優(yōu)質課教學設計：正余弦定理應用舉例版含答案

1、人教版必修五1、2應用舉例教學設計一、教材分析本節(jié)課是學習了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計算之后的一節(jié)實際應用課,可以說是為正弦定理、余弦定理的應用而設計的,因此本節(jié)課的學習具有理論聯(lián)系實際的重要作用。在本節(jié)課的教學中用方程的思想作支撐,以具體問題具體分析作指導,引領學生認識問題、分析問題并最終解決問題。二、教學目標設置根據(jù)本節(jié)課的教學內容以及學生的認知水平,確定了本節(jié)課的教學目標：知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題,了解測量的方法和意義會在各種應用問題中,抽象或構造出三角形,標出已知量、未知量,確定解三角形的方法,搞清利用解斜三角形可解決的

2、各類應用問題和基本圖形和基本等量關系,過程與方法：采用啟發(fā)與嘗試的方法,讓學生在解決實際問題中學會正確識圖、畫圖、想圖,幫助學生逐步構建知識框架。通過解三角形的應用的學習,提高解決實際問題的能力；通過解三角形在實際中的應用,要求學生體會具體問題可以轉化為抽象的數(shù)學問題,以及數(shù)學知識在生產、生活實際中所發(fā)揮的重要作用情感、態(tài)度、價值觀：激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并體會數(shù)學的應用價值培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題意和應用轉化思想解決數(shù)學問題的能力進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力三、學生學情分析本節(jié)課的教學對象是云南師范大學實驗中學高二年級的學生.1、已有的能力：

3、學生已經學習了正弦定理和余弦定理，能夠運用解決一些三角形問題，具有了一定的基礎。2、存在的問題：學生在運用正弦定理和余弦定理解三角形的時候不能將實際問題轉化成數(shù)學問題的問題，構造模型的能力有待提高。難點：1.實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形得到實際問題的解2、根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖突破策略：(1)在探索概念階段，讓學生和老師共同參與完成例1.讓學生體會實際問題建立數(shù)學模型，解答數(shù)學模型，再得到實際問題解的過程。(2)在應用概念階段，通過對解答過程的分析，幫助學生掌握在實際問題中找尋可解三角形的實際過程。(3)教師啟發(fā)引導，組織學生交流研討，展現(xiàn)思維過程.五、教學過

4、程設計【教學過程】一、創(chuàng)設情境，明確目標請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間,不能用全等三角形的方法來測量，所以,有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理

5、在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離?！緦W生活動】感受生活中的數(shù)學，體會了生活中測量距離的現(xiàn)實需要.【教師活動】通過實例，引導學生體會生活中的數(shù)學無處不在，數(shù)學對生活的影響無處不在.數(shù)學方法是解決實際問題的一大途徑。實際問題推動數(shù)學發(fā)展，數(shù)學發(fā)展推動科學技術發(fā)展?！驹O計意圖】通過引言，讓學生體會解三角形在生活中的廣泛應用，激發(fā)學生對于本堂課內容的濃厚興趣.二、實際問題，建立數(shù)學模型例1、如圖所示，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離是55m/BAC=5i，NACB=75葭求A、B兩點的距離（精確到0、1m）啟發(fā)提問1：

6、AABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當?啟發(fā)提問2:運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角,AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的又t角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得AB=ACsin.ACBsinABCAB=ACsin.ACB=55sin.ACB=55sin75sin/ABCsin.ZABCsin(180-51-75)=55sin755y65、7(m)sin54答:A、B兩點間的距離為65、7米【學生活動】：思考并提出解決這個

7、實際問題的方法?！窘處熁顒印浚涸诤蛯W生討論建立數(shù)學模型的方法上著重強調可行性。讓學生充分展示自己的見解，營造一個探討和辯論的氛圍，激發(fā)學生的創(chuàng)造力。【設計意圖】：“數(shù)學源于生活，生活依靠數(shù)學，而數(shù)學建模問題貼近生活，充滿趣味性；使學生更深切地感受到數(shù)學與實際的聯(lián)系，感受到數(shù)學問題的廣泛，使學生對于學習數(shù)學的重要性理解得更為深刻”。并從中體會數(shù)學建模的思想。例2、如圖,A、B兩點都在河的對岸(不可到達)，設計一種測量AB兩點間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與一邊既可

8、求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計算出AB的距離。圖1.2-2解：測量者可以在河岸邊選定兩點CD,測得CD=a并且在CD兩點分別測得.BCA=,/ACD=,ZCDB=,/BDA=，在AADCF口ABDCJ,應用正弦定理得AC=asin（/i!r）=asin（；v：i；r）sin180_（p-，5）sin（p-，-：.）BC=_asin=asinsin180一（工L-）sin（二一）計算出AC和BC后，再在ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離AB=AC2BC2-2ACBCcos;【學生活動】：小組討論并提出解決這個實際問題的方法?！窘處熁顒印浚鹤寣W生充分展示自己的

9、見解，并歸納總結學生的解題方法?！驹O計意圖】：引導學生尋求在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。并強化學生的數(shù)學建模意識?；犹骄繉W習活動：探究載客游輪能否觸礁播放意大利豪華游輪觸礁新聞創(chuàng)設一個實際問題的情景一輪船在海上由西向東航行，測得某島M在A處的北偏東口角，前進4km后，測得該島在P角，已知該島周圍3、5km范圍內有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行。(1)若口=2P=600，問該船有無觸礁危險？如果沒有請說明理由；(2)如果有，那么該船自B處向東航行多遠會有觸角危險如下圖，

10、作MCLAB垂足為CElBDC由已知a=60,B=30,./AB附120，/AMB30 .BM=AB=4,/MBC60,.MRBMsin60=2%行3、5, 該船有觸礁的危險.(2)設該船自B向東航行至點D有觸礁危險，連接MD則MD3、5,BM4,BC2,MC2,在*MDW,CD=-=05,BD=1、5(km). 該船自B向東航行1、5km會有觸礁危險.【學生活動】：小組討論我們如何考慮是否會觸礁？如何建立數(shù)學模型解釋這個問題。讓學生建模求解并鼓勵用不同方法去求解這個問題?！窘處熁顒印浚鹤寣W生充分展示自己的見解。鼓勵學生用不同方法去求解?！驹O計意圖】：重在學生培養(yǎng)“翻譯”能力學會分析關系、領悟

11、實質。弄清問題所述的事件和研究對象；抓住題目中的關鍵字句，正確把握其含義；根據(jù)題意，弄清題中各有關量的數(shù)量關系；抓住問題中的主要問題，正確識別其類型。培養(yǎng)學生將實際問題抽象為數(shù)學問題,從實際問題關系中找出最關鍵的數(shù)量關系，將此關系用有關的量及數(shù)字、符號表示出來，體會建模的過程。預留課后思考題(3)當口與P滿足什么條件時，該船沒有觸角危險設C陣X,在zMA沖,sinZJA/5=sinZA/AB,即吆二到=三,8陣，血”叫4cos-cos而x=BM-sin/MBC=BM-cosB=電11g一田,4cos.cos了cow改7.當x3、5,而9-f),即sing一為擊時，該船沒有觸礁危險.設計意圖：該

12、問題有一定難度留為課下自主合作探究討論的問題讓課上到課下得到延伸。同事培養(yǎng)學生自主學習合作交流的能力課堂小節(jié)：(采用提問形式，學生闡述，老師適當補充)1、解斜三角形應用題的一般步驟：2、利用正弦定理和余弦定理來解題時,要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖，要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕?、解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。作業(yè)：課后小題123,以及合作探究第三問1、2應用舉例教學設計反

13、思一.反思設計意圖本節(jié)課是學習了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計算之后的一節(jié)實際應用課，可以說是為正弦定理、余弦定理的應用而設計的因此本節(jié)課的學習具有理論聯(lián)系實際的重要作用。并根據(jù)本節(jié)課的教學內容以及學生的認知水平，確定了本節(jié)課的教學目標本節(jié)課的教學對象是云南師范大學實驗中學高二年級的學生.學生已經學習了正弦定理和余弦定理，能夠運用解決一些三角形問題，具有了一定的基礎。但學生在運用正弦定理和余弦定理解三角形的時候不能將實際問題轉化成數(shù)學問題的問題,構造模型的能力有待提高。我認為本堂課學生難點在于：實際問題中抽象出一個或幾個三角形,然后逐個解決三角形,得到實際問題的解并且能根據(jù)題意建立數(shù)學模

14、型,畫出示意圖。二反思設計思路第一階段：情境引入本節(jié)課我以課本引言第一章“解三角形”中,我們遇到這么一個問題,“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”作為課題的引入。讓學生體會學生體會生活中的數(shù)學無處不在,數(shù)學對生活的影響無處不在數(shù)學方法是解決實際問題的一大途徑。實際問題推動數(shù)學發(fā)展,數(shù)學發(fā)展推動科學技術發(fā)展。讓學生體會解三角形在生活中的廣泛應用,激發(fā)學生對于本堂課的濃厚興趣。第二階段：實際問題,建立數(shù)學模型引入課題后,向學生介紹例1（一點可到達距離測量問題）引導學生將實際問題抽象概括出示意圖,并建立數(shù)學模型,再經過數(shù)學模型的解來解答實際問題?！皵?shù)學源于生活,生活依靠數(shù)學,而數(shù)學建模問題貼近

15、生活,充滿趣味性；使學生更深切地感受到數(shù)學與實際的聯(lián)系,感受到數(shù)學問題的廣泛,使學生對于學習數(shù)學的重要性理解得更為深刻”。在討論問題時把重點放在解決此問題的可行性上,學生在初中學習了解直角三角形,相似三角形等方法都可測量舉例但應用我們高中正余弦定理在于可行性很強。第三階段：深化第二例例2是在例題一基礎上建立的另一類測量距離的問題。在例題一得到順利解決的前提下引入例題2這時學生躍躍欲試。在例題二教學中依然不給學生做出圖形,培養(yǎng)學生敢于畫圖,愛作圖的能力。教學中鼓勵學生積極開展討論和辯論，主動探索解決之法。教學過程中努力去創(chuàng)造一個環(huán)境去誘導學生的學習欲望、培養(yǎng)他們的自學能力，增強他們的數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)

16、新能力，強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程。第四階段：生活情景再創(chuàng)設，讓學生在實際生活情境中探究解決實際問題對于第四階段的探究我拋棄了以前常用的變式教學，單純給學生一個題目去解出答案，在課堂上我播放一段意大利豪華游輪觸礁擱淺的新聞視屏，并和學生一起感嘆當今社會如此發(fā)達竟還會有觸礁這樣的慘劇發(fā)生，并打開問題假如我們現(xiàn)在在海面上行駛我們的船在海上由西向東航行，測得某島M在A處的北偏東口角，前進4km后，測得該島在0角，已知該島周圍3、5km范圍內有暗礁，我們拿出草稿紙開始計算？這樣的設問去讓學生自己感受自己這時應該去計算什么？是否有觸礁的危險我們應該去計算什么？一連串的追問？還是努力在營造一個讓學生激起學習和討論的欲望。讓學生保持“好奇心”，開通自己的“問題源”，培養(yǎng)養(yǎng)學生用數(shù)學知識去觀察、分析、提出和解決問題的能力，展示學生多方面的數(shù)學思維能力，并體會數(shù)學在生產生活中的強大作用。培養(yǎng)其創(chuàng)新意識，讓學生體會發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的快樂。重在學生培養(yǎng)“翻譯”能力學會分析關系、領悟實質。弄清問題所述的事件和研究對象；