數(shù)學(xué)選修1-2課標(biāo)解讀_第1頁
數(shù)學(xué)選修1-2課標(biāo)解讀_第2頁
數(shù)學(xué)選修1-2課標(biāo)解讀_第3頁
數(shù)學(xué)選修1-2課標(biāo)解讀_第4頁
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文檔簡介

1、數(shù)學(xué)選修12課標(biāo)解讀2.1統(tǒng)計(jì)案例1.知識(shí)內(nèi)容的整體定位本部分內(nèi)容是學(xué)生在初中階段和高中數(shù)學(xué)必修課程已學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上,通過對典型案例的討論,了解和使用一些常用的統(tǒng)計(jì)方法,進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題,認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用。本部分內(nèi)容的課程標(biāo)準(zhǔn)要求都是了解,因此教學(xué)中要注意難度的把握,宜采用案例教學(xué)的方式。本部分的內(nèi)容公式多,但重點(diǎn)應(yīng)放在通過統(tǒng)計(jì)案例,讓學(xué)生了解回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用,對于其理論基礎(chǔ)不做要求,避免學(xué)生單純記憶和機(jī)械套用公式。教學(xué)中,應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程,培養(yǎng)他們對數(shù)據(jù)的直觀感覺,認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)(如統(tǒng)計(jì)推斷可能犯錯(cuò)誤,估計(jì)結(jié)果的隨機(jī)性)

2、,體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用的廣泛性。應(yīng)盡量給學(xué)生提供一定的實(shí)踐活動(dòng)機(jī)會(huì),可結(jié)合數(shù)學(xué)建模的活動(dòng),選擇一個(gè)案例,要求學(xué)生親自實(shí)踐。教學(xué)中,應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代技術(shù)手段來處理數(shù)據(jù),有條件的學(xué)校還可運(yùn)用一些常見的統(tǒng)計(jì)軟件解決實(shí)際問題。在統(tǒng)計(jì)案例中,還應(yīng)介紹所學(xué)統(tǒng)計(jì)方法在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用,以豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)文化價(jià)值的認(rèn)識(shí)。2.課程標(biāo)準(zhǔn)的要求北京市的要求:通過典型案例,學(xué)習(xí)下列一些常見的統(tǒng)計(jì)方法,并能初步應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問題。(1)通過對典型案例 (如“肺癌與吸煙有關(guān)嗎” 等)的探究,了解獨(dú)立性檢驗(yàn) (只要求2×2列聯(lián)表) 的基本思想、方法及初步應(yīng)用。(2)通過對典型案例(如“人

3、的體重與身高的關(guān)系”等)的探究,了解回歸的基本思想、方法及其初步應(yīng)用。課標(biāo)的要求:通過典型案例,學(xué)習(xí)下列一些常見的統(tǒng)計(jì)方法,并能初步應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問題。(1)通過對典型案例 (如“肺癌與吸煙有關(guān)嗎” 等)的探究,了解獨(dú)立性檢驗(yàn) (只要求2×2列聯(lián)表) 的基本思想、方法及初步應(yīng)用。(2)通過對典型案例 (如“質(zhì)量控制” “新藥是否有效”)的探究,了解實(shí)際推斷原理和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想、方法及初步應(yīng)用。(3)通過對典型案例(如“昆蟲分類”等)的探究,了解聚類分析的基本思想、方法及其初步應(yīng)用。(4)通過對典型案例(如“人的體重與身高的關(guān)系”等)的探究,進(jìn)一步了解回歸的基本思想、方法

4、及其初步應(yīng)用。注意兩種要求的區(qū)別3.課程標(biāo)準(zhǔn)要求的具體化和深廣度分析(1)通過對典型案例 (如“肺癌與吸煙有關(guān)嗎?” 等)的探究,了解獨(dú)立性檢驗(yàn) (只要求2×2列聯(lián)表) 的基本思想、方法及初步應(yīng)用的意義。通過典型案例“肺癌與吸煙有關(guān)”的探究1)認(rèn)識(shí)分類變量。通過案例學(xué)習(xí),認(rèn)識(shí)性別、商品、吸煙、肺癌等都是分類變量。性別變量取男、女兩個(gè)值,吸煙變量可取吸煙、不吸煙兩個(gè)值,商品可以取一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)等。2)根據(jù)問題會(huì)列獨(dú)立分類變量(只要求)的列表。3)根據(jù)列聯(lián)表,會(huì)用三維柱形圖或二維條形圖粗略判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系。4)會(huì)根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計(jì)算的觀測值,并根據(jù)觀測值查表確定在多大程度上可以

5、認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系。5)理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想:要確認(rèn)“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”成立的可信程度,首先假設(shè)該結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立。在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量應(yīng)該很小,如果由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的的觀測值很大,則在一定程度上說明假設(shè)不合理,根據(jù)隨機(jī)變量的含義,可以通過概率的值查表評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度。6)能用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法解決一些實(shí)際問題。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。課標(biāo)明確規(guī)定“只要求”學(xué)生學(xué)習(xí)、了解列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用。實(shí)際解決問題時(shí),可以用三維柱形圖或二維條形圖進(jìn)行粗略判斷。用三維柱形圖,

6、如果底面主對角線上兩個(gè)柱體高度的乘積與副對角線上兩個(gè)柱體高度的乘積不等,那么可以在某種程度上認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)。但是,只憑列聯(lián)表的數(shù)據(jù)和圖形下結(jié)論不夠確切,原因是列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù),它只是總體的代表,具有隨機(jī)性。用列聯(lián)表檢驗(yàn)的方法確定的結(jié)論,更能夠確切判斷在多大程度上適用于整體。運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法解決實(shí)際問題得出的結(jié)論往往是有條件的,不能不顧條件,擴(kuò)大適用范圍。(2)通過對典型案例(如“人的體重與身高的關(guān)系”等)的探究,了解回歸的基本思想、方法及其初步應(yīng)用的意義。1)能夠根據(jù)問題給出的數(shù)據(jù)確定解釋變量和預(yù)報(bào)變量。2)能根據(jù)問題給出的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖,并能根據(jù)散點(diǎn)圖判斷解釋變量

7、和預(yù)報(bào)變量線性相關(guān)還是非線性相關(guān)。3)根據(jù)散點(diǎn)分布情況,會(huì)確定回歸模型的類型。如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一條直線狀帶形區(qū)域,可以選用線性回歸模型來建模;如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個(gè)曲線狀帶形區(qū)域,要對變量做適當(dāng)?shù)淖儞Q,再選用線性回歸模型來建模。4)能夠由問題給出的數(shù)據(jù)或問題轉(zhuǎn)化得到的數(shù)據(jù)求出回歸方程。5)會(huì)對模型擬合效果作殘差分析,會(huì)分析不同模型擬合效果。6)會(huì)用回歸的基本思想、方法解決一些實(shí)際問題。應(yīng)用回歸模型解決實(shí)際問題進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)應(yīng)注意模型的適用范圍。這一點(diǎn)是十分重要的,否則可能會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的錯(cuò)誤,或是十分可笑的結(jié)果。具體說應(yīng)該注意以下四個(gè)方面:樣本數(shù)據(jù)是來自哪個(gè)總體的,預(yù)報(bào)時(shí)也僅適合這個(gè)總體。模

8、型的時(shí)效性,利用不同時(shí)間段的樣本數(shù)據(jù)建立的模型,只能用來對那個(gè)時(shí)間范圍的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。建立模型時(shí)自變量的取值范圍決定了預(yù)報(bào)時(shí)模型的適用范圍,通常不能超出太多。在回歸模型中,因變量的值不能由自變量的值完全確定。4.教學(xué)要求統(tǒng)計(jì)案例是新增內(nèi)容,課標(biāo)只要求通過對典型案例的探究,“了解”幾種統(tǒng)計(jì)方法的基本思想、方法及初步應(yīng)用。我們知道,了解是“對知識(shí)的含義有感性、初步的認(rèn)識(shí),能夠說出這一知識(shí)是什么,能夠(或會(huì))在有關(guān)的問題中識(shí)別它?!币虼?,統(tǒng)計(jì)案例的教學(xué)應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)。(1)以典型案例為教學(xué)載體,通過對案例的探究,認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的基本思想、方法,避免為講思想、方法把案例當(dāng)思想、方法的例題。就是說通過案

9、例提出問題,研究案例尋求解決問題的方法,在探究案例問題的過程中體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的基本思想與方法,而不是先講一種統(tǒng)計(jì)的思想、方法,然后把案例作為應(yīng)用的例題。(2)在過程中體會(huì)思想、方法。研究統(tǒng)計(jì)案例,不是為了記住案例或案例的結(jié)論。研究案例的目的,就是使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程,培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)據(jù)的直觀感覺,認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn),體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用的廣泛性以及對決策的作用;在分析探究案例的過程中體會(huì)、感悟案例所使用的統(tǒng)計(jì)的思想、方法,注意的問題。因此,統(tǒng)計(jì)案例的教學(xué)要展現(xiàn)解決問題的全過程,要讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到案例探究的全過程,在過程中體會(huì)思想、方法。(3)在實(shí)踐活動(dòng)中或解決實(shí)際問題的過程中體會(huì)幾種統(tǒng)計(jì)方法的

10、基本思想、方法、初步應(yīng)用。案例介紹的統(tǒng)計(jì)方法,學(xué)生容易理解掌握,但案例設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)方法的基本思想、思想方法,學(xué)生不易理解。因此,在教學(xué)中,給學(xué)生提供一定的實(shí)踐活動(dòng)的機(jī)會(huì),結(jié)合數(shù)學(xué)建?;顒?dòng),選擇幾個(gè)案例,要求學(xué)生親自實(shí)踐,在實(shí)踐活動(dòng)過程中體會(huì)、感悟統(tǒng)計(jì)方法的基本思想、方法、初步應(yīng)用效果會(huì)更好。(4)對于統(tǒng)計(jì)案例內(nèi)容,只要求學(xué)生了解幾種統(tǒng)計(jì)方法的基本思想基礎(chǔ)及應(yīng)用,對于其理論不作要求,避免學(xué)生單純記憶和機(jī)械套用公式進(jìn)行計(jì)算。同時(shí),教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代技術(shù)手段來處理數(shù)據(jù),有條件的學(xué)??蛇\(yùn)用一些常見的統(tǒng)計(jì)軟件解決實(shí)際問題。5.重、難點(diǎn)分析重點(diǎn):建立回歸方程的思想和方法,獨(dú)立性檢驗(yàn)的基

11、本思想。難點(diǎn):對于回歸方程的理解,獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想。重、難點(diǎn)分析:(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法獨(dú)立性檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。要用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題,就必須對獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法有較深刻的認(rèn)識(shí)。因此,獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法是案例探究的重點(diǎn)內(nèi)容。獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟相對固定,但獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想,即獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對學(xué)生來說比較難理解,是教學(xué)的難點(diǎn)。獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想來自于統(tǒng)計(jì)上的假設(shè)檢驗(yàn)思想,它與反證法類似。假設(shè)檢驗(yàn)和反證法都是先假設(shè)結(jié)論不成立,然后根據(jù)是否推出“矛盾”來判斷結(jié)論是否成立。但二者“矛盾”的含義不同,反證法中的“矛盾”是

12、指不符合邏輯的事實(shí)發(fā)生;而假設(shè)檢驗(yàn)中的“矛盾”是指不符合邏輯的小概率事件的發(fā)生,即在結(jié)論不成立的假設(shè)下推出有利于結(jié)論成立的小概率事件的發(fā)生。小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中通常是不會(huì)發(fā)生的,若在實(shí)際中這個(gè)事件發(fā)生了,說明保證這個(gè)事件為小概率事件的條件有問題,即結(jié)論應(yīng)該在很大程度上成立。獨(dú)立性檢驗(yàn)的這一基本思想離開具體案例是比較難理解的。(2)判斷刻畫模型擬合效果的方法在數(shù)學(xué)必修3的統(tǒng)計(jì)中,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系,包括畫散點(diǎn)圖,求回歸直線方程、利用所求回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)等內(nèi)容。預(yù)報(bào)結(jié)果的含義是什么,如何提高預(yù)報(bào)結(jié)果的精度,服務(wù)于我們的決策,這就是回歸分析要做的事情。搞清預(yù)報(bào)結(jié)果的含義就要搞

13、清殘差變量的含義;模型擬合效果越好,相應(yīng)的分析預(yù)報(bào)結(jié)果的精度就越高。所以判斷刻畫模型擬合效果的方法是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。22推理與證明1.知識(shí)內(nèi)容的整體定位“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程,也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理與演繹推理。合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理)、試驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果,以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程,歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中,合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用,有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等),按照嚴(yán)格的邏輯法則得到

14、新的結(jié)論的推理過程,培養(yǎng)和提高學(xué)生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。合情推理和演繹推理之間了解緊密、相輔相成。證明包括邏輯證明和試驗(yàn)、實(shí)踐證明,數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯證明來保證,即在前提正確的基礎(chǔ)上,通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。在本模塊中,學(xué)生將通過對已學(xué)過知識(shí)的回顧,進(jìn)一步體會(huì)合情推理、演繹推理以及二者之間的了解與差異;體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn),了解數(shù)學(xué)證明的基本方法,包括直接證明的方法(如分析法、綜合法)和間接證明的方法(如反證法);感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用,養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。為了更好地理解整體定位,需要明確以下幾個(gè)方面的問題:(1)歸納推理歸

15、納推理是針對一類事物而言的,如圖(1)所示:A和B具有的共同的特性是否可以推廣到整個(gè)S?這就是一個(gè)從局部到整體的過程。例如,1)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,由一部分?jǐn)?shù)據(jù)的特征數(shù),推測出總體數(shù)據(jù)的特征數(shù)。2)解線性方程組時(shí),由二元線性方程組的解法,推廣到多元線性方程組的解法。3)平面向量推廣到空間向量再推廣到向量空間。(2)類比推理類比推理是針對的兩類事物,如圖(2)所示,在A和B兩類事物中,A類中有性質(zhì)成立,類中也有性質(zhì)成立,A類中還有性質(zhì)成立,那么B類中是否也有性質(zhì)成立呢?通過兩類事物的類比可以對事物的性質(zhì)有更深刻的理解,并且可以幫助進(jìn)行邏輯推理。例如,1)平面幾何與球面幾何的類比。2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的

16、類比。3)等式與不等式的類比。4)有理數(shù)與無理數(shù)的類比。5)數(shù)的運(yùn)算與符號(hào)的運(yùn)算的類比。6)平面上直角三角形三邊的關(guān)系與直三棱錐三個(gè)平面的關(guān)系的類比。SABqpq?pAB(圖1) (圖2)標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生“能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想,并經(jīng)進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例”。也就是要求學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論時(shí)要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程。合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)猜想證明”,因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)實(shí)際上就是希望教師能夠重視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程,發(fā)展學(xué)生的探究和創(chuàng)新精神。(3)對于“合情推理”和“演繹推理”,要通過具體的實(shí)例理解合情推理和演繹推理,不追求對概念的抽象表述。模塊中設(shè)置

17、的證明問題應(yīng)選材于學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中實(shí)例,了解和情推理的含義體會(huì)演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本方法,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單的推理,因此,應(yīng)結(jié)合教材提供的具體實(shí)例組織教學(xué),補(bǔ)充的實(shí)例也應(yīng)該以“已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例”為準(zhǔn),對證明的問題的難度也要加以控制。(4)結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例,讓學(xué)生了解直接證明和間接證明的思考過程、特點(diǎn)。已知條件新的結(jié)論與要證明的結(jié)論是否吻合?結(jié)束綜合有關(guān)的公理、定理和已經(jīng)得到的結(jié)論是否直接證明綜合法直接證明分析法要證明的結(jié)論論論得到使上面結(jié)果成立的充分條件新結(jié)果在已知條件下新結(jié)果是否成立?結(jié)束結(jié)合有關(guān)的公理、定理和已經(jīng)得到的結(jié)論是否用新結(jié)果替

18、代要證明的結(jié)果要證明的結(jié)論否定要證明的結(jié)論把“否定要證明的結(jié)論”作為條件件得出新的結(jié)論結(jié)合相關(guān)的公理、定理或已得到的結(jié)論是否與已知條件或公理、定理矛盾結(jié)束是否間接證明反證法標(biāo)準(zhǔn)對“了解和情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理;了解直接證明的兩種基本方法和間接證明的一種方法”的要求是階段性要求,“體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用,感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用,養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣”的要求是終結(jié)性要求。2.課程標(biāo)準(zhǔn)的要求(1)合情推理與演繹推理 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例,了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理,體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作

19、用。 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例,體會(huì)演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理。 通過具體實(shí)例,了解合情推理和演繹推理之間的了解和差異。(2)直接證明與間接證明 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例,了解直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例,了解間接證明的一種基本方法反證法;了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。(3)數(shù)學(xué)文化 通過對實(shí)例的介紹(如歐幾里得幾何原本、馬克思資本論、杰弗遜獨(dú)立宣言、牛頓三定律),體會(huì)公理化思想。 介紹計(jì)算機(jī)在自動(dòng)推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用。3.課程標(biāo)準(zhǔn)要求的具體化和深廣度分析(1)如何認(rèn)

20、識(shí)“了解合情推理的含義”對合情推理的含義的認(rèn)識(shí)是指通過具體實(shí)例的推理過程的分析、體會(huì)、概括出合情推理的描述性定義和常用的歸納和類比的思維方法。例如,歌德巴赫把在數(shù)學(xué)研究中觀察到的式子在形式上改寫成:,發(fā)現(xiàn)了規(guī)律:偶數(shù)=奇質(zhì)數(shù)+奇質(zhì)數(shù),于是他產(chǎn)生了一個(gè)想法:10,20,30,都是偶數(shù),那么其他的偶數(shù)是否也有類似的規(guī)律呢?他進(jìn)行了特例的驗(yàn)證,概括出特例的規(guī)律特征,提出了猜想:任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。這個(gè)猜想的提出過程就是運(yùn)用了經(jīng)歷由部分到整體、由個(gè)別到一般的歸納推理過程。又如:在研究球體時(shí),類比圓,發(fā)現(xiàn)球存在一些與圓類似的特征(如都具有完美的對稱性,都是到定點(diǎn)的距離為定長的點(diǎn)集

21、),因此,我們推測對于圓的特征,球也可能具有。如圓有切線推測球有切面等等。這種推理過程是由兩類對象具有的類似特征,由其中一類對象具有的某些已知特征推測另一類對象也具有這些特征,是由特殊到特殊的類比推理過程。(2)如何認(rèn)識(shí)“能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理,體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用”的含義“能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理”是指:對給定的具體問題,能夠通過計(jì)算、分析、比較、概括、推廣、歸納、觀察、推測、類比等手段或方法完成簡單的推理。例如:已知數(shù)列的第1項(xiàng),且,試歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式??梢愿鶕?jù)已知的遞推公式,算出數(shù)列的前幾項(xiàng),觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)和序號(hào)的關(guān)系,找出規(guī)律和共同特點(diǎn),歸納出數(shù)

22、列的通項(xiàng)公式?!绑w會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用”的含義是指體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論,探索和提供解決問題的思路和方法的作用;例如歐拉公式的發(fā)現(xiàn)就是在探求凸多面體的面、頂點(diǎn)、棱之間的數(shù)量關(guān)系時(shí),運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)的。(3)如何認(rèn)識(shí)“體會(huì)演繹推理的重要性”的含義演繹推理是由一般到特殊的推理,“三段論”是演繹推理的一般模式。在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下,得到的結(jié)論一定正確。能夠運(yùn)用演繹推理的“三段論”的思維模式證明數(shù)學(xué)問題,獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。例如:證明函數(shù)在上是增函數(shù)。大前提是增函數(shù)的定義,小前提是,滿足增函數(shù)的定義,于是根據(jù)演繹推理的“三段論”,得在上是增函數(shù)。(5)如何認(rèn)

23、識(shí)“了解合情推理和演繹推理之間的了解和差異”的含義歸納與類比是常用的合情推理。從推理形式上看,歸納是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理,類比是由特殊到特殊的推理;而演繹推理是由一般到特殊的推理。從推理所得結(jié)論看,合情推理的結(jié)論只是猜測,未必可靠,有待進(jìn)一步證明;演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下,得到的結(jié)論一定正確。合情推理與演繹推理都是認(rèn)識(shí)世界的過程中需要的重要的思維方式,兩者緊密了解、相輔相成。(6)如何認(rèn)識(shí)“了解直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)”的含義“了解直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)”是

24、指通過實(shí)例,對已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)的證明方法的思考過程與特點(diǎn)進(jìn)行分析與概括,即:綜合法是“順推法或由因?qū)Чā?,分析法是“逆推法或?zhí)果索因法”。(7)如何認(rèn)識(shí)“了解間接證明的一種基本方法反證法;了解反證法的思考過程、特點(diǎn)”的含義“了解間接證明的一種基本方法反證法;了解反證法的思考過程、特點(diǎn)”是指要明白反證法的適用情形和使用的邏輯規(guī)則,特別是明確應(yīng)用逆向思維,推出與已知條件或假設(shè)或定義、公理、事實(shí)等矛盾是反證法的思考過程的特點(diǎn)。(8)如何認(rèn)識(shí)“體會(huì)公理化思想”的含義“體會(huì)公理化思想”的含義是指通過介紹實(shí)例(如歐幾里得幾何原本、馬克思資本論、杰弗遜獨(dú)立宣言、牛頓三定律),使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展

25、過程,體會(huì)公理化思想的發(fā)展及對科學(xué)發(fā)現(xiàn)、社會(huì)進(jìn)步的作用,進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的探究和創(chuàng)新精神。4.教學(xué)要求(1)恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境,促進(jìn)學(xué)生的自主探索合情推理并非盲目地、漫無邊際地胡亂猜想,它是以數(shù)學(xué)中某些已知事實(shí)為基礎(chǔ),通過選擇恰當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)結(jié)構(gòu)材料創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生觀察。體現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程,促進(jìn)學(xué)生自主探索。并盡量將學(xué)生所熟悉的知識(shí),通過歸納、類比的思想,逐步推廣到未知的知識(shí)領(lǐng)域。在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中,通過恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生觀察;精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn),激發(fā)學(xué)生思維;仔細(xì)設(shè)計(jì)問題,激發(fā)學(xué)生猜想;利用類比探討,加深知識(shí)理解;利用數(shù)學(xué)歸納,鞏固特殊到一般思維;利用演繹證明,揭露蘊(yùn)涵性質(zhì)等漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思

26、維意識(shí)和合情推理能力。例 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想。PEFDABC考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直,所以我們選取有三個(gè)面兩兩垂直地四面體,作為直角三角形的類比對象。讓學(xué)生分析比較:四面體兩邊交成1個(gè)直角3個(gè)面在一個(gè)頂點(diǎn)處構(gòu)成3個(gè)直二面角直角邊面,和的面積和斜邊面的面積推測出結(jié)論:再用綜合法證明。體現(xiàn)出由推理到證明探究的完整過程。(2)教學(xué)中要讓學(xué)生感受探究的過程通過觀察問題和從問題發(fā)現(xiàn)到對問題解決的整個(gè)思維過程,讓學(xué)生真實(shí)地感受到數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與任何其他學(xué)科的創(chuàng)造過程是一樣的,它同樣需要經(jīng)歷觀察、試驗(yàn)、歸納結(jié)論,最后再加以嚴(yán)格證明的一個(gè)完整的歸納推理的思維過

27、程。例如:關(guān)于凸多面體的“歐拉公式”的探究思路。(3)重視數(shù)學(xué)文化,讓學(xué)生感受演繹推理,初步體會(huì)公理化思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)教材基本上是以演繹推理作為主要的推理模式,運(yùn)用最普遍是“三段論”式的結(jié)構(gòu),它由兩個(gè)前提(分別稱為大前提、小前提)和一個(gè)結(jié)論構(gòu)成。大前提是具有一般性的原理,如已知的公理、定理、定義、性質(zhì)等;小前提是包含在大前提所指事物的特殊事物,如命題中給出的已知條件;結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)前提推出的判斷。其模式為:大前提:M是P小前提:S是M結(jié) 論:S是P盡可能地選取原始概念和一組不加證明的原始命題(公理、公設(shè)),以此為出發(fā)點(diǎn),應(yīng)用演繹推理,推出盡可能多的結(jié)論的方法,稱為公理化方法。5.重、難點(diǎn)分析推

28、理與證明貫穿高中數(shù)學(xué)的整個(gè)體系,它的系統(tǒng)學(xué)習(xí)是新課標(biāo)教材的一個(gè)亮點(diǎn),是對以前所學(xué)知識(shí)與方法的總結(jié)、歸納,并對后繼學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)作用。合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探索和提供解決問題的思路和方法的作用;演繹推理則具有證明結(jié)論,整理和構(gòu)建知識(shí)體系的作用,是公理化體系中的基本推理方法。兩者緊密了解、相輔相成,它們的學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力,形成和發(fā)展理性思維,使學(xué)生體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在教學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用,體會(huì)證明的功能和特點(diǎn)及在數(shù)學(xué)和生活中的作用,養(yǎng)成言之有理、論之有據(jù)的習(xí)慣。因此準(zhǔn)確把握概念,理解和情推理、演繹推理的了解與區(qū)別,理解直接證明與間接證明的方法和步驟是重點(diǎn)。如何通過對

29、命題進(jìn)行觀察、比較、分析、類比、歸納,運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒▽γ}給予證明是難點(diǎn)。2.3數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1.知識(shí)內(nèi)容的整體定位根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)思路,對每一部分都有一個(gè)整體定位。為了更好地把握數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入的要求,首先須明確整體定位。標(biāo)準(zhǔn)對這部分的定位如下:“數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程,同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的客觀需求和背景,復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充。本部分知識(shí)的教學(xué),可結(jié)合數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí),進(jìn)行數(shù)系擴(kuò)充的介紹,使學(xué)生感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的了解?!睘榱烁玫乩斫庹w定位,需要明確下面幾方面的問題:(1)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入”在情感、態(tài)度、價(jià)值觀

30、以及過程與方法的定位上,關(guān)注的是以問題為載體,激發(fā)學(xué)生對于數(shù)系擴(kuò)充原動(dòng)力的認(rèn)識(shí),初步體會(huì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,促進(jìn)學(xué)生科學(xué)觀的形成?!皵?shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入”不能認(rèn)同為“數(shù)的發(fā)展史”,二者內(nèi)容和目標(biāo)都不同,這一點(diǎn)須教師注意。(2)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入”在知識(shí)的定位上,限定了這部分內(nèi)容是復(fù)數(shù)最為基礎(chǔ)性的知識(shí)。對于高中生來說,學(xué)習(xí)一些復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的幾何表示、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算及加減法的幾何意義是十分必要的,可以使高中畢業(yè)生對復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算初步地有一個(gè)較為完整的認(rèn)識(shí)。(3)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入”在技能定位上,值得指出的是對復(fù)數(shù)概念與運(yùn)算的教學(xué)中,應(yīng)注意避免繁瑣的計(jì)算與技巧的訓(xùn)練。2.

31、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求(1)在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程,體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論)在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用,感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的了解。(2)理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。(3)了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義。(4)能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算,了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義。3.課程標(biāo)準(zhǔn)要求的具體化和深廣度分析(1)如何認(rèn)識(shí)“數(shù)系的擴(kuò)充”的意義一般來說,在中、小學(xué)課程中,我們對數(shù)系的擴(kuò)充是不會(huì)用代數(shù)結(jié)構(gòu)的思想來處理傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容的,即把數(shù)看作群、環(huán)、域、體等基本結(jié)構(gòu)的具體內(nèi)容,從結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)介紹它的概念和性質(zhì)。而是把新元素加到已建立的

32、數(shù)系之中,使之?dāng)U充為新數(shù)系,不追求像科學(xué)數(shù)系那樣嚴(yán)謹(jǐn),目的是既要考慮學(xué)生的可接受性,也不能偏離教學(xué)任務(wù)的主體,畢竟這部分知識(shí)不是在講數(shù)學(xué)史。(2)如何認(rèn)識(shí)“在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程,體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論)在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用,感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的了解”的意義例如:從自然數(shù)到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充,是為了解決人類在生產(chǎn)生活中所遇到的實(shí)際問題大多數(shù)都與對量的度量問題相關(guān)聯(lián)而逐漸產(chǎn)生的。從實(shí)數(shù)集到復(fù)數(shù)集的擴(kuò)充,則完全是出于數(shù)學(xué)本身解方程的需要而產(chǎn)生的。數(shù)系擴(kuò)充的這兩條主線,體現(xiàn)了人類思維在認(rèn)識(shí)數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的主觀能動(dòng)性,可以說歷經(jīng)艱辛、充滿智慧的擴(kuò)充過

33、程。讓學(xué)生感受到對數(shù)系每一次擴(kuò)充,都是因?yàn)榕f數(shù)集與所需解決的問題之間的矛盾引起的,一般采取在原數(shù)集中添加新元素的方法使得原數(shù)集得到擴(kuò)充;虛數(shù)的引入,產(chǎn)生了虛數(shù),其中蘊(yùn)涵了創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力,對培養(yǎng)學(xué)生的情感、養(yǎng)成科學(xué)的態(tài)度、形成正確的價(jià)值觀有積極的意義。(3)如何認(rèn)識(shí)“理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件”的意義“理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件”是指:能描述復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,會(huì)辨認(rèn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部;初步應(yīng)用復(fù)數(shù)的分類,對一個(gè)具有代數(shù)形式的復(fù)數(shù)成為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的判定。初步應(yīng)用復(fù)數(shù)相等的充要條件,將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題。例如:復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部是什么?實(shí)數(shù)取什么數(shù)值時(shí),復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)

34、,虛數(shù),純虛數(shù)。(4)如何認(rèn)識(shí)“了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義”的意義“了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義”是指:可以說出復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)以及與復(fù)平面內(nèi)從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的向量是一一對應(yīng)的,并會(huì)在復(fù)平面內(nèi)畫出它們相應(yīng)的圖示位置。(5)如何認(rèn)識(shí)“能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算,了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義”的意義“能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算,了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義”是指:復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算,可類比與多項(xiàng)式的運(yùn)算法則來進(jìn)行;在實(shí)際進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí),我們不是按照除法的法則來套用公式的,而是通過把復(fù)數(shù)分母“實(shí)數(shù)化”再轉(zhuǎn)化成乘法來完成的。最終運(yùn)算的結(jié)果和法則的結(jié)論是一致的,減輕

35、學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)。復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算的幾何意義只要求類比向量加、減的運(yùn)算法則,加法符合平行四邊形法則,減法符合三角形法則。4.教學(xué)要求(1)標(biāo)準(zhǔn)與大綱要求的對比教學(xué)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)表述大綱目標(biāo)表述數(shù)系的擴(kuò)充在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程,體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論)在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用,感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的了解。了解引入復(fù)數(shù)的必要性;了解數(shù)系從自然數(shù)到有理數(shù)到實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)擴(kuò)充的基本思想復(fù)數(shù)理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)的表示法了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義。掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示與幾何意義復(fù)數(shù)的運(yùn)算能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算

36、,了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義。能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算,掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則在具體內(nèi)容的要求上,標(biāo)準(zhǔn)與大綱有明顯的區(qū)別。標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容這部分是選修內(nèi)容,對文理科要求相同。大綱要求理科為選修內(nèi)容,文科不作要求,可見對文科來說是新增內(nèi)容。大綱與標(biāo)準(zhǔn)要求有差異的內(nèi)容:大綱要求的“掌握”變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)“了解”的內(nèi)容是:復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義;大綱要求的“掌握”變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)“不作要求”的內(nèi)容是:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則;大綱要求的“不作要求”變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)“了解”的內(nèi)容是:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義;大綱要求從泛指“理解”復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,到標(biāo)準(zhǔn)特指“理解”的內(nèi)容是:復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等

37、的充要條件;大綱與標(biāo)準(zhǔn)要求相同的內(nèi)容是:了解數(shù)系的擴(kuò)充過程;能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算。從知識(shí)的要求上來看,標(biāo)準(zhǔn)與大綱有升有降,升少降多,教學(xué)中要關(guān)注這些變化。(2)教學(xué)要求1)基本要求注重知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程我們知道,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),是在教師指導(dǎo)下對數(shù)學(xué)知識(shí)的一種特殊認(rèn)識(shí)過程。這一認(rèn)識(shí)過程也必須遵循從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí),又從理性認(rèn)識(shí)到實(shí)踐的過程,這個(gè)過程反映到對具體知識(shí)的編排上,那就是要從實(shí)際事例的分析中,或者對已有知識(shí)的分析、推理中,引入新的概念、原理。特別注意知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程,對概念、法則、公式的處理,不是首先呈現(xiàn)教學(xué)活動(dòng)的結(jié)果,而是先從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā),通過觀察、比較、分析、抽

38、象、概括,得出結(jié)論。突出概念和運(yùn)算之間的類比本章所介紹的復(fù)數(shù)內(nèi)容是學(xué)生以前沒有接觸過的全新的內(nèi)容,但復(fù)數(shù)的概念是實(shí)數(shù)概念的擴(kuò)展,復(fù)數(shù)的運(yùn)算遵循實(shí)數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算順序,為了使學(xué)生順利地掌握本章的內(nèi)容,教學(xué)中要突出復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算與實(shí)數(shù)的概念、運(yùn)算之間的類比,即類比實(shí)數(shù)的概念和性質(zhì)講復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì),類比平面直角坐標(biāo)系講復(fù)平面,類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算講復(fù)數(shù)的運(yùn)算。注意與初、高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的了解這部分知識(shí)內(nèi)容,與初中、高中所學(xué)過的平面直角坐標(biāo)系、一次方程(組)和一元二次方程、平面向量、平面幾何等知識(shí)均有密切的了解。教學(xué)時(shí),應(yīng)注意了解有關(guān)的知識(shí)。重在應(yīng)用例 求滿足的復(fù)數(shù)的值。解法1:(化歸思想)設(shè),由原

39、式得: ,由復(fù)數(shù)除法的定義得到:即 由復(fù)數(shù)相等的充要條件得: 故所求復(fù)數(shù)。解法2 (整體思想)由已知得即所以 。2)某些具體內(nèi)容的教學(xué)要求“數(shù)系的擴(kuò)充”和“復(fù)數(shù)”的教學(xué)要突出概念的形成過程例如:“數(shù)系的擴(kuò)充”過程和“復(fù)數(shù)的基本概念”的形成過程,是本部分所有知識(shí)的起點(diǎn),學(xué)生對它理解程度,直接影響學(xué)生對這部分知識(shí)的后續(xù)學(xué)習(xí),所以要引起足夠的重視。教師可以一方面以求方程的根為問題情境載體,讓學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)、感知、確信從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的擴(kuò)充過程是由數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾,即解方程的需要引起的,同時(shí)要遵循熟悉要擴(kuò)充,必須在原數(shù)集中添加新元素的一般規(guī)律;另一方面在復(fù)數(shù)概念引入時(shí),要分清對是定義的(,并且對實(shí)數(shù)的加法、乘

40、法的運(yùn)算律保持不變,可以推出形如這樣的數(shù)的存在,再定義它是復(fù)數(shù),經(jīng)過這樣的過程來定義復(fù)數(shù),就使得這種定義是合理的。有了這樣的基礎(chǔ),再定義復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件、乃至復(fù)數(shù)的分類就比較自如了。要正確認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部例如:對于復(fù)數(shù),實(shí)部是,虛部是,注意在說虛數(shù)時(shí),一定有,否則,不能說實(shí)部是,虛部是,復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)。說明:對于復(fù)數(shù)的定義,特別要抓住這一標(biāo)準(zhǔn)形式以及是實(shí)數(shù)這一概念,這對于解有關(guān)復(fù)數(shù)的問題將有很大的幫助。要正確地對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類,弄清數(shù)集之間的關(guān)系分類要求不重復(fù)、不遺漏,同一級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一。不能亂用復(fù)數(shù)相等的條件解題。用復(fù)數(shù)相等的條件要注意:化為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形

41、式實(shí)部、虛部中的字母為實(shí)數(shù)?!皬?fù)數(shù)的表示法”的教學(xué)在講復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)的集合一一對應(yīng)時(shí),要注意:任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對唯一確定。這就是說,復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對。復(fù)數(shù)用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)表示。復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)是,而不是,也就是說,復(fù)平面內(nèi)的縱坐標(biāo)軸上的單位長度是1,而不是。當(dāng)時(shí),對任何,是虛數(shù),當(dāng)時(shí),是實(shí)數(shù)。復(fù)數(shù)中的,書寫時(shí)小寫,復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的Z,書寫時(shí)大寫,要學(xué)生注意?!皬?fù)數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算的關(guān)系式:,會(huì)給運(yùn)算帶來方便,運(yùn)用這些關(guān)系就是一種運(yùn)算技巧。關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的概念設(shè),則,即與的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)(不能認(rèn)為與或者與)是共軛復(fù)數(shù)??梢韵?qū)W生介紹復(fù)數(shù)共軛

42、復(fù)數(shù)的記成:,但不要求利用進(jìn)行因式分解。5.重、難點(diǎn)分析復(fù)數(shù)的概念及其表示方法是全章內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn),復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則是中心內(nèi)容,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題向?qū)崝?shù)問題轉(zhuǎn)化的重要性質(zhì),有許多問題通過此性質(zhì)加以解決;由此決定了它們是本部分內(nèi)容的重點(diǎn)。實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集,從實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集后,與代數(shù)中的實(shí)數(shù)運(yùn)算、多項(xiàng)式、向量運(yùn)算等有了解也有區(qū)別,它畢竟是一個(gè)新的數(shù)的概念,因此,復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何表示等概念與以前學(xué)過的實(shí)數(shù)概念中的內(nèi)容不同,這些內(nèi)容學(xué)生不易接受和掌握;由此決定了它們是本部分內(nèi)容的難點(diǎn)。2.4框圖1.知識(shí)內(nèi)容的整體定位框圖是表示一個(gè)系統(tǒng)各部分和各環(huán)節(jié)之間關(guān)系的圖

43、示,它的作用在于能夠清晰地表達(dá)比較復(fù)雜的系統(tǒng)各部分之間的關(guān)系??驁D已經(jīng)廣泛應(yīng)用于算法、計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)、工序流程的表述、設(shè)計(jì)方案的比較等方面,也是表示數(shù)學(xué)計(jì)算與證明過程中主要邏輯步驟的工具,并將成為日常生活和各門學(xué)科中進(jìn)行交流的一種常用表達(dá)方式??驁D是新增內(nèi)容,通過框圖的學(xué)習(xí)過程能夠提高學(xué)生的抽象概括能力和邏輯思維能力,能幫助學(xué)生清晰地表達(dá)和交流思想。尤其對希望在人文、社會(huì)科學(xué)方面發(fā)展的學(xué)生是十分必要的。為了更好的理解整體定位,需要明確以下幾個(gè)方面的問題:(1)程序框圖是算法步驟的直觀圖示,在必修3中已經(jīng)學(xué)習(xí)過。(2)流程圖可以用于描述工業(yè)生產(chǎn)、建筑施工、工業(yè)計(jì)劃等的流程,這種流程圖通常稱為工序

44、流程圖。流程圖一般描述一個(gè)過程性的活動(dòng),活動(dòng)的每一個(gè)具體步驟構(gòu)成流程圖的一個(gè)基本單元,按時(shí)間等順序?qū)⒒締卧私馄饋順?gòu)成流程圖?;締卧膬?nèi)容應(yīng)根據(jù)實(shí)際來確定。(3)描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的圖示結(jié)構(gòu)圖。流程圖描述動(dòng)態(tài)過程,而結(jié)構(gòu)圖刻畫系統(tǒng)結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)圖一般表現(xiàn)為“樹”形(或環(huán)形)結(jié)構(gòu),其基本要素之間是概念上的從屬關(guān)系或邏輯上的先后關(guān)系。用結(jié)構(gòu)圖能夠清晰地表達(dá)系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)。有時(shí)也用它來表示知識(shí)的結(jié)構(gòu)。2.課程標(biāo)準(zhǔn)的要求(1)流程圖 通過具體實(shí)例,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)程序框圖。 通過具體實(shí)例,了解工序流程圖(即統(tǒng)籌圖)。 能繪制簡單實(shí)際問題的流程圖,體會(huì)流程圖在解決實(shí)際問題中的作用。(2)結(jié)構(gòu)圖 通過實(shí)例,了解結(jié)構(gòu)圖

45、;運(yùn)用結(jié)構(gòu)圖梳理已學(xué)過的知識(shí)、整理收集到的資料信息。 結(jié)合做出的結(jié)構(gòu)圖與他人進(jìn)行交流,體會(huì)結(jié)構(gòu)圖在揭示事物了解中的作用。框圖的教學(xué),應(yīng)從分析實(shí)例入手,結(jié)合必修中的算法,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用框圖表示數(shù)學(xué)計(jì)算與證明過程中的主要思路與步驟、實(shí)際問題中的工序流程、某一數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系等。使學(xué)生在運(yùn)用框圖的過程中理解流程圖和結(jié)構(gòu)圖的特征,掌握框圖的用法,體驗(yàn)用框圖表示解決問題過程的優(yōu)越性。3.課程標(biāo)準(zhǔn)要求的具體化和深廣度分析(1)通過具體實(shí)例,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)程序框圖。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了程序框圖的有關(guān)知識(shí),把用自然語言描述的算法轉(zhuǎn)化為程序框圖,一般需要將算法分解為若干輸入、輸出、條件分支結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)等基本步驟,然

46、后根據(jù)它們的邏輯關(guān)系,用流程線連接起來。例1 畫出用二分法求方程的近似根的程序框圖。分析:可以先用自然語言描述,再逐步“細(xì)化”算法步驟,然后畫出相應(yīng)的程序框圖。解:算法步驟為:第一步 令,誤差為。因?yàn)樗栽O(shè)第二步 令,判斷是否為。若是,則為方程的根;若否,則判斷的符號(hào)。第三步 若,則令;否則,令。輸入誤差和的初始值第四步 判斷是否成立?若是,則為方程的近似根;若否,則返回到第二步。用程序框圖表示上述算法步驟?!暗谝徊健笨杉?xì)化為:輸出是是否“第二步”“第三步”可以細(xì)化一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu):輸出是否“第四步”可以細(xì)化為:通過例1,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到:程序框圖是算法步驟的直觀圖示;算法的輸入、輸出、條件分支、循環(huán)

47、等基本單元構(gòu)成程序框圖的基本要素,基本要素之間的關(guān)系由流程線來連接;用程序框圖表示的算法,比用自然語言描述的算法更加明確、流向清楚,而且更容易改寫成計(jì)算機(jī)程序。(2)工序流程圖1)通過具體實(shí)例,了解工序流程圖(即統(tǒng)籌圖)由一些圖形符號(hào)和文字說明的圖示稱為流程圖;流程圖用來表示一些動(dòng)態(tài)過程,通常有一個(gè)“起點(diǎn)”,一個(gè)或多個(gè)“終點(diǎn)”。顯然程序框圖是流程圖的一種;流程圖可以直觀、明確地表示動(dòng)態(tài)過程從開始到結(jié)束的全部步驟,在日常生活和工作的很多領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。例2 考生參加某培訓(xùn)中心的考試需要遵循以下程序:在考試之前咨詢考試事宜,如果是新考生,需要填寫考生注冊表,領(lǐng)取考生編號(hào),明確考試的科目和時(shí)間,然后交納考試費(fèi),按規(guī)定時(shí)間參加考試,領(lǐng)取成績單,領(lǐng)取證書;如果不是新考生,則須出示考生編號(hào),明確考試的科目和時(shí)

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