2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)案例1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用教學(xué)案新人教A版

1、1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用核心必知一自波強(qiáng)村找關(guān)賽問同思考辨桁U題課前反思埔定目標(biāo)穩(wěn)啟程核心必知1.預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P2P8的內(nèi)容，回答下列問題.(1)在數(shù)學(xué)(必修3中，我們利用回歸分析的方法對(duì)兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量進(jìn)行了研究，其步驟是什么？所求出的線性回歸方程是什么？提示：步驟為：畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖，求回歸直線方程，并用回.歸直線方程進(jìn)行預(yù)AAA報(bào).線性回歸方程為y=bx+a.(2)所有的兩個(gè)相關(guān)變量都可以求回歸方程嗎？提示：不一定.2.歸納總結(jié)，核心必記(1)回歸分析回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.(2)回歸直線方程AA

2、A方程y=bx+a是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(X1,y。，(X2,y?),，(xn,AAyn)的回歸方程，其中a,b是待定參數(shù)，其最小二乘估計(jì)分別為：nXixyiyi=1Ab=n一2xixi=1nxiyinxyi=1n22xinxi=1一一1n-1n，其中x=nxi,y=nyi,(x,y)稱為樣本點(diǎn)的中心.(3)線性回歸模型線性回歸模型用y=bx+a+e來(lái)表示，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差.(4)刻畫回歸效果的方式殘差人把隨機(jī)誤差的估計(jì)值e稱為相應(yīng)于點(diǎn)(x,yi)的殘差殘差圖作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào),或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差

3、圖殘差圖法殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越宣明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高殘差平方和nAo殘差平方和為(yy)2,殘差平方和越小，模型擬合效果越好i=1相關(guān)指數(shù)R2nA2yyii=1R2=1-,R表示解釋艾量對(duì)十預(yù)報(bào)艾量艾化的貢獻(xiàn)率,Rn一2yi-yi=1越接近于1,表示回歸的效果越好問題思考(1)通過教材P2中的例1計(jì)算出的回歸方程y=0.849x85.712可以預(yù)報(bào)身高為172cm的女大學(xué)生的體重為60.3.16kg.請(qǐng)問，身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？為什么？提示：不一定.從散點(diǎn)圖可以看出，樣本點(diǎn)

4、散布在一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a表示.(2)下列說(shuō)法正確的有哪些？在線性回歸模型中，e是bx+a預(yù)報(bào)真實(shí)值y的隨機(jī)誤差，它是一個(gè)可觀測(cè)的量；殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好；用R2來(lái)刻畫回歸效果，R2越小，擬合的效果越好；在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.提示：e是一個(gè)不可觀測(cè)的量，故不正確；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差，故不正確；是正確的.課前反思(1)回歸分析的定義是什么？如何求回歸直線方程?(2)線性回歸模型是什么?(3)

5、殘差、殘差圖的定義是什么？如何作殘差圖?(4)殘差平方和和相關(guān)指數(shù)R2的定義是什么？它們與回歸效果有什么關(guān)系?知識(shí)突破 -I重點(diǎn)陸胃步步探究植根基能力密升I被高如設(shè)深化提能奪高分知識(shí)點(diǎn)1線性回歸分析K重點(diǎn)如蛆講遺練會(huì)】I思考求線性回歸方程的步驟是什么？名師指津：(1)列表表示Xi,yi,Xiy,xnn(2)計(jì)算x,y,x2,Xiyi；(3)代入公式計(jì)算a,b的值；(4)寫出線性回歸方程.講一講百萬(wàn)元)之間有如1.(鏈接教材B例1)某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出x與銷售額y(單位:下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：XI白力兀24568y/白力兀3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求線性回歸方程；(3)試預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用

6、支出為10百萬(wàn)元時(shí)的銷售額.嘗試解答(1)散點(diǎn)圖如圖所示:7(6050如3020所以)x = -= 5, y =r= 505510i12345合計(jì)xi2456825yi3040605070250xiyi6016030030056013802xi416253664145(2)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算:5X2=145,i=15Xiyi=1380.i=15_Xiyi5xyi=1A于是可得b=522Xi5xi=113805X5X50=-145-5X52=6.5'A-A-_a=ybx=506.5X5=17.5.A所以所求的線性回歸方程為y=6.5x+17.5.(3)根據(jù)(2)中求得的

7、線性回歸方程，當(dāng)廣告費(fèi)用支出為10百萬(wàn)元時(shí),Ay=6.5X10+17.5=82.5(百萬(wàn)兀),即廣告費(fèi)用支出為10百萬(wàn)元時(shí)，銷售額大約為82.5百萬(wàn)元.真題通法(1)求線性回歸方程前必須判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，如果兩個(gè)變量本身不具備相關(guān)關(guān)系，或者它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，那么即使求出回歸方程也是毫無(wú)意義的.AAA(2)寫出回歸直線方程y=bx+a,并用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)說(shuō)明：當(dāng)x取x。時(shí)，由線性回歸方程可得y0的值，從而可進(jìn)行相應(yīng)的判斷.練一練1.某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤?學(xué)生學(xué)科成績(jī)ABCDE數(shù)學(xué)成績(jī)(x)8876736663物理成績(jī)(y)7865716461(1)畫出散點(diǎn)圖；

8、(2)求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的回歸直線方程；(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是96,試預(yù)測(cè)他的物理成績(jī).解：(1)如圖所示.90Ht).70- 60''"510dd-%il5560657075HQ8590Jt(2)因?yàn)?quot;x-=-X(88+76+73+66+63)=73.2,5y=1X(78+65+71+64+61)=67.8,5Xiyi=88X78+76X65+73X71+66X64+63X61i=1=25054,522_2_222_Xi=88+76+73+66+63=27174.i=15_Xi yi 5 x yi = 1八所以b=522Xi 5 xi =125

9、054 5X73.2 X67.8 _ Z 227 174 5X73.20.625,a=ybx=67.80.625X73.2=22.05.故y對(duì)x的回歸直線方程是y=0.625x+22.05.(3) x=96,貝Uy=0.625X96+22.05=82,即可以預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)是82.殘差分析4K重點(diǎn)知識(shí)靜達(dá)練會(huì)91思考如何用殘差圖、殘差平方和、相關(guān)指數(shù)R2分析擬合效果?名師指津：殘差圖的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高；殘差平方和越小，模型擬合效果越好；R2越接近于1,模型擬合效果越好.講一講2.假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下:x15.025.830.

10、036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對(duì)于基本苗數(shù)56.7預(yù)報(bào)有效穗;(3)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；(4)求R,并說(shuō)明殘差變量對(duì)有效穗的影響占百分之幾?嘗試解答(1)散點(diǎn)圖如下.(2)由(1)中散點(diǎn)圖看出，樣本點(diǎn)大致分布在一條直線的附近,有比較好的線性相關(guān)關(guān)系,因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系.設(shè)回歸方程為 y= bx+ a. x =30.36 , y =43.5,52x2 = 5 101.56i =152,y2=9 511.43.2x y = 1 320.66 , x 2=92

11、1.729 6 ,xi yi = 6 746.76.i =15xiyi 5 xi = 1A則6=52 C - 2xi 5 x= 0.29 , a= y -b x =34.70.i =1故所求的回歸直線方程為y=0.2,9x+34.70.A當(dāng)x=56.7時(shí)，y=0.29X56.7+34.70=51.143.估計(jì)成熟期有效穗為51.143.由于y= bxi + a,可以算得e=yiyi分別為e1=0.35,&=0.718,8=一0.5,e4=-2.214,85=1.624,殘差平方和：22=8.43.i=1(4) (yi-7)2=50.18,i=14一8.43故R2=1500.832.所以

12、解釋變量小麥基本苗數(shù)對(duì)總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了83.2%,殘差變量貢獻(xiàn)了約183.2%=16.8%.夾里選柒(1)利用殘差分析研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)，然后通過殘差61,82,，8n來(lái)判斷模型擬合的效果.(2)若殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型擬合度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精確度越高.練一練(5) 運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與運(yùn)動(dòng)成績(jī)之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下:次數(shù)(x)3033353739444650成績(jī)(y)3034373942464851(1)作出散點(diǎn)圖；(2)求出線性回歸方程；作出殘差圖，并說(shuō)明模型的擬合效果；計(jì)算F2,并

13、說(shuō)明其含義.解：(1)作出該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績(jī)y之間的散點(diǎn)圖，如圖所示，由散點(diǎn)圖可知,它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系.60504030*20101J1L0204060182(2)x=39.25,y=40.875,Xi=12656,882yi=13731,Xiyi=13180,Xi xi = 1A b=yi y8公Xiyi 8 x yi = 1 1.0412xi - xi = 18x2-8"x2i = 15,a=ybx0.003875,，線性回歸方程為y=1.0415x-0.003875.(3)殘差分析計(jì)算得產(chǎn)一1.24,e2=0.366,e3=0.551,e4=0.468,es1.38

14、5,e6=0.178,e7=0.095,e8=1.071.作殘差圖如圖所示，由圖可知,說(shuō)明選用的模型比較合適.殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中,(4)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2計(jì)算相關(guān)指數(shù)4=0.9855,說(shuō)明了該運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的.知識(shí)點(diǎn)3非線性回歸分析I【拔高知識(shí)“拓寬提能】I講一講3.(鏈接教材R-例2)某地區(qū)六年來(lái)輕工業(yè)產(chǎn)品利潤(rùn)總額y與年次x的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示:年次x123456利潤(rùn)總額y11.3511.8512.4413.0713.5914.41由經(jīng)驗(yàn)知，年次x與利潤(rùn)總額y(單位：億元)近似有如下關(guān)系:y=aba.其中a,b均為正數(shù)，求y關(guān)于x的回歸方程.思

15、路點(diǎn)撥解答此題可根據(jù)散點(diǎn)圖選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)，而本題已經(jīng)給出，只需將其轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，利用最小二乘法求得回歸直線方程，再將其還原為非線性回歸方程即可.嘗試解答對(duì)y=abxe0兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lny=lnaeo+xlnb,令z=lny,則z與x的數(shù)據(jù)如下表:x123456z2.432.472.522.572.612.67由z=lnaeo+xlnb及最小二乘法公式，得lnb0.0477,lnae0=2.378,即z=2.378+0.0477x,故y=10.8X1.05x.賽題,通.法非線性回歸問題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式.這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)(哥函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)

16、函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決.其般步驟為：練一練3.某電容器充電后，電壓達(dá)到100V,然后開始放電，由經(jīng)驗(yàn)知道，此后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公式U=Aebt(b<0)表示，現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055試求：電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程(提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題).解：對(duì)U=Aebt兩邊取對(duì)數(shù)得lnUlnA+bt,令y=lnU,a=InA,x=t,則y=a+bx,y與x的數(shù)據(jù)如下

17、表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示，從圖中可以看出，y與x具有較好的線性相關(guān)關(guān)系,由表中數(shù)據(jù)求得x-=5,"y=3.045,由公式計(jì)算得b=0.313,a=y-bx=4.61,所以y對(duì)x的線性回歸方程為y=-0.313x+4.61.所以InU0.313t+4.61,gpU一0.313t+4.610.313t4.61.因此電壓0U對(duì)時(shí)間t的回歸方程為0.313t4.61 e課堂歸納感悟提升1,本節(jié)課的重點(diǎn)是線性回歸方程的求法及線性回歸分析，難點(diǎn)是殘差分析和非線性回歸分析問題.2.本節(jié)課要重點(diǎn)

18、掌握的規(guī)律方法(1)線性回歸分析，見講1;(2)殘差分析，見講2;(3)非線性回歸分析，見講3.一3I學(xué)業(yè)水平小測(cè).讓學(xué)一越打蚊訊化新中，耽境德度工抹準(zhǔn)度能力練I評(píng)下靛力提開.據(jù)審提他.等里一檢刷，合步為甯步步出課下能力提升（一）學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1線性回歸分析1.關(guān)于回歸分析，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.在回歸分析中，變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系，那么因變量不能由自變量唯一確士7EB.線性相關(guān)系數(shù)可以是正的也可以是負(fù)的C.在回歸分析中，如果2=1或r=±1,說(shuō)明x與y之間完全線性相關(guān)D.樣本相關(guān)系數(shù)rC（1,1）解析：選D樣本的相關(guān)系數(shù)應(yīng)滿足1wr<1.2 .為了研究變量x和y的

19、線性相關(guān)性，甲、乙兩人分別利用線性回歸方法得到回歸直線11和12,已知兩人計(jì)算過程中9分別相同，則下列說(shuō)法正確的是（）A. |1與|2一定平行B. l1與l2重合C. l1與12相交于點(diǎn)（x,y）D.無(wú)法判斷l(xiāng)1和12是否相交解析：選C回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心（x,y）,故C正確.3 .若某地財(cái)政收入x與支出y滿足回3方程y=bx+a+e（單位：億元）（i=1,2,），其中b=0.8,2=2,|ei|<0.5，如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元，年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過（）A.10億元B.9億元C.10.5億元D.9.5億元一一一人解析：選Cy=0.8X10+2+e=10+ei,-.1|ei|&

20、lt;0.5,.9.5<y<10.5.4 .甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x,y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型,計(jì)算可得它們的相關(guān)指數(shù)R2分別如下表:甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？（）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：選A相關(guān)指數(shù)R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好.5 .某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568（1）求回歸直線方程y=bx+a,其中b=20,a=ybx；（2）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單

21、價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（利潤(rùn)=銷售收入-成本）解：(1)由于x=-(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,一1y=6(90+84+83+80+75+68)=80.所以a=ybx=80+20X8.5=250,從而回歸直線方程為y=-20x+250.（2）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得L=x（20x+250）-4（-20x+250）2=-20x+330x1000=-20x-332+361.25.4當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時(shí)，L取得最大值.故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn).題組2殘差分析6 .關(guān)于殘差

22、圖的描述錯(cuò)誤的是（）A.殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào)B.殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或預(yù)報(bào)變量C.殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小D.殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小解析：選C殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，則殘差平方和越小，此時(shí)，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，故描述錯(cuò)誤的是選項(xiàng)C.7 .對(duì)變量x,y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是（）N幅口,血北殘解析：選A用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說(shuō)明這樣的模型比較合適.帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高.8 .在回歸分析

23、中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和（）A.越大B.越小C.可能大也可能小D.以上均錯(cuò)nA2yi-yii=1解析：選B因?yàn)镽2=1-,n-2yiy1 =1n所以當(dāng)R2越大時(shí)，（yi-yi）2越小,i=1即殘差平方和越小.9.通過下面的殘差圖，我們發(fā)現(xiàn)在采集樣本點(diǎn)的過程中，樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確的為（）1ft5-|ll_i；-46B10調(diào)號(hào)-101°_；15A.第四個(gè)B.第五個(gè)C.第六個(gè)Dr.第七個(gè)解析：選C由題圖可知第六個(gè)數(shù)據(jù)的偏差最大，故選C.10.在一段時(shí)間內(nèi)，某淘寶網(wǎng)店一種商品的銷售價(jià)格x元和日銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：價(jià)格x元2220181614日銷售量y件374143505

24、6求出y關(guān)于x的回歸方程，并說(shuō)明該方程擬合效果的好壞.參考數(shù)據(jù)：xyi=3992,x2=1660.i=1i=1解：作出散點(diǎn)圖（此處略），觀察散點(diǎn)圖，可知這些點(diǎn)散布在一條直線的附近，故可用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù).因?yàn)閤 =22 + 20+18+ 16 + 14= 18,37 + 41 +43+50+56= 45.4.A39925X18X45.4所以b=1660-5X182=2.35-，a=45.4(2.35)X18=87.7.所以回歸方程為y=-2.35x+87.7.yiyi與yiy的值如下表:Ayiyi10.3一2.4-0.11.2y-y一8.4一4.4一2.44.610.65計(jì)算得(yi-y

25、i)2=8.3,i=152(yi-y)=229.2,i=1所以R2=1-2832-0.964.NN9.N因?yàn)?.964很接近于1,所以該模型的擬合效果比較好.能力提升綜合練1.如圖所示是四個(gè)殘差圖，其中回歸模型的擬合效果最好的是解析：選B選項(xiàng)A與B中的殘差圖都是水平帶狀分布，并且選項(xiàng)B的殘差圖散點(diǎn)分布集中，在更狹窄的范圍內(nèi)，所以B中回歸模型的擬合效果最好，選B.2.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元）4235銷售額y（力兀）49263954根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a中的b為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為（）A.63.6萬(wàn)元B.65.5萬(wàn)元C.67.7萬(wàn)元D.72.0萬(wàn)元解析：選B樣本點(diǎn)的中心是（3.5,42）則2=丫一bx=42-9.4X3.5=9.1,所以回歸直線方程是y=9.4x+9.1,