2016屆南京、鹽城高三數(shù)學(xué)期末試卷要點

1、2016屆高三模擬考試試卷(一)數(shù)學(xué)(滿分160分，考試時間120分鐘)2016.1參考公式：錐體的體積公式：V=1Sh,其中S為底面積，h為高.3一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.1 .已知集合A=x|x21=。,B=1,2,5,則AAB=.2 .已知復(fù)數(shù)z="(i是虛數(shù)單位)，則憶尸.Ii3 .書架上有3本數(shù)學(xué)書，2本物理書.若從中隨機取出2本，則取出的2本書都是數(shù)學(xué)書的概率為.4 .運行如圖所示的偽代碼，其結(jié)果為.S1ForIFrom1To7Step2S-S+IEndForPrintS5 .某校高一年級有學(xué)生400人，高二年級有學(xué)生360人，現(xiàn)采用分層抽樣的方

2、法從全校學(xué)生中抽取55人，其中從高一年級學(xué)生中抽取20人，則從高三年級學(xué)生中抽取的人數(shù)為6 .在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，若曲線C經(jīng)過點P(1,3),則其焦點到準線的距離為.x+y5<0,7 .已知實數(shù)x,y滿足2xy+2>0,則目標函數(shù)z=xy的最小值為.b>0,8 .若一個正方體與底面邊長為2點，側(cè)棱長為版的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長為.兀3lr9 .在4ABC中，設(shè)a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若a=5,A=,cosB=g,則邊c=.10 .設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和，an>0,若S6-2S3=5,則S

3、9S6的最小值為11 .如圖，在ABC中，AB=AC=3,cos/BAC=3,DC=2BD,則aDbC的值為12 .在平面直角坐標系xOy中，過點P(-4,0)的直線l與圓C:(x1)2+y2=5相交于A、B兩點.若點A恰好是線段PB的中點，則直線l的方程為.13 .設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)=2x+mX,設(shè)g(x)=f'x>1若函數(shù)2f(x),x<1,y=g(x)t有且只有一個零點，則實數(shù)t的取值范圍是.-x3+x2,x<e,14 .設(shè)函數(shù)y="的圖象上存在兩點P、Q,使得POQ是以。為直角頂|alnx,x>e點的直角三角形(其中。為

4、坐標原點)，且斜邊的中點恰好在y軸上，則實數(shù)a的取值范圍是二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15 .(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(3葉(),>0,3>0,-2-<4<2,xR，勺部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式；兀兀，一，一一(2)當xC5,萬時，求f(x)的取值氾圍.16 .(本小題滿分14分)如圖，已知直三棱柱ABCAiBG的側(cè)面ACCiAi是正方形，點O是側(cè)面ACCAi的中心,兀一，I，,、ZACB=,M是棱BC的中點.求證：(1)OM/平面ABB1A1；(2)平面ABC1,平面

5、AiBC.B17 .（本小題滿分14分）如圖所示，A,B是兩個垃圾中轉(zhuǎn)站，B在A的正東方向16km處，直線AB的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個垃圾發(fā)電廠P垃圾發(fā)電廠P的選址擬滿足以下兩個要求（A,B,P可看成三個點）：垃圾發(fā)電廠到兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；垃圾發(fā)電廠應(yīng)盡量遠離居民區(qū)（這里參考的指標是點P到直線AB的距離要盡可能大）.現(xiàn)估測得A,B兩個中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為30t和50t,問垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時滿足上述要求？北川民生活區(qū)18 .(本小題滿分16分)2從原點OP, OQ如圖，在平面直角

6、坐標系xOy中，設(shè)點M(xo,yo)是橢圓C：*+丫2=1上一點,。向圓M:(xxo)2+(yyo)2=r2(r>0)作兩條切線分別與橢圓C交于點P,Q,直線的斜率分別記為ki,k2.(1)若圓M與x軸相切于橢圓C的右焦點，求圓M的方程；若(2)右5.求證：kik2=1;4求OP9Q的最大值.19 .(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=ax的圖象在x=0處的切線方程為v=x,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).e(1)求實數(shù)a的值；1(2)若對任意的xC(0,2),都有f(x)<k+2x_x2成立，求實數(shù)k的取值范圍；(3)若函數(shù)g(x)=lnf(x)-b(bR)的兩個零點為xnx2,試判斷

7、g，,；，2j的正負，并說明理由.20 .(本小題滿分16分)設(shè)數(shù)列an共有m(mCN,m>3)項，記該數(shù)列前i項ai,a2,，司中的最大項為A、,該數(shù)列后mi項ai+i,3i+2,，am中的最小項為Bi,u=AB*=i,2,3,，m-1).(1)若數(shù)列an的通項公式為an=2n,求數(shù)列ri的通項公式；(2)若數(shù)列an是單調(diào)數(shù)列，且滿足ai=1,n=2,求數(shù)列an的通項公式；(3)試構(gòu)造一個數(shù)列an,滿足an=bn+Cn,其中bn是公差不為零的等差數(shù)列，Cn是等比數(shù)列，使得對于任意給定的正整數(shù)m(mCN,m>3),數(shù)列都是單調(diào)遞增的，并說明理由.2016屆高三模擬考試試卷（一）數(shù)學(xué)

8、附加題（滿分40分，考試時間30分鐘）21 .【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分.若多做，則按作答的前兩題計分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.A.（選彳4-1:幾何證明選講）如圖，AB為圓。的直徑，直線CD與圓。相切于點D,ACXCD,DEXAB,C、E為垂足，連結(jié)AD,BD.l2AC=4,DE=3,求BD的長.B.（選彳4-2:矩陣與變換）設(shè)矩陣M=10QeR）的一個特征值為2.在平面直角坐標系xOy中若曲線C在矩陣M211變換下得到的曲線的方程為x2+y2=1,求曲線C的方程.C.（選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程）在極坐標系中，已知點A的

9、極坐標為亞，十!,圓E的極坐標方程為P=4cos0+4sin0，試判斷點A和圓E的位置關(guān)系.D.（選彳4-5:不等式選講）已知正實數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=1.求證：yj1+2a+.1+2b+q1+2c+1+2d<2.6.【必做題】第22、23題，每小題10分，共20分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.22.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB，AC,AB=2,AC=4,AA1=2,設(shè)BD=臉正R).(1)若41,求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1A1C1D的大小為60°,求實數(shù)入的值.n,23.設(shè)集合M=1,2,3,，n(

10、nCN,n>3),記M的含有三個元素的子集個數(shù)為S同時將每一個子集中的三個元素由小到大排列，取出中間的數(shù)，所有這些中間的數(shù)的和記為Tn.T3T4T5丁6g/士分別求S3，S4,S?S'的值;(2)猜想Tn關(guān)于n的表達式，并證明之.Sn2016屆高三模擬考試試卷（一）（南京、鹽城）數(shù)學(xué)參考答案及評分標準1. -1 2.手3. 4.17 5.17 6. 9 7.-3 8. 2 9. 7 10. 20 11. -21012. x±3y+4=013.15.解：（1）由圖象知,又卜答一專=3,，3 32, 214. 0,1e+ 1A = 2, (2 分)3 >0,所以2 冗

11、 ，iT=2 兀=,得 3= 1.(4 分)3所以 f(x) =2sin(x+ (j)將點 372代入,口 冗兀得萬+ 萬+2k兀（kC Z）,rr，兀兀即 -6+ 2k % (k Z).又一萬v兀所以。=6.（6分）所以 f(x) = 2sin 3 + / j(8 分)(2)當 xC兀 兀lrr_L兀廠了,萬，時，x + e7t3,2兀3(10 分)所以sin |x+y 產(chǎn)手，1L即f(x)£43,2.(14分)16 .證明：（1）在AARC中，因為。是A1C的中點，M是BC的中點，所以O(shè)M/AB.（4分）又OM名平面ABB1A1,AbU平面ABB1A1,所以O(shè)M/平面ABB1A1

12、.6分）（2）因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CCJ底面ABC,所以CCJBC.兀一一/.,一又/ACB=y,即BCXAC,而CC，ACJ平面ACC1A1,且CCnAC=C,所以BCL平面ACCA1.(8分)而AC1U平面ACC1A1,所以BCXAC1.又ACCiAi是正方形，所以AiCACi.而BC,AiC平面AiBC,且BCAAiC=C,所以ACJ平面ABC.（12分）又ACU平面ABC,所以平面ABCJ平面AiBC.（14分）一PA50517 .解：（解法1）由條件，得而=30=3.（2分）所以點P到直線AB的距離h=PAsin/PAB=5x、/1一雋設(shè) PA=5x, PB=3x,

13、貝U cos/ PAB =(5x) 2+162 ( 3x2)2X 16X 5x(6分)-：(x234)2+225,(10分)所以當x244k244k24 （1+k2所以O(shè)P . OQ = 訴行 帝后萬 百!+。2/1 + 4k2=34,即x=停時，h取得最大值15km,即選址應(yīng)滿足PA=5>/34km,PB=3j34km.(14分)分)(解法2)以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系.（2則A（-8,0）,B（8,0）.分)由條件,得合親3.（4設(shè)P(x,y)(y>0),則3個(x+8)2+y2=57(x8)2+y2,化簡，得(x-17)2+y2=152(

14、y>0),(10分)即點P的軌跡是以點(17,0)為圓心，15為半徑的位于x軸上方的半圓.則當x=17時，點P到直線AB的距離最大，最大值為15km.所以點P的選址應(yīng)滿足在上述坐標系中其坐標為(17,15)即可.(14分)18 .(1)解：因為橢圓C右焦點的坐標為(m,0),所以圓心M的坐標為勺3,±2I,(2分)從而圓M的方程為自一卷)2+,j=：.(4分)Kxoy0|2V5（2）證明：因為圓M與直線OP:y=k1x相切，所以 + 4k2r-T'=-,Vk2+15即（45x0）k2+10x0y0k1+4-5y0=0,（6分）同理，有（45x0）k2+10x°

15、y0k2+45y0=0,所以k1，k2是方程（45x2）k2+10x0y0k+45y2=0的兩根，（8分）分)從而k1k2=245yo2245xo5-45X20D解：設(shè)點B（x1,y1）,P2（x2,y2）,同理,2X2=4k21+4k22o5-4x十15X1八；.（10分）y=k1x,聯(lián)立x:2彳廣丫=1，解得x2=4k21+4k2'yL1+4kf（124（1+k2）224k十121 + 16k11 + 4k2（14 分）24+4k1i5+20k?"2W：1J4k2；2=25當且僅當k1=4時取等號所以O(shè)P9Q的最大值為5.(16分)I十4k1422a(1x)19 .解：(

16、1)由題意得f'(x)x7,因函數(shù)在x=0處的切線方程為y=x,e所以(劣a=1,得a=1.(4分)(2)由(1)知f(x)12對任意xC(0,2)都成立，ek+2x-x所以k+2x-x2>0,即k>x22x對任意xC(0,2)都成立，從而k>0.(6分)又不等式整理可得k<e-+x2-2x,令g(x)=e-+x2-2x,xx一axx1)公-、所以g(x)(x2+2(x-1)=(x-1)x+2廠0,得x=1,(8分)當xC(1,2)時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，同理，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以k<g(x

17、)min=g(1)=e-1.綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是0,e1).(10分)(3)結(jié)論是g'ix1/i<0.(11分)證明：由題意知函數(shù)g(x)=lnx-x-b,所以gz(x>1-1=1x,xx易得函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以只需證明嗎*>1即可.(12分)x1+b=lnx1，因為x1，x2是函數(shù)g(x)的兩個零點，所以+b相減得x2-x1=ln-.不妨令 xf=t>1,則 5tX1,則 tx1x1 = lnt，所以 x1 =1二1ntx2= TTInt,t- 1即證巖1nt>2,II、一_ t 1 一即證$ (中l(wèi)

18、nt 2幣>0.(14分)一 ,1因為(j)件),一(t1)(t+ 1) 2=t (t+1)2-2>0,所以。(t在(1 , +8 )上單調(diào)遞增，所以 (j) (t)>4(1)=0.綜上所述，函數(shù)g(x)總滿足g(16 分)Bi = 2i + 1,20.解：(1)因為an=2n單調(diào)遞增，所以Ai=2i所以ri=2i2i+1=2i,1WiWm1.(4分)(2)若an單調(diào)遞減)則Ai=a1=1,Bi=am,所以ri=a1am>0,不滿足i=25所以an單調(diào)遞增.(6分)則Ai=a(,Bi=aj+1,所以ri=ai2+1=2,即ai+1ai=2)1wiwm1)所以an是公差為

19、2的等差數(shù)列，an=1+2(n-1)=2n-1,1wnWm1.(10分)”(12 分).1n(3)構(gòu)造an=nq)其中bn=n?cn=一下證數(shù)列an滿足題意.證明：因為an=n所以數(shù)列an單調(diào)遞增,所以Ai=ai=i1,Bi=3+1=i+12/,(14分)所以U=2ai+i=1&j,iwiwm1.因為ri+Lr產(chǎn)_T-g)卜1-/1C)>0'所以數(shù)列ri單調(diào)遞增，滿足題意.(16分)(說明：等差數(shù)列bn的首項bi任意，公差d為正數(shù)，同時等比數(shù)列Cn的首項ci為負,公比qC(0,1),這樣構(gòu)造的數(shù)列an都滿足題意.)2016屆高三模擬考試試卷（一）（南京、鹽城）數(shù)學(xué)附加題參

20、考答案及評分標準21.A.解：因為CD與圓O相切于D,所以/CDA=/DBA.(2分)因為AB為圓O的直徑，所以/ADB=90°.又DELAB,所以EDAADBA,所以/EDA=/DBA,所以/EDA=/CDA.(4分)又/ACD=/AED=90°,AD=AD,所以ACDAED.所以AE=AC=4,所以AD=AE2+DE2=5.(6分)pDEAEDEAc15八又小=AD，所以BD=AE.八口=7.(10分)B.解：由題意，矩陣M的特征多項式f（入今（ka）（關(guān)1）,因矩陣M有一個特征值為2,f（2）=0,所以a=2.（4分）所以MH20=干，即尸2x，yJ_21_Ly_兇一

21、|y=2x+y,代入方程x2+y2=1,得（2x）2+（2x+y）2=1,即曲線C的方程為8x2+4xy+y2=1.（10分）C.解：點A的直角坐標為（2,2）,（2分）圓E的直角坐標方程為（x2）2+（y2）2=8,（6分）則點A到圓心E的距離d=7（2-2）2+（-2-2）2=4>r=2寸2,所以點A在圓E外.（10分）D.證明：因為（，1+2a+-1+2b+-1+2c+他+2d）%4（1+2a+1+2b+1+2c+1+2d),(6分)又a+b+c+d=1,所以(41+2a+勺1+2b+1+2c+1+2d)2<24,即，1+2a+/+2b+、1；2c+1+2d<276.(

22、10分)22 .解：分別以AB,AC,AAi所在直線為x,V,z軸建立空間直角坐標系.則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C(0,4,2).(2分）(1)當上1時，D為BC的中點，所以D(1,2,0),DB1=(1,2,2),AC1=(0,4,0),a1D=(1,2,-2).設(shè)平面A1C1D的法向量為n1=(x,y,z),4y=0,則所以取n1=(2,0,1).Ix-2z=0,DB1.n144|DB1|m| 3-5又cosDB1,“=r=Tj5,所以直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值為14575.（6分）（2）因為BD=反，所以D所以alCi=（0,4,0）,AD=2,541，2j4y=0,設(shè)平面AiCiD的法向量ni=（x,y,z）,則12一十1x-2z=0,所以取n1=（計1,0,1）.1又平面AiBiCi的一個法向重為n2=（0,0,1）,由題息得|cos”,如|=萬，所以j1=2=解得入=J31或入=J3-1（不合題意，舍去），q（入+1）2+12vn所以實數(shù)入的值為431.（10分）23 .解：（1）£=2，4=3，£=3，£=：（4分）S3S42S5S62Tnn+1（2）猜想Sn=-2-（5分）下用數(shù)學(xué)歸納法證明之.證明：當n=3時，由（1）知猜想成立；假設(shè)當n=