不定積分例題及參考答案

1、第4章不定積分內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容不疋設(shè)f(x) , x I，假設(shè)存在函數(shù)F(x)，使得對(duì)任意x I均有F (x) f(x)積 分或 dF(x) 1(x)dx，那么稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)。的 概f (x)的全部原函數(shù)稱為f (x)在區(qū)間1上的不定積分，記為念f (x)dx F(x) C注：(1)假設(shè)f(x)連續(xù)，那么必可積；(2)假設(shè)F(x),G(x)均為f (x)的原函數(shù)，貝UF(x) G(x) C。故不定積分的表達(dá)式不唯一。性性質(zhì)1:f (x)dxf (x)或 d f (x)dxf (x)dx ;質(zhì)dx不性質(zhì)2: F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C ;疋 積

2、性質(zhì)3:f (x)g(x)dxf (x)dxg(x)dx,為非零常數(shù)。分計(jì)第一換元設(shè)f (u)的 原函數(shù)為F(u) , u(x)可導(dǎo)，那么有換元公式：算方積分法f( (x) (x)dx f( (x)d (x) F( (x) C法(湊微分 法)第二類 換元積 分法設(shè)x(t)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，f (t) (t)有原函數(shù)F(t),那么f(x)dxf( (t) (t)dt F(t) C F( 1(x) C分部積分法u(x)v (x)dx u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)有理函數(shù)假設(shè)有理函數(shù)為假分式，那么先將其變?yōu)槎囗?xiàng)式和真分式的和；對(duì)真積分分式的處理按情況確定。本章在下-

3、章定積分中由微積分根本公式可知-求定積分的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是求被積函數(shù)的地的原函數(shù)問(wèn)題；后繼課程無(wú)論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最位與終的解決都?xì)w結(jié)為對(duì)定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。作用從這種意義上講，不定積分在整個(gè)積分學(xué)理論中起到了根基的作用，積分的問(wèn)題會(huì) 不會(huì)求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對(duì)這一章掌握的好壞。這一點(diǎn)隨著學(xué) 習(xí)的深入，同學(xué)們會(huì)慢慢體會(huì)到！課后習(xí)題全解習(xí)題4-1 1求以下不定積分: 知識(shí)點(diǎn)：直接積分法的練習(xí)一一求不定積分的根本方法。思路分析：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和根本積分公式，直接求出不定積分! (1)dxx2 . x思路：1被積函數(shù)

4、5 X至，由積分表中的公式2可解。x , x解：dx|d2 dx2x33至C2x . x(皈 A)dxVx思路：根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：(3x -)dxVx111xdx 41(x3X芳dxx3dx2x22x xx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：(2x x2)dx2xdxx2dx2xIn 2.x(x 3)dx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì),將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：.x(x 3)dx3x2dx1x2dx1-dx1思路：觀察到3x43x212x3x2-后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì),1將被積函數(shù)分項(xiàng),3x4 3x22x分別積分。3

5、x21x21dx3x2dx13dx x arcta n x C1 x思路：注意到x21 1分別積分。1 x211，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng),1 xX2解：一dx1 xdx (8)(宀思路:分項(xiàng)積分。看到？)dxdx1dx 3arctanx 2arcsin x C.1 x2思路:1x7x8，直接積分。解:x x xdx7x8dx15C.1(10)亍石dx1dx x arctanx C.1 x注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個(gè)有理的假分式, 通常先將其分解為一個(gè)整式加上或減去一個(gè)真分式的形式，再分項(xiàng)積分。x134、2-+3 "-)dx

6、xxx(X(2-1+x3-x4、)dx x1 xdxIdx2 x1 23 24 3xln|x|xxC.423思路:分項(xiàng)積分。解:3 x 3dx 4 x 4dx思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)積分。1解：卡一- x2(1丁 dxx2)(Ax12)dxx2dxxdx x1 arctan x C.x2xe (11)匚e解:2xex e-dxx1)(e1)ex 1dx(ex 1)dxx C. (12) 3x exdx解：3xexdx( 3e)dx3e C.In (3e) (13) cot2xdx思路:應(yīng)用三角恒等式2 2cot x csc x 1 。2 2解:cot xdx (csc x 1)dx cotx x C3x

7、 5 2x(14)3x 5 2x思路:被積函數(shù)x5 -3x5(-)x，積分沒(méi)困難。32 3x 5 2x 解：dx3x(2(3)x5(t)x)dx 2x 5八 C.2 x (15) cos dx2思路：假設(shè)被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時(shí)，一般地先降幕，再積分。1 cosx11 .dx x si nx C.2 2解： cos xd2丄丄1 (16)dx1 cos2x思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降幕公式，_1 2cos2 x解：dx1 cos2x cos2x先升幕再積分。1 2 , sec xdx2dxta nx C.2 (17)cosx sinxdx思路:不難，關(guān)鍵知道“cos2xcos2 x sin2x(c

8、osx sin x)(cos xsin x) 。cos2x 解：dxcosx sin x.cos2x (18)cos x sin x(cosxsin x)dxsin xcosx C.dx思路：同上題方法，應(yīng)用“cos2xcos2 xsin2x ,分項(xiàng)積分。解：7""2cos x sin-dxx2cos x.2sin x ,2 . 2 dxcos x sin xdx sin x1廠xcos xcsc xdxsec xdx cotx tanxC.x (19),應(yīng)用公式即可。21 cos x (20)dx1 cos2x思路：注意到被積函數(shù)cos2 x1 cos21 cos2x2c

9、os1 2sec21，那么積分易得。2解：1 21 cos x , dx cos2x1 sec2 xdx2tan x xC. 2、設(shè)xf(x)dxarccosx C，求 f(x)。知識(shí)點(diǎn):思路分析考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。1： dx f(x)dx:直接利用不定積分的性質(zhì)f (x)即可。解：等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得:xf(x)1rx-f(x) 3、設(shè)f (x)的導(dǎo)函數(shù)為sinx ,求f (x)的原函數(shù)全體。知識(shí)點(diǎn)：思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。仍為考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。解：由題意可知，f(x) sinxdxcosx C1所以f (x)的原函數(shù)全體為：(cosx C

10、jdxsinx Gx C2。1 4、證明函數(shù) e2x ,exshx和exchx都是2chx- shx的原函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：思路分析考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。:只需驗(yàn)證即可。解：Qchx shx2xe ，(1 e2x) exshx exchxe2xdx 2dxdx 5、一曲線通過(guò)點(diǎn)(e2,3)，且在任意點(diǎn)處的切線的斜率都等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線的方程。知識(shí)點(diǎn)：屬于第12章最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的初值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定 積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。d1解：設(shè)曲線方程為y f (x)，由題意可知：f(

11、x)， f(x) In | x| C ；dxx2 2又點(diǎn)(e ,3)在曲線上，適合方程，有3 ln(e ) C, C 1，所以曲線的方程為 f(x) In |x| 1. 6、一物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t秒后的速度是3t一dx 1dx 1 一dt 2d(、t);(8)2d(tan2x);(9)2 - d(arctan3x).(m/s)，問(wèn)：(1) 在3秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？(2) 物體走完360米需要多少時(shí)間？知識(shí)點(diǎn)：屬于最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的初值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。解：設(shè)物體的位移方程為

12、：y f(t)，do-,那么由速度和位移的關(guān)系可得：f(t) 3t2 f (t) tVtcos 2x 21 9x 32、求以下不定積分。知識(shí)點(diǎn)：(湊微分)第一換元積分法的練習(xí)。 C，dt又因?yàn)槲矬w是由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的，f(0)0, C 0, f (t) t3。3(1) 3秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離為：f(3) 327米;令 t3360 t 3 360 秒。習(xí)題4-2 1、填空是以下等式成立。知識(shí)點(diǎn)：練習(xí)簡(jiǎn)單的湊微分。思路分析：根據(jù)微分運(yùn)算湊齊系數(shù)即可。111解：(1)dx -d(7x 3);(2)xdx -d(1 x2);(3) x3dxd(3x思路分析：審題看看是否需要湊微分。 直白的講，湊微分

13、其實(shí)就是看看積分表達(dá)式中，有沒(méi) 有成塊的形式作為一個(gè)整體變量，這種能夠馬上觀察出來(lái)的功夫來(lái)自對(duì)微積分根本公式的熟 練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對(duì)特定的題目也非常有效，這在課外例題中專門(mén)介紹！ 2);72121 dx1dx1(4)e2xdxd(e2x);(5)d(5ln |x|);(6)d(3 5ln | x |);2 x5x5 (1)e3tdt3t e思路:湊微分。d(3t)解：e3tdt -33 (2) (3 5x) dx思路:湊微分。3解：(3 5x) dx(335x) d(3 5x)20(3 5x)4 C1 (3)dx3 2x 思路:湊微分。1解：dx3 2x捋(3 2x)1ln

14、|32x| C.1(4)3 dx耳5 3x思路：湊微分。1解：35一3x1d(5 3x)3 5一3x(513x) 3d(53x)21 W(5 3x)3 C.2 (5) (sin ax思路:湊微分。xeb)dx解：(sin axxeb )dx1-sin axd (ax) b a1-cosax axbe?A ACOS&dt思路：如果你能看到d(JT) dt，湊出d(JT)易解。2Jt解：CO-dt 2 cos屁(不)2sinV? C (7) tan10 xsecxdx思路:湊微分。C.10210111解:tan xsec xdx tan xd (tanx)tan xdxxln xln In

15、 x思路：連續(xù)三次應(yīng)用公式3湊微分即可。解:dxxln xln In xd(ln |x|) d(ln |ln x|)Inxlnlnx Inlnxln |ln ln x| C (9)思路：此題關(guān)鍵是能夠看到xdx是什么，是什么呢？就是d.1 x2 !這有一定難度!解： tan .1 x2 xdx £ tan .1 x2d 1 x21 x2ln | cos、. 1x2 | C (10)sin xcosx思路:湊微分。解：方法一：倍角公式sin2xdx2dxsin xcosxsin2x2sin xcosx。csc2xd2x In | csc2x cot2x| C方法二：將被積函數(shù)湊出tan

16、x的函數(shù)和tan x的導(dǎo)數(shù)。dxcosx ,dx sin xcosx sin xcos x一 se£ xdx tanxd tanx tanxln | tanx | C2 2dxsin x cos xdx sin xcosx sin xcosxsin xcosxdxdxcosxsin xd cosxd sin xcosxsin xln | cosx | ln | sin x| Cln | tan x| C (11)dxxxe e思路:湊微分:dxxxe eexdxdexdex廠 P 1 (ex)2解:dxxxe eexdxdexX 21 (e )arcta nex C方法三：三角公式s

17、in2x cos2 x 1，然后湊微分。 ( 12) xcos(x2 )dx思路:湊微分。2 1 2 2 1 2解:xcos(x )dx cosx dx sinx C2 2xdx-2 3x2思路:由_xdx_J2 3x21 dx22 、2一3x221 d2=|x 湊微分易解。.2 3x21 d(2 3x2)6, 2 3x1(213x2) "d(2 3x2)I" (14) COS2(t)sin( t)dt思路：湊微分。解： cos ( t)sin(t)dt -2 zCOS (t)si n(t)d1 cos2(t)d cos( t)冷3( t)C.3dx x解：-13x3 rd

18、x x4x3 rvdxdx4xd(1 x x3In |14x4 | C. (16)sin x3 dx cos x思路:湊微分。解：-ndxcos x1Lcos xcosx1_12 cos2C.9 (17)=x()2dx0 x思路:經(jīng)過(guò)兩步湊微分即可。9x 解：=xdx10 .220xdx1010x"21x10arcs in( = 10、23x (15)-x1思路:湊微分。1 x (18)- - -dxJ9 4x2思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。1x1,x ,解:=dxdx二 dx9 4x2，9 4x2.9 4x2 (19)x2x2 11 _d2x 1 _Ud4x22 1( 2x)238,

19、9 4x21 1 d?x2 1 (2;)31 2x12arcsin(). 9 4x C.2 34思路：裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。解:dx2x21dx(邁x 1)G，2x 1)12.2J $ 2x1 12三急一1d( 2x1)2.21 _-2x-1dG2x1)1.2x 12=n 2x 1C. (20)xdx2(45x)思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。解:xdx(4 5x)21/4 5x 4、,-(2) dx5 (4 5x)1 1 1(42) d (4 5x)254 5x (4 5x)125d(44 5x5x)425 (21)x2dx思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。解:x2dx(x 11)2 dx100(

20、x 1)(45x)2d(45x)l n|4 5x| 41 C.2525 4 5x(X 1)22 (x 1)(x 1)1002 (x 1)100(x1)100)dx(x11)982 - (x11)99(x1)100)d(x1)1 197 (x 1)971 149 (x 1)981 199 (x 1)99C.A Axdx (22)-一x8 1思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。解:xdx8xxdx44(x 1)(x1)1廠)xdxi2 (23)1(1)詐11廠x2 1x2 1嚴(yán)2 11 arcta nx24C.cos xdx思路：湊微分。cosxdxd sin x。1)1x21d(x21)解:cos

21、xdxcos2x cosxdxcos xdsinx(1 sin2 x)ds inxsinx sin3x C3 (24) cos2( t )dt思路：降冪后分項(xiàng)湊微分。解：cos2 ( t )dt1 cos2(2dtcos2( t )d2( t )4It sin2( t24( 25) sin 2x cos3xdx思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。11解:sin 2x cos3xdx (sin5x sin x)dx210sin 5xd 5x丄 sin xdx211cos5x cosx C102 (26) sin5xsin7xdx思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。11解:sin5xsin7xdx(cos2x c

22、os12x)dx cos2xd2x2424cos12xd(12x)11sin2xsin 12x C.424 (27) tan3 xsecxdx思路:湊微分 tan xsecxdx d secx 。解:tan3 xsecxdxtan2 x tanxsecxdxtan2 xd secx(seVx 1)d secxsec xd secxdsecx-sec x secx C3 (28)1思路：湊微分-dx d( arccosx)。解:arccosxarccosx10 d arccosx10arccosxln10C. (29)dx(arcsin x)2 . 1 x2思路：湊微分d (arcsin x)。

23、解:dx(arcsinx)2 ,1 x2d arcs inx(arcsi nx)21arcs inx (30)arctan. xG(1x)dx思路：湊微分 仮 dx 2arcta；乎 d 丘 2arctan(arctan仮)。(1 x) 1(一 x)2解：arctanTx dx2arctan-/x2arctanVd (arcta門(mén)依)(1 x)1(x)2(arctan ,x)2 C (31)In tan xcosxs inxdxtanx，即被積函數(shù)中湊出 sec? x，思路:被積函數(shù)中間變量為tanx,故須在微分中湊出IntanxIn tanxIn tanx 2 In tanx dx 2 dx

24、sec xdxd tan xcosxsinx cos xtanxtanxtanx 2In tanxd (Intanx) d(?(lntanx)In tanx i Intanx Intanx ,解：dx2 dxd ta nxIn tan xd(I ntanx)cosxsinxcos xtanxtanx1 2(I ntanx)2 C1 In x ,(32)2dx(xln x)2思路:d(xln x) (1 In x)dx1 In x11解：2dx2d(xln x)C(xln x)(xln x)x In xdx (33)-dx-1 ex解：方法一：思路：將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)除以ex，那么湊微分易

25、得。dxx1 edxx)1d(ex 1)ln |e x 1|方法二：思路:分項(xiàng)后湊微分dxx1 exex1 edx1dx1dx1d(1 eln |1x xln(e | e1|)(ln exln |e1|) Cln|ex1|方法三:思路：將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)乘以裂項(xiàng)后湊微分。dxx1 eexdxx jie (1Xe )dexx e(1Xe )dexln1r?d(1ln |1ln | e1| Cdx (34)6x(x 4)解：方法一：思路：分項(xiàng)后湊積分。dxx(x6 4)4dxx(x6 4)x6_4x(x6x6dx4)5X-6Xdxln |x| 424d!6xx6 J)丄丨n|x|丄ln 6|

26、x4| C1令x，那么dx*dt。dxL(*)dt1d(4t6)x( x64)241 4t61ln(1 4t246) C力(14)xC.方法二：思路：利用第二類換元法的倒代換。1 d(4t61)241 4t6 (35)飛x (1 x )dx1 x8x8(18：dxx )8 2.x (1 x )d2461 xxx8dxx(1“ 1111、,(8)dxxxxx1111 17x75x53x3 x 2解：方法一：思路：分項(xiàng)后湊積分。方法二： 思路：利用第二類換元法的倒代換。224(1 x)(1x2(1x)dxdx1 x2x (1 x )dxx)(1x)12 dx1 x1x|1一 C1xdxx8(1 x

27、2)t81(tdt)t8t2-dt1(t6 t4 t21 門(mén))dtt2(t6t4t21)dt(t6t4t21)dt!t5!t3IT7 x715x53x3)dtt 1ln|J| C21 x3、求以下不定積分。知識(shí)點(diǎn)：(真正的換元，主要是三角換元)第二種換元積分法的練習(xí)。思路分析：題目特征是-被積函數(shù)中有二次根式，如何化無(wú)理式為有理式？三角函數(shù)中,F列二恒等式起到了重要的作用。2 2 2 2sin x cos x 1; sec x tan x 1.以確保函數(shù)單調(diào)。不妨將角的范圍統(tǒng)為保證替換函數(shù)的單調(diào)性，通常將交的范圍加以限制，統(tǒng)限制在銳角范圍內(nèi)，得出新變量的表達(dá)式，再形式化地?fù)Q回原變量即可。 (1

28、)dx2'x思路：令xsin t,t2，先進(jìn)行三角換元，分項(xiàng)后，再用三角函數(shù)的升降幕公式。解：令xsint, tdx1x2，貝U dx costdt o 2costdt1 costdtdt1 costdt2cos2-2seC-d-2 2tt tan C2arcs in xx廠rx2 C.或arcs in x萬(wàn)能公式tan2si nt1 cost4!，又 sint si ntx 時(shí)，cost (2)廠9dxx思路:令x3sect，t0，I，三角換元。解：令x3sect,t(0,2)，那么 dx 3secttantdt ox29dxx3tan 3sect tan tdt 3 tan2tdt

29、3sect(sec2t1)dt3tan t 3t9 3arccos2 c. |x|(x 3secx 時(shí)，cosx3 . ,sin xx,ta nxx (3)dx，(x21)3思路:令xtant, t2三角換元。解：令xtant, tdx sec2tdt odx-2xsec tdt1)3sec tdtsectcostdt sin t (4)dx思路：令x atant,t ，三角換元。解：令 x ata nt, tdx(x2 a2)3,那么 dx2a sec tdt33Va sec ta sec2 tdt 。dta2 sectcostdt1 si nt Cx2C. (5)x2x£x思路:

30、先令ux2，進(jìn)行第一次換元;然后令tant, t進(jìn)行第二次換元。解：Qx2_X . x4Ldx1x2丄 dx2x2 . x41，令ux2 得:x2Idx1=du，令 u1tant, t，那么2dusec2 tdt，2xX、x411 dx11 _u_2 u * u21 (csct sect)dt ln1 du1sect2 2(與課本后答案不同) (6) 5思路：三角換元，解：Q5 4x1ln2u2 14x x2dx關(guān)鍵配方要正確。29 (x 2).5 4x x2dx29cos tdt9 x 2 arcs in23tant 1tant sectsec2 tdt1tantsectdttant 4、求

31、一個(gè)函數(shù)f (x),滿足f (x)1思路:求出廠的不定積分，由條件1-In csct cott21ln2C.3sin t, tcos2tdt2t9(2C.那么 dx 3costdt。1 si n2t) C41, ，且 f (0)1。.1 xf (0)1確定出常數(shù)C的值即可。1 1 解：Q dx d(x 1) 2 1 x C.一1 xJ x令 f(x) 2、x C，又 f(0)1，可知 C 1,f(x)=2、, x 1.1 5、設(shè) |ntann xdx,，求證：ln tann 1 x In2，并求 tan5 xdx。n 1思路：由目標(biāo)式子可以看出應(yīng)將被積函數(shù)tann x分開(kāi)成tann 2xtan

32、2 x，進(jìn)而寫(xiě)成：tann 2 x(sec2 x 1) tann 2 xsec x tann 2 x，分項(xiàng)積分即可。證明：ln tann xdx(tanxseEx tann 2 x)dxtann 2 x sec xdxtann 2 xdxtann 2 xd tan x I n 2n 1tan x I n 2. n 1n 5時(shí)，l5tan5 xdx14-ta n x 1341412-tan x - tan x 42I1tan4x San2 x42tan xdxSan4x tan2 x42In cosxC.習(xí)題4-31、求以下不定積分：知識(shí)點(diǎn)：根本的分部積分法的練習(xí)。思路分析：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕

33、、三、指順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號(hào)下湊微 分。的原那么進(jìn)行分部積分的練習(xí)。( 1)arcs in xdx思路：被積函數(shù)的形式看作 x0 arcsinx，按照“反、對(duì)、幕、三、指順序，幕函數(shù)x0優(yōu)先納入到微分號(hào)下，湊微分后仍為dx。解:arcs in xdx xarcs in x3x2d(1 "I11xdx x arcsi nx -1 x22xarcs inx 1 x2 C. ( 2)ln(1 x2 )dx思路：同上題。2 2解：ln(1 x )dx xln(1 x )x-12xln(1 x )2x21 x2dxxln(1 x2)2(x21)1 x22dxxl n(1 x2)2d

34、xdx1 x22xln(1 x ) 2x 2arctanx C. (3)arcta nxdx思路：同上題。解:arcta n xdx x arcta n xdxx arcta nxln(12x2)x-11 d(1 x2)x arcta n x曠2 1 x (4) e2xsinxdx212x . x12x 1xesinecos dx222221 2X2e )解:Q e2xsin2dx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指順序湊微分即可。1 e2xsinx1cos'd (1 e2x)2242212x x1 /12xx12 xxesin-(-e cos-e sin dx)224224212x x

35、12xx12x.x ,esinecosesin dx22821622xe sinxdx2 x2e 一亠 xC.1co)S J217222xsin2d(2 (5) x arctanxdx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指順序湊微分即可。2解:x arctan xdx1 xx arctan xd ()3 arctan x3亠dx31 x31 3 丄 1 X X X1 3 丄 1, x-x arctan x3312 xdxx arctan x -(x 12)dxx331 31 ,1x1 31 211 2、x arctanxxdx2dxx arctanxx2d(1 x )333 1x3661x2131

36、21x arctanxx ln(1 x ) C.366丄x , (6) xcos dx2思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指順序湊微分即可。局Xc.Xc .Xc .Xc .X,.XX解： xcosdx 2 xdsin 2xsin 2 sin dx 2xsin 4 sin d -2 2 222xsinx 4cos-2 xtan2xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、C.三、指順序湊微分即可。2解:xtan xdxx(sec2x 1)dx(xsec x x)dxxsec xdx xdxxd(ta nx)xdx xta nxtan xdxx22xta nxIn cosC. (8) In 2xdx順序湊微分

37、即可。思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指1 2x 2ln x dx xln x 2x解：In 2xdx xln2xIn xdxxlnx 2xln x-dxxxln2x 2xlnxdx xln2x 2xlnx 2xC. (9) xln(x 1)dx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指順序湊微分即可。解：xln(x 1)dxln(x-x2I n(x 1)2x2dxx2I n(x 1)21 x21 1dxx2I n(x 1)212 (X1x2I n(x 1)1ln(x 1) C (10) 2Xln 2xdx思路：嚴(yán)格按照解:昨 dxX1 I 2 In xx1 2 (In x xIn 2xd(丄X1 2

38、In x X1 2ln x dxiIn x XXX2 Inxd(丄X1 . 2 In xX2. In xX2 WdxX1 2 InXInx 2)C“反、x2lnx 2x x2 %x對(duì)、幕、三、指順序湊微分即可。 (11) cos In xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指順序湊微分即可。cosI n xdxcosIn xdxx(cosIn x sin In x) C.2xcosln x xsin In x (12)雪dxx思路：詳見(jiàn)第(10)小題解答中間，解答略。解:xn In xdxn 1x1n 1In xdx In xn 1 n 1思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指順序湊微分即可。1

39、n 1 x n 1xxn 11n xn 1xndxn 1丄宀Inxn 1C.解：Q cos In xdx xcos In xxsinlnx dx xcos In x sin In xdxxxcoslnx dx xcosInx xsin In xx (13) xn In xdx(n 1) (14) x2e xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指順序湊微分即可。解：x2e xdxx2e x e x2xdxx2e x 2xe x 2 e xdxx2ex 2xe x 2e x Ce x(x2 2x 2) C(15) x3(I nx)2dx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指順序湊微分即可。解：x3(I

40、 nx)2dx(I nx)2dCx4) - x4(I n x)2 - x4 2I nxdx444x14八、213 .In x, 14、21, 4x (Inx)x 1:dx -x (In x)In xdx4248-x4(Inx)21x4lnx14x1 . 1 dx -4214x (In x)xIn x13 ,x dx488x48814八、214 .1 4c 1 421C.x (Inx)x Inx一 xCx(2ln x In x-)483284 (16)x思路：將積分表達(dá)式 口也 dx寫(xiě)成In In xd (In x)，將In x看作一個(gè)整體變量積分即可。x解：In In x111dx In In

41、 xd(ln x) In xlnlnx In xdx InxlnlnxdxxIn x xxIn x ln In x In x C In x(ln In x 1) C.( 17) xsin xcosxdx11111xsin x cosxdxxsi n2xdxxd( cos2x)xcos2xcos2xdx222441c1xcos2xcos2xd2x11xcos2x sin2xC.4848思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指順序湊微分即可。解:(18)x2噸dx思路：先將cos2 x降幕得1 cosx2 2然后分項(xiàng)積分；第二個(gè)積分嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指順序湊微分即可。解:x2 cos dx2(1

42、 x2- x2 cosx)dx2 21 x2dx - x2 cosxdx2 21 31 2 .1 312 .1xx d sin xxx sinx 2xsin xdx626221 31 2 .11 31 2xx sin xxd cosxxxsinx x cosx6262cosxdx1 31 2x x sinx xcosx sinx C6 2 (19) (x2 1)si n2xdx思路：分項(xiàng)后對(duì)第一個(gè)積分分部積分。2解：(x 1)si n2xdx2x sin 2xdx sin 2xdx2Ix d( cos2x)cos2x22221 cos2x-2 Xcos2x1xsin 2x2221 2 xcos

43、2x-xsi n 2x1ccos2x2241 213_xcos2xxsi n 2x一 cos2x224 (20)3 Ze dx思路：首先換兀，后分部積分。121C(2sin 2xdx)s2x22-cos2x C213xC(xsini 2x-)cos 2x sin2x C22 2解：令t 3x, 那么 x t3, dx 3t2dt,3 xt 2t 22 t2 tte dx e 3t dt 3 et dt 3 t de 3t e 3 2te dt2 tt2 ttt2 ttt3tdxel 3 2tdel 3t2d 6e 6 ddt3t2d 6el 6el C3.1 x2 x2e x 6e x 6e x C3e3.3 x223 x 2) C.(21)(arcsi nx)2dx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指順序湊微分即可。2解:(arcsin x) dxx(arcsin x)2arcsin x ,x(arcsin x)2arcs in xFd(1x2)x(arcsin x)2 2 arcsinxd(. 1 x2)x(arcsi nx)22,1 x2 arcsinxx(arcsi nx)22.1 x2 arcsinx21/ x2 dx_2 dx x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsinx 2x C. (22) e2 sinxdx思路：嚴(yán)格按照 解：方法一：&quo