2016年全國2卷高考文科數(shù)學(xué)試卷及答案

1、2016年普通高等學(xué)校招生全統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共24題，共150分、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。(1)已知集合A="2,3,B=1xx2<9則APlB=(2)(3)(4)(5)(6)(A) -2,-1,0,123(B)-1,0,1,2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i =3i ,則z =(A) -1 +2i(B) 1 -2i(C) 3 2i函數(shù)y = Asin（x +平）的部分圖像如圖所示，則一 .一 冗、(A) y =2sin(2x -)(B) y = 2sin(2x-) 3(C)

2、(D)"1,2,3?3-2i(D)七,2(C) y =2sin(2x ) 6(D) y = 2sin(2x+) 3體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為(A) 12n32(B) 二3(C) 8二(D)設(shè)F為拋物線C :1 (A)一2圓 x2 , y2(A) 32ky2=4x的焦點，曲線y = （k A0）與C交于點P x(B) 13（C）2 2x8y+13=0的圓心到直線ax+ y1=0的距離為1,（B）4(C) 3(D) 2右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(A)20 71(B)24兀(C)28兀PF _L x 軸,(D) 2(D)3

3、2兀(8)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待 15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(A)5(B)-8(D)(9)中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，右圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x = 2 , n =2,依次輸入的a為2, 2, 5,則輸出的s =(A) 7(B) 12(C) 17(D) 34(10)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù) y =101gx的定義域和值域相同的是x1(A) y=x(B)y =1gx(C)y=2(D)y= ix冗(11)函數(shù) f (x) =cos 2x+6cos (二-x)的最大值

4、為 2(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(12)已知函數(shù) f (x) (x w R)滿足 f (x) = f (2 x),若函數(shù) y = x2 - 2x - 3 與my = f(x)圖像的交點為(xi, y1),(x2,y2),，(xm,ym),則 Z xii 1(A) 0(B) m(C) 2m(D) 4m第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)(21)題為必考題，每個試題都必須作答。第(22)(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答。、填空題：本題共4小題，每小題5分。(13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a/b,則m=.工x-y1-0,(14)若x,y滿足約束條件x

5、+y3至0,則z=x2y的最小值為、x-3<0,4一5(15)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分力1J為a,b,c,右cosA=，cosC=，a=1/lb=513(16)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2"，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1"，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5"，則甲的卡片上的數(shù)字是.、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分12分)等差數(shù)列l(wèi)an中，且a3+a4=4,a5+a7=6.(i)求An)的通項公

6、式；(n)記bn=口口求數(shù)列依的前10項和，其中IX】表示不超過x的最大整數(shù)，如b.9】=0,12.6】=2.(18)(本小題滿分12分)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234至5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了設(shè)該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表:出險次數(shù)01234>5概數(shù)605030302010(I)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的估計值;(n)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基

7、本保費的160%'.求P(B)的估計值;(m)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.(19)(本小題滿分12分)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E,F分別在AD,CD上，AE=CF,EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置.(I)證明：AC_LHD(n)若AB=5,AC=6,AE=5,OD'=2J2,求五棱錐D'ABCFE的體積.4(20)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnxa(x1).(i)當(dāng)a=4時，求曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程;(n)若當(dāng)xw(1,+=c)時，f(x)>0,求a的取值范圍.(21)(本小題

8、滿分12分)22已知A是橢圓E：土+L=1的左頂點，斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點，點N在E43上，MA_NA.(I)當(dāng)AM=|AN時，求4AMN的面積；(n)當(dāng)2AM=AN時，證明：v3<k<2.請考生在第(22)(24)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。(22)(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖，在正方形ABCD中，E,G分別在邊DA,DC上(不與端點重合)，且DE=DG,過D點作DF1CE,垂足為F.(I)證明：B,C,G,F四點共圓;(n)若AB=1,E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積.AB(23)(本小題滿分10分)選修4

9、-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22_在直角坐標(biāo)系x0y中，圓C的方程為(x+6)+V=25.(I)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；xtcosot(n)直線l的參數(shù)方程是3x,(t為參數(shù))，l與C交于A,B兩點，AB=J10,求l的斜率.y=tsina,(24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講11、一已知函數(shù)f(x)=x-/+x+5，M為不等式f(x)<2的解集.(I)求M;(n)證明：當(dāng)a,bwM時，a+b<|1+ab.2016年全國卷n高考數(shù)學(xué)(文科)答案A(4) A D(6) AC(10) D(11) B(12) B(15) 21(16) 1

10、 和 3131 .選擇題(1) DC(3)C(8)B(9)2 .填空題(13) -6(14)-5三、解答題(17)(本小題滿分12分)(I )設(shè)數(shù)列an的公差為2d,由題意有2al5d=4,a15d=3解得a11,d,5所以an的通項公式為an(n)由(i)知bn=12nl3當(dāng)n=1,2,3時，1M2n3<2,bn=1；52n3當(dāng)n=4,5時，2<<3,bn=2；5當(dāng)n=6,7,8時，3<2n3<4,bn=3;52n3當(dāng)n=9,10時，4<-<5,bn=4,所以數(shù)列bn的前10項和為1父3+2父2+3父3+4父2=24.(18)(本小題滿分12分)(I

11、 )事彳A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)險次數(shù)小于2的頻率為60 50200= 0.55 ,1且小于4.由是給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于 1且故P(A)的估計值為0.55.(II)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于小于4的頻率為30+30=0.3,200故P(B)的估計值為0.3.(m)由題所求分布列為:保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查200名續(xù)保人的平均保費為0.85aX0.30+ax0.25+1.25a父0.15+1.5a黑0.15+1.75a父0.30+2ax0.10=1.1925a,因此，

12、續(xù)保人本年度平均保費估計值為1.1925a.(19)(本小題滿分12分)(I)由已知得，AC_BD,AD=CD.AECF又由AE=CF得CE=CF,故AC/EF.ADCD由此得EF_LHD,EF_LHD',所以AC/HD:.OHAE1(II)由EF/AC得OH=.DOAD4由AB=5,AC=6得DO=BO=JAB2-AO2=4.所以O(shè)H=1,DH=DH=3.于是OD”十OH2=(272)2+12=9=D'H2,故OD'_LOH.由(I)知AC_LHD',又AC_LBD,BDnHD'=H,所以AC_L平面BHD:于是AC-LOD:又由OD'_LOH

13、,ACpOH=O,所以，OD'_L平面ABC.又由EFACDHDO得 EF =9.211969五邊形ABCFE的面積S=父6父8父一父3=.2224一.169-23.2所以五棱錐D'-ABCEF體積V=1:空*2，2=旦工.342(20)(本小題滿分12分)(I)f(x)的定義域為(0,十比).當(dāng)a=4時，1一.f(x)=(x+1)lnx4(x1),f(x)=lnx+3,f(1)=-2,f(1)=0.曲線y=f(x)在(1,f(1)處x的切線方程為2x-y-2=0.(II)當(dāng)xW(1,+g)時，f(x)>0等價于lnx-a(x1)>0.x1令g(x)=lnx-a(x

14、,則x12a(x 1)2x2 2(1 -a)x 12x(x 1),g(1) = 0(i)當(dāng)a£2,xw(1,")時，x2+2(1a)x+1之x22x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在xw(1,依)上單調(diào)遞增，因此g(x)>0；(ii)當(dāng)a:>2時，令g'(x)=0得x1a1-J(a"J-1,x2=a-1+J(a-1)?_1,由x2A1和x1x2=1得x1<1,故當(dāng)xw(1，x2)時，g'(x)<0,g(x)在xw(lx2)單調(diào)遞減，因此g(x)：二0.綜上，a的取值范圍是(-餡,21(21)(本小題滿

15、分12分)(I)設(shè)M(x,y1)，則由題意知y1>0.由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為；，又A(2,0),因此直線AM的方程為y=x+2.22將x=y2代入±+L=1得7y2_12y=0,431212解得y=0或y=所以y1=y11212144因此AAMN的面積S於MN=2父1父上乂上二144.A2774922(II)將直線AM的方程y=k(x+2)(kA0)代入圣十2-=1得4322_2_2(34k2)x216k2x16k2-12=0.由 x1 ( -2)=16k2 -123 4k2得x1 =2(3 -4k2)3 4k2，故 | AM |= 1 k2|Xi 2|=1

16、2.1 k23 4k2由題設(shè)，直線1 .AN的萬程為y = (x + 2),故同理可得k|AN尸12k 1 k24 3k2,r2kr32由21AMHAN|得2=2,即4k36k2+3k8=0.34k243k2設(shè)f(t)=4t36t2+3t8,貝Uk是f(t)的零點，f'(t)=12t212t+3=3(2t1)2之0,所以f(t)在(0,+oc)單調(diào)遞增，又f(73)=15喬-26<0,f(2)=6A0,因此f(t)在(0,+/)有唯一的零點，且零點k在(J3,2)內(nèi)，所以J3<k<2.(22)(本小題滿分10分)(I)因為DF1EC，所以ADEF-ACDF,則有.GD

17、F=.DEF=.FCB,=CFCDCB所以ADGFACBF,由此可得ZDGF=NCBF,由此ZCGF+/CBF=180°，所以B,C,G,F四點共圓(II)由B,C,G,F四點共圓，CG_LCB知FG_LFB,連結(jié)GB,由G為RtADFC斜邊CD的中點，知GF=GC,故RtBCGRtBFG,因此四邊形BCGF的面積S是AGCB面積S居CB的2倍，即S -2S,GCB11=2122(23)(本小題滿分10分)(I)由x=Pcose,y=Psin8可得C的極坐標(biāo)方程P2+12Pcos8+11=0.(II)在(I)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為e=ot(PwR)由A,B所對應(yīng)的極徑分別為R,%,將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得P212Pcos：；11=0.于是：1P2=-12cos;，：1P2=11,|ABHR-：2|=,(R：2)2-4：1：2-144cos21-44,由|AB|=>/10得cos2a=3,tana=±,83所以i的斜率為W5或一裝.33(24)(本小題滿分10分)1111(I)先去掉絕對值，再分x<2，-2Ex=2和xA/三種情況解不等式，即可得M；(II)采用平方作差法，再進行因式分解，進而可證當(dāng)a,bwm時，a+b<1+ab.-2x,x<-,2一11試題斛析