U)不等 價(jià)？例14：已知三階矩陣A的第一行是(a,b,c)，a,b,c不全為零，矩陣123B

15、 2 4 6 ( k為常數(shù))，且AB O，求線性方程組 AX 0的通解.(20053 6k年數(shù)學(xué)一)例 15:確定常數(shù) a，使向量組 1(1,1, a)T，2(1,a,1)T，3(a,1,1)T 可由向量組1 (1,1,a)T， 2 ( 2,a,4)T，3 ( 2,a,a)T線性表示，但向量組1， 2，3不能由向量組1，2，3線性表示.(2005年數(shù)學(xué)二)例16:已知齊次線性方程組捲 2x2 3x30()2x-| 3x2 5x3 0x1 x2 ax30Xi bx2 CX3022x1 b x2 (c 1)x30同解，求a,b,c的值.1 1例17:設(shè)A 1104()求滿足A 21, A 3(U)

16、對(duì)()中的任意向量(2005年數(shù)學(xué)三)111 , 1 12 21的所有向量2，3；2, 3,證明1, 2,3線性無關(guān).(2009年數(shù)學(xué)一、二、三)例18：設(shè)有向量組1(1,0,1)T, 2(0,1,1)T, 3 (0,3,5)t不能由向量組1 (1,1,1)T, 2 (1,2,3)t, 3 (3,4,a)T線性表示.(I)求a的值；(U)將1 ,2 ,3用1 ,2 ,3線性表示.(2011年數(shù)學(xué)一、二、三)例19:設(shè)A ( 1, 2, 3, 4)四階矩陣，A*是A的伴隨矩陣.若(1,0,1,0)T是方程組AX O的基礎(chǔ)解系，則A* X O的基礎(chǔ)解系可為(A)1 , 3(B)1 , 2(C)1

17、,2 ,3(D)2 ,3,4(答案：(D )(2011年數(shù)學(xué)一、二)矩陣的特征值與特征向量例1:假定n階矩陣A的任意一行的n個(gè)元素之和都是a，試證 a是A的 特征值，且（1,1, ,1）'是A的屬于a的特征向量。當(dāng)a 0時(shí)，又問此時(shí)A 1的行和為多少？a 1 c例2:設(shè)矩陣A 5 b 3 ，又| A 1，又A*有一個(gè)特征值°，屬1 c 0 a于°的一個(gè)特征向量為（1, 1,1）T，求a,b,c, o的值.例3:設(shè)向量 1, ,an）T，（34,g）T都是非零向量，且滿足條件T0，AT，求（1）A2 ； （ 2）矩陣A的特征值與特征向量；（3）問A相似與對(duì)角矩陣嗎？例

18、4：設(shè)矩陣A與矩陣B相似，其中A2 0 0 1 0 02x2 ，B02031100 y（1）求x和y的值；（2）求可逆矩陣P，使得P 1AP B例5：0 0 1設(shè)A x 1 y有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，求x和y應(yīng)滿足的條件.1 0 0例6：1 2 1 2已知1是A5 a 3的一個(gè)特征向量，11 b2（1）試確疋參數(shù)a,b及特征向量 所對(duì)應(yīng)的特征值；（2）A相似與對(duì)角矩陣嗎？說明理由例7:已知16, 233是實(shí)對(duì)稱矩陣A的三個(gè)特征值，且對(duì)應(yīng)于233的特征向量為2( 1,0,1)T, 3(1, 2,1)t,求A對(duì)應(yīng)于16的特征向量及矩陣A.例8：若任一 n維非零列向量都是n階矩陣A的特征向量，證明

19、A是一個(gè)數(shù)量矩陣.例9：如果n階矩陣A滿足(A aE)(A bE) 0其中a b，證明A可以對(duì)角化.例10：設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為2,已知126是A的二重特征值，若1 (1,1,0)T, 2( 1,2, 3)T都是A的屬于特征值6的特征向量.(1)求A的另一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；(2)求矩陣A.例11：設(shè)矩陣3 22010A232，P101，B P1A*P，求B 2E的特征值與特征向223001量，其中A*為A的伴隨矩陣.例12：設(shè)1, 2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為1, 2，則1,A( 12)線性無關(guān)的充分必要條件是（A）10（B）20（ A）10（A）20(2005年

20、數(shù)學(xué)三)123例13：設(shè)矩陣A143的特征方程有一個(gè)二一重根，求a的值，并討1a5論A是否可以相似對(duì)角化.(2004年數(shù)學(xué)一)例14:設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值11, 22,32，且!(1, 1,1)T是A的屬于1的一個(gè)特征向量記B A 4A3 E,其中E為三階單位矩陣.(I)驗(yàn)證1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量(U)求矩陣B. (2007年數(shù)學(xué)一、二、三、四)例15:設(shè)A為3階矩陣,1, 2為A的分別屬于特征值 1,1特征向量，向量3 滿足A 323 .(I)證明1, 2, 3線性無關(guān)(U)令 P ( 1, 2, 3),求 P 1AP. (2008 年數(shù)學(xué)二、三)例16:設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的秩為2,且1 1 1 1A 0 00