數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)比較各種迭代收斂速度

1、 數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)比較各種迭代收斂速度分別用雅可比迭代法(J)、高斯塞德?tīng)柕?G-S)、超松弛迭代法(SOR)計(jì)算方程組 =并比較哪一種迭代方法收斂的速度更快方程真實(shí)值計(jì)算：A=4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4;b=10 8 10'jX=Ab得到結(jié)果：3.4286 3.7143 3.4286雅可比迭代：首先編寫jacdd.m的函數(shù)文件（見(jiàn)附錄一）調(diào)用程序，在命令窗口分別輸入如下語(yǔ)句:A=4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4;b=10;8;10;X0=0 0 0' X=jacdd(A,b,X0,inf,0.00001,100)結(jié)果見(jiàn)表一高斯塞德?tīng)柕菏紫染帉?/p>

2、gsdddy.m的函數(shù)文件（見(jiàn)附錄二）調(diào)用程序，在命令窗口分別輸入如下語(yǔ)句:A=4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4;b=10;8;10;X0=0 0 0'X=gsdddy(A,b,X0,inf, 0.00001,100)結(jié)果見(jiàn)表一雅可比迭代誤差計(jì)算：x0=3.4286 3.7143 3.4286;%此為方程組的真實(shí)值x1=2.5000 3.0000 3.3125 3.3750 3.4141 3.4219 3.4268 3.4277 3.4283 3.4285 3.4285 3.4286;x2=2.0000 3.2500 3.5000 3.6563 3.6875 3.7070 3

3、.7109 3.7134 3.7139 3.7142 3.7142 3.7143;x3=2.5000 3.0000 3.3125 3.3750 3.4141 3.4219 3.4268 3.4277 3.4283 3.4285 3.4285 3.4286;format long%循環(huán)求二范數(shù)的平方for i=1:12 t(i)=(x1(i)-3.4286)2+(x2(i)-3.7143)2+(x3(i)-3.4286)2; sqrt(t(i)end結(jié)果見(jiàn)表一高斯塞德?tīng)柕`差計(jì)算：x0=3.4286 3.7143 3.4286; %此為方程組的真實(shí)值x1=2.5000 3.1563 3.394

4、5 3.4243 3.4280 3.4285 3.4286;x2=2.6250 3.5781 3.6973 3.7122 3.7140 3.7143 3.7143;x3=3.1563 3.3945 3.4243 3.4280 3.4285 3.4286 3.4286;format long%循環(huán)求二范數(shù)的平方for i=1:6 s(i)=(x1(i)-3.4286)2+(x2(i)-3.7143)2+(x3(i)-3.4286)2; sqrt(s(i)end結(jié)果見(jiàn)表一表一雅可比迭代高斯塞德?tīng)柕螖?shù)X1X2X3誤差次數(shù)X1X2X3誤差12.50002.00002.50002.159495412

5、.50002.62503.15631.457058623.00003.25003.00000.763525023.15633.57813.39450.306366733.31253.50003.31250.269968333.39453.69733.42430.038344543.37503.65633.37500.095445943.42433.71223.42800.004822953.41413.68753.41410.033745253.42803.71403.42850.000678263.42193.70703.42190.011961263.42853.71433.42860.0

6、00099973.42683.71093.42680.004247473.42863.71433.4286083.42773.71343.42770.0015588893.42833.71393.42830.00058319103.42853.71423.42850.000173210113.42853.71423.42850.000173211123.42863.71433.4286012注：MATLAB計(jì)算的誤差為16位有效數(shù)字，由于表的位置有限，這里只取8位有效數(shù)字畫圖比較：畫圖函數(shù)：k=1:12;x=2.1594954 0.7635250 0.2699683 0.0954459 0.0

7、337452 0.0119612 0.0042474 0.0015588 0.0005831 0.0001732 0.0001732 0; %J的迭代誤差plot(k,x,'b')hold ony=1.4570586 0.3063667 0.0383445 0.0048229 0.0006782 0.0000999 0 0 0 0 0 0; %G-S的迭代誤差plot(k,y,'-.')legend('J迭代','G-S迭代') %畫出圖形,標(biāo)明各曲線的含義title('誤差圖'); %加上標(biāo)題text(k(1),

8、x(1),'start') %注明起始和終止點(diǎn)text(k(11),x(11),'end')xlabel('K 迭代次數(shù)'); %標(biāo)注橫,縱坐標(biāo)ylabel('誤差');grid on%畫出網(wǎng)格結(jié)論：從數(shù)據(jù)圖表可觀察到：雅可比的迭代次數(shù)明顯比高斯塞德?tīng)柕牡螖?shù)要多,所以高斯塞德?tīng)柋妊趴杀鹊氖諗克俣瓤?G-S迭代與J迭代在本質(zhì)上沒(méi)有必然的聯(lián)系，求解方程組時(shí)，J迭代的速度與G-S迭代收斂的速度沒(méi)有確定的關(guān)系，但在此題中，J迭代比G-S迭代的收斂速度慢。超松弛迭代法最佳松弛因子選取編寫文件名為sor.m的M文件(見(jiàn)附錄三)得到結(jié)果

9、如下表(全部結(jié)果的部分，包含最少迭代次數(shù)的松弛因子)：D = 2.585786437626905 4.000000000000000max =x0 = 3.428571428571428 3.428571428571428松弛因子迭代次數(shù)松弛因子迭代次數(shù)松弛因子迭代次數(shù)0.1000450.2500130.3000240.1500280.2550130.3200370.2000190.2600130.340066x2 =ans = 0.255000000000000 13.000000000000000結(jié)論：最佳松弛因子=0.2550，使得迭代次數(shù)最少且結(jié)果最接近真實(shí)值。附錄一：function

10、 X=jacdd(A,b,X0,P,wucha,max1)n m=size(A); for j=1:ma(j)=sum(abs(A(:,j)-2*(abs(A(j,j);endfor i=1:nif a(i)>=0disp('系數(shù)矩陣A不是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，此雅可比迭代不一定收斂')returnendendif a(i)<0disp('系數(shù)矩陣A不是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，方程有唯一解，且雅可比迭代收斂')endfor k=1:max1k for j=1:mX(j)=(b(j)-A(j,1:j-1,j+1:m)*X0(1: j-1,j+1:m)/A(j,j);en

11、dX,djwcX=norm(X'-X0,P); xdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps); X0=X'X1=Ab;if (djwcX<wucha)&(xdwcX<wucha) disp('雅可比迭代收斂，方程組的精確解jX和近似解如下')returnendend if (djwcX>wucha)&(xdwcX>wucha)disp('雅可比迭代次數(shù)已經(jīng)超過(guò)最大迭代次數(shù)max1')enda,X=X;jX=X1',附錄二function X=gsdddy(A,b,X0,P,wuc

12、ha,max1)D=diag(diag(A);U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1); dD=det(D);if dD=0disp('因?yàn)閷?duì)角矩陣D奇異，此方程組無(wú)解')elsedisp('因?yàn)閷?duì)角矩陣D非奇異，此方程組有解')iD=inv(D-L); B2=iD*U;f2=iD*b;jX=Ab; X=X0; n m=size(A);for k=1:max1X1= B2*X+f2; djwcX=norm(X1-X,P);xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps);if (djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)

13、return else k,X1',k=k+1;X=X1;endendif (djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha) disp('G-S迭代收斂，此A的分解矩陣D,U,L和方程組的精確解jX和近似解X如下') elsedisp('G-S迭代的結(jié)果沒(méi)有達(dá)到給定的精度，并且迭代次數(shù)已經(jīng)超過(guò)最大迭代次數(shù)max1，方程組的精確解jX和近似解X如下')X=X'jX=jX'endendX=X'D,U,L,jX=jX'附錄三A=4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4;D=eig(A) %求矩陣的特征值max=D(1,1); %通過(guò)循環(huán)求出最大特征值for i=2:3 if D(i,1)>=max max=D(i,1); end end max %矩陣A的最大特征值b=10;8;10;x0=inv(A)*b %求方程組的精確解%通過(guò)松弛因子的不同選取及Richardson迭代求解%并依據(jù)迭代次數(shù)的不同選出最佳松弛因子for w=0.1:0.00