優(yōu)質(zhì)課教學設計：導數(shù)的概念版含答案

1、課題：導數(shù)的概念一、教學內(nèi)容解析導數(shù)的概念是選修2-2第一章第1、1節(jié)中第1、1、2小結(jié)的內(nèi)容，是高中數(shù)學的一節(jié)概念課、數(shù)學學習離不開推理，推理離不開判斷，而判斷是以一切概念為基礎的、因此，數(shù)學教師必須要重視概念的教學、縱觀導數(shù)及其應用這章內(nèi)容，導數(shù)以高起點，高觀點和更一般的方法簡化了中學數(shù)學中許多與函數(shù)相關的問題、導數(shù)的出現(xiàn)也為我們今后微積分的發(fā)展提供了方法和工具，從而使得它在其它學科領域也有了廣泛的應用、但我們又不能將導數(shù)作為一種規(guī)則和步驟來學習否則，學生很難體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵，這樣導數(shù)概念的學習就至關重要、一般地，導數(shù)概念學習的起點是極限，但就高中學生的認知水平而言，他們很難理解極限

2、的形式化定義、因此，我們對導數(shù)概念的引入從變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數(shù)、我們將導數(shù)概念的建立分為兩個階段，在明確瞬時速度含義的基礎上，將瞬時速度一般化，即抽象為一般的函數(shù)，從而形成導數(shù)的概第一階段：明確瞬時速度的含義及平均速度與瞬時速度的區(qū)別和聯(lián)系、讓學生在觀察實驗的同時，體會當Q|變小，趨于0時，學趨于t一個定值，這個定值就是瞬時速度、在經(jīng)歷平均速度到瞬時速度的過程中,第一次體會逼近的數(shù)學思想、第二階段，將平均速度和瞬時速度抽象為一般的表達式，完全轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，在揭示研究瞬時變化率必要性的同時，用類比的思想方法，經(jīng)歷從平均變化率到瞬時變化率的過渡，再次體會逼近的思想方法、最

3、后,建立導數(shù)的概念、因此,根據(jù)以上對教學內(nèi)容的分析,確立本節(jié)課的教學重點：在充分經(jīng)歷導數(shù)概念的建立過程中,體會逼近的數(shù)學思想,理解導數(shù)的思想及其內(nèi)涵、二、教學目標1、在導數(shù)概念建立的過程中,引導學生通過觀察、數(shù)值逼近、幾何直觀感受、解析式抽象、類比等方法體會數(shù)學概念的發(fā)生和形成、2、理解導數(shù)的概念,初步掌握導數(shù)的計算方法,并在具體數(shù)學問題中進一步理解導數(shù)的概念、3、通過對瞬時速度、瞬時變化率的探索,激發(fā)學生對本部分內(nèi)容學習的興趣、三、學生學情分析1、導數(shù)是對變化率的一種“度量”、實際生活中,學生最為熟悉的一種變化率就是物體的運動速度、學生在1、1、1小結(jié)學習了導數(shù)的物理意義,掌握了變化率,在高

4、一年級的物理課程中學習過瞬時速度,因此,學生已經(jīng)具備了一定的認知基礎,他們不會對新知識感到無所適從、2、可能存在的問題：（1）“逼近”的思想對于學生而言,還是比較陌生,需要精心設計教學活動,比如借助物理知識等,激發(fā)學生的興趣,從學生已有的知識背景出發(fā),幫助學生經(jīng)歷從平均速度到瞬時速度,從平均變化率到瞬時變化率的過渡、（2）使學生能通過觀察發(fā)現(xiàn)：運動的物體在某一時刻的平均速度在時間間隔越來越小時,逐漸趨于一個不變的常數(shù),而且這個常數(shù)就是物體在這一時刻的瞬時速度、這個過程學生難以想象,同時數(shù)值逼近的運算繁瑣,但又不能采取簡單的方式告知學生,而是要學生通過實際的計算,在計算過程中,充分感知當INI趨

5、于0時，”趨于一個定值；當1"|趨于0時，”趨于一個定.4：x值、（3）在實際教學中，學生需要用到思想方法和表達形式的遷移，即把從平均速度到瞬時速度過渡中所運用的“逼近”的思想方法遷移到從平均變化率到瞬時變化率的過渡，從對一個具體函數(shù)在一個確定點的瞬時變化率的表達式遷移到任意一個函數(shù)在任意一點的瞬時變化率的表達，這樣的探究方法可能會導致學生的不適應而產(chǎn)生困難、因此，如何引導學生根據(jù)生活中具體的實例，結(jié)合已有的知識經(jīng)驗，通過“逼近”的方法，由特殊到一般，用類比的方法歸納探究出導數(shù)的概念是本節(jié)課的難點、四、教學策略分析根據(jù)學生情況，為了完成本節(jié)課的教學目標，突破教學重難點，主要采取教師問

6、題引導，學生自主探究、歸納的教學方法、具體的策略有：1、從具體到抽象的教學方法、學生由生活中的具體實例和已有的知識背景出發(fā)，歷經(jīng)平均速度到瞬時速度的過渡，再把物體的運動變化量抽象為一般的函數(shù)，從而得到瞬時變化率的概念、2、從特殊到一般的教學方法、讓學生在知道t=2是的瞬時速度以后，直觀地理解運動員在任意時刻t的瞬時速度、同樣，在學生探究出一個指定函數(shù)在某一點處的瞬時變化率之后，可以歸納出一般函數(shù)在任意一點的瞬時變化率、3、幾何直觀感受、通過幾何畫板的演示讓學生形象的感知“逼近”、4、利用計算器進行分組合作，取不同的&,取，計算學以及學的tx值、教師活動學生活動教學評價講授：上節(jié)課我們通

7、過氣球膨脹率、高臺跳水的實例，建立起了平均變化率的概念、也請大家計算了高臺跳水運動員在0MtM65這段49時間里的平均速度、經(jīng)過計算，大家發(fā)現(xiàn)運動員在0Vt碟這段時間里的平均速度是0、難道說運動員在這段時間是靜止的？顯然，運動員在這段時間里不是靜止的、由此可見，用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)是有一定的局限性、所以我們說“平均速度”只能粗略地描述運動員的運動狀態(tài)、還有一種速度，它能更精確地刻畫運動員在每個時刻的運動狀態(tài)，我們稱之為：瞬時速度、那如何求運動員的瞬時速度呢？比如，高臺跳水運動員在t=2s時的瞬時速度是多少呢？大家有沒有好的想法？講授：我們來看物理中測瞬時速度的小視頻、學生思考、學生思

8、考、找不到好的方法來求運動過程中的瞬時速度、根據(jù)已有的物理知識，學生回答儀器是通過測量氣軌上滑塊在t時間內(nèi)滑過的距離也，用生t計算而得、學生回答組織學生討論、交流計算結(jié)果，激發(fā)學生的求知欲、明確本節(jié)課的教學內(nèi)容、平均速度為0?通過計算結(jié)果與學生的認知產(chǎn)生沖突、不是、答：時間間隔越小越好、使得用變小、學生利用計算器，分小組合作、每個小組隨意選擇幾個At的值，計算效的值、t答：當加趨近于0時，從2的右邊接近2時，平均速度趨于一個確定的值-13.1、2+t,2t<0平均速度1、9,2-0、1-13、051答：當&趨近于0時，從2的左邊接近2時，平均速度趨于一個確定在實例觀察中，感受逼近

9、的思想，為求瞬時速度奠定基礎、問：這里所得的真是瞬時速度嗎？為什么？、問：對,也就是我們很難測量到真正的瞬時速度，我們測量到的是千分之一，萬分之一秒，以致更短時間間隔內(nèi)的平均速度、那如何使得平均速度更接近瞬時速度呢？講授：對、那如果我們想求高臺跳水運動員在t=2s時的瞬時速度，就考察t=2s附近的情況，在t=2之前或者之后，任意取一個時刻2+&、&可以是正直，也可以是負值，但不為0當為取不同值時，計算平均速度-訃h(2：t)-h(2)v=、t：t我們先看運動員在2+&,2內(nèi)的平均速度、請看表格：1、99,2-0、01-13、0951的值_13.1、學生回答、學生分組合作

10、，思考、計算、討論、學生總結(jié)計算結(jié)果、讓學生熟悉符號，在親自計算的過程中感受逼近的思想、從特殊到一般，讓學生直觀地理解運動員在任意時刻t的瞬時速度、1、999,2-0、001-13、099511、9999,2-0、0001-13、0999511、99999,2-0、00001-13、09999511、999999,2-0、000001-13、099999511、9999999,2-0、0000001-13、09999995大家發(fā)現(xiàn)了什么特點？再看運動員在內(nèi)在2,2+M的平均速度、靖看去格：2,2+tt>0平均速度2,2、10、1-13、1492,2、010、01-13、10492,2、0

11、010、001-13、100492,2、00010、0001-13、1000492,2、0、-13、000010000110000492,2、0、-13、000001000001100000492,2、0、-13、0000001000000110000005大家有發(fā)現(xiàn)了什么特點？通過這兩個表格的對比，你們發(fā)現(xiàn)了什么？Xt當At趨近于0時，即無論從2的左邊,還是右邊，趨近于2時,平均速度都趨近于一個確定的值-13.1、我們就把-13.1講授：我們用這個方法得到了高臺跳水運動員在t=2s附近，平均速度逼近一個確定的常數(shù)、那其他時刻呢？比如t=2.5s、t=3s等?請大家按照剛才我們探究t=2s時的

12、過程，用你手中的計算器，分別計算t=2.5s、t=3s這兩個時刻附近的平均速度、請兩個同學把小組計算出來的數(shù)據(jù)輸入Excel表格、t=2.5s附近的平均速度變化：C2.&32捫tw平均速度£5,5+t平均速度24,15-0.1-17.9512.5,2.60.1-18.0492.甄2.5F01-17,99512.&2.5110.01-1E.00492499,3,51也001-17.9995115,2.501S001-18.00049：2.4999,2.5-0.0001-17.9999512.5.Z.50C10.0001-1.8.000049S.49599.2.&

13、-0.00001-1T.99599512.12.500010.00001-18.00W049,3.4999%2.5-0.000001二1，999999511比5,2.5000010.000001包.00000049：工49頰幽15-0.0000M1-17-999999952.瓦2.5000001J0.0000001TE.00000005t=3s附近的平均速度笠化：1r【加31At<0平均速度3.3+&At>0平均速度2,9.3-0.1-22.SSL3,3.110.1-22.9492.浦,3-0.01-22.39513,3.010.01-22.9049四”講才受：鯉變，以生甄

14、所、財刻的計算0.001大家鄱92.9999,3-0,0001-22,39913,CC01J血9口洶9發(fā)現(xiàn),3¥二時.阿雨J隔很/顯1,也一就提f之n兩偷口打到的口必篝罟契KIT一部瞥，二個型般£rKOOOOOl卷出?！岸?、/LuI'J2.9999999,3-1.11,zjyElE:-22,S9999995|LLJ1日隅3.000000111刻,0.0000001人14月兒-22.90000005把平均速度用為瞬時速度的近似值、之前我們在學習函數(shù)零點的時候，利用“二分法”逼近函數(shù)零點、今天，根據(jù)上面的討論，我們又用平均速度逼近了瞬時速度，這都體現(xiàn)了我們數(shù)學中無限逼

15、近的思想、0分鐘1成講授：對于高臺跳水運動員的運動時刻，我們有這樣的結(jié)論，那其他運動會嗎？如果我們把運動員的運動變化抽象為一個函數(shù)，也有這樣的結(jié)論嗎？其實，物體的運動變化量可以抽象成一個函數(shù)y=f(x)，這樣我們用到的生t就可以用一個跟為一般煩人表達式以來表x達,而學就是我們上節(jié)課所學的平均變化率、x答：根據(jù)平均變化率的公式y(tǒng)_f仇)一xx2-這個計算與學生的認知f愈)生了xi一樣的呢?平均變化是不是這數(shù)在0到化趨勢是計算得這三個函數(shù)在同一個變化區(qū)間上平均變化率都是1、但根據(jù)圖像發(fā)現(xiàn)這三個函數(shù)在0到1的變化趨勢是不一樣的、答：瞬時變化率、答：把區(qū)間Ax縮短、學生分組合作，計算結(jié)果，得出結(jié)論、要

16、求一個小組展示成果，表達對結(jié)果的看法、經(jīng)過計算，學生會發(fā)沖突。同時也讓學生認識到平均變化率只能粗略的描述函數(shù)的變化、由上面從平均速度到瞬時速度的過渡，由對瞬時速度的形成和理解，學生很容易聯(lián)想到可以用一概我們可以用它來刻畫一個函數(shù)在某個區(qū)間的念變化趨勢、問：那如何更好地刻畫一個函數(shù)的變化趨勢呢？為了探討這個問題，我們來做這樣的兩個實驗活動：實驗活動1:求函數(shù)y=x,y=x2,y=&從講授：由此可見，正如平均速度只能粗略反映物體在某個時間段的運動狀態(tài)，而要想更為精確的刻畫物體在某個時刻的運動狀態(tài)，我們只能通過瞬時速度、由此類比，對于函數(shù)來說,平均變化率也只能粗略的描述函數(shù)的變化趨勢，那如何

17、精確的描述函數(shù)的變化呢？問：那如何求函數(shù)在某一點處的瞬時變化率呢？講授：下面我們就做另一個實驗活動，看一下，當Ax縮短時，平均變化率發(fā)生了什么樣的變化？請大家分組合作、實驗活動2:已知函數(shù)f(x)=x2，分別計算f(x)在卜列區(qū)間口+加區(qū)間口-吐1區(qū)間上的平1,1.10.9,1均變化率：1,1.010.99,11,1.001(7)0.999,1結(jié)論：(1,1,00010,9999,1區(qū)間1,1+Ax平均變化率E(bJ-Ai,1平均變化率U1210.9J19(2)1.1.012.01口效1199-J.1.0012.001C?)0.999.1：目妁1J,00012.0001CS)09999J199

18、99用幾何畫板演示:化率，用數(shù)學語言表達就是.f(1：x)-f(1)nlim=2、x0；，x講授：這樣，我們就實現(xiàn)了從平均變化率到瞬時變化率的過渡、得到了一個具體函數(shù)f(x)=x2在x=1處的瞬時變化率、問：那對于現(xiàn)當兩個區(qū)間的端點無限靠近，即Ax逼近0時,平均變化率都逼近一個確定的值2,即瞬時變化率、自己嘗試來寫、學生自己歸納總結(jié)、體會由特殊到一般的思想方法個詞，叫做“瞬時變化率”。用它可以精確的描述函數(shù)在某一個點的變化趨勢、這體現(xiàn)了類比的思想方法、學生在上一個問題中遇到了認知沖突，希望尋求新的認知來解決這個沖突。老師提出的這個實驗活動引導學生通過計算，自主探究，使得獲得新知的過程自然而然。引導學生舍棄具體問題的實際意義,完全抽象為數(shù)學問題、在函數(shù)知任意一個函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時變化率該怎么表示？講授：一般地，函數(shù)y=f(x)在x=x。處的瞬時變化率是：lim與二f(x0.，x)-f(x0)J0/xx我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)，記作f(x。)或y，|x=xo。即：f(xo)=lim:y=f(x。：x)-f(x0).x0xLx瞬時變化率和