從雙線性映射談起

1、從雙線性映射談起龍巖學(xué)院周金森梁俊平劉宏錦定義1設(shè)V、U與MB是域F的線性空間，A是VMU到W的一個(gè)映射，如果對(duì)于豆，,豆2亡V,P,P1,P2wU,任意k,lwF,有(1) Ak：1l二2，P)二k之:1,，LlA：2,(2) .士i-,k1l2)；-k-：,：1l：，2則稱A是VmU到W的雙線性映射；(i)若W=F則稱A為VmU上的雙線性函數(shù)；(ii)若W=FV=U則稱A為V上的雙線性函數(shù)；(iii) 若W=FV=U且A(%P)=A(p,a),則稱A為V的一個(gè)對(duì)稱雙線性函數(shù)；記A(%口)=q(口)，稱q為V上的二次函數(shù)；(iv) 若W=F=R/=UA(a,P)=A(P,a)，且A(o(,o

2、()印當(dāng)且僅當(dāng)s=0時(shí)A(5口)=0,則稱A為正定的實(shí)對(duì)稱雙線性函數(shù)，或稱A為V上一個(gè)實(shí)內(nèi)積，A(a,P)常記為(a,P卜一、考慮V上的雙線性函數(shù)與矩陣之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系V中取一個(gè)基%/",%,V中向量5P在此基下的坐標(biāo)分別為X=(X1,X2,|l,Xn),Y=(y1,丫2，川,yn),則nnnA(C(,P)=A2Xi«i,Zyj%lidjTa11令A(yù)=a21©n1a12a22IIIan2HIa1nHIa2nIIIIIIHIannj稱A是雙線性函數(shù)A在此基%,4,III,%下的度量矩陣，它是由A及基唯一決定，A騏，P)=X'AY,反之,任給一個(gè)域F的一個(gè)n

3、級(jí)矩陣，可以定義V上的一個(gè)雙線性函數(shù)，滿足AM,%)=aij。命題1(1)V上的雙線性函數(shù)A在V的不同基下的度量矩陣是合同的。(2)V上的對(duì)稱雙線性函數(shù)A在V的一個(gè)基下的度量矩陣是對(duì)稱陣。(3) 實(shí)內(nèi)積A在V的一個(gè)基下的度量矩陣是正定陣。命題2設(shè)A是特征不為2的域F的n維線性空間V上的對(duì)稱雙線性函數(shù)，則V中存在一個(gè)基，使得A在此基下的度量矩陣是對(duì)角陣。命題3任一對(duì)稱陣都合同于對(duì)角陣。(矩陣語(yǔ)言)因?yàn)榫仃嚨暮贤P(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，下面從等價(jià)關(guān)系進(jìn)一步考慮命題4(1)在復(fù)數(shù)域上，n級(jí)對(duì)稱陣按合同關(guān)系分成n+1類，秩為r的代,，住10),、一表元為r,秩是完全等價(jià)不變量。<00；，一，n1n2

4、,一(2)在實(shí)數(shù)域上，n級(jí)對(duì)稱陣按合同關(guān)系分成2>類,秩為r且正慣性指數(shù)為P的代表元為Erj，秩，正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù),符號(hào)差是等價(jià)不變量，不是完全等價(jià)不變量，但四個(gè)量中任取兩個(gè)量是完全等價(jià)不變量。注1在丘維聲高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)中給出慣性定理中唯一性的三種證在實(shí)數(shù)域上，我們考慮一個(gè)特殊的類就是正定陣命題5n級(jí)對(duì)稱陣A是正定陣二-0=XRn1,X'AX0u正慣性指數(shù)=n二A合同于EU存在可逆陣P,使得A=PPukA是正定陣(k>0)uA是正定陣wA的伴隨矩陣是正定陣uA的所有特征值全大于0匕A的所有順序主子式全大于0uA的所有主子式全大于0u存在主對(duì)角線上的元素全是1的上三

5、角陣B,使得A=BDB其中D是正定的對(duì)角陣二存在主對(duì)角線上的元素全是正的上三角陣C,使得A=CC-綠0-i二A的絕對(duì)值最大的元素必在主對(duì)角線上。注2利用必要性可以很快地判斷某些矩陣不是正定陣。注3A的特征多項(xiàng)式一一,一一k_i.n-A=b句九十b2八川+(_1)bk九一+I1十(_1)bn中的bk就是A的所有k階主子式的和，其中b1=a11+a22+HI+ann,0=A,而且b1=兀+入2+111+九n,bn=入。2111Xn,斯(i=1,2,III,n)是A的所有特征值。二、考慮對(duì)稱雙線性函數(shù)與二次型(二次函數(shù))的關(guān)系命題6設(shè)V是特征不為2的域F的一個(gè)線性空間，q是V上一個(gè)二次函數(shù)，則存在V

6、的唯一的對(duì)稱雙線性函數(shù)A,使得AW，u)=q(a),弋a(chǎn)EV。三、雙線性函數(shù)空間域F的線性空間V上的所有線性函數(shù)構(gòu)成的集合，定義加法、純量乘法，可以構(gòu)成域F的一個(gè)線性空間，稱為V上的線性函數(shù)空間(或?qū)ε伎臻g)，記作V*。依此類推，我們把域F的線性空間V上的所有雙線性函數(shù)構(gòu)成的集合T2(V),定義加法、純量乘法，易證T2(V)對(duì)于函數(shù)的加法、純量乘法構(gòu)成域F的一個(gè)線性空間，稱T2(V)為V的雙線性函數(shù)空間。由于雙線性函數(shù)與它在V的一個(gè)基下的度量矩陣是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且保持線性運(yùn)算，因此兩個(gè)線性空間同構(gòu)T2(V盧Mn(F),從而dimT2(V)=n2。為了構(gòu)造V上的雙線性函數(shù)，想法是給了V上的兩個(gè)線

7、性函數(shù)g,h,令A(yù)(%P)=g(«)h(P),Vet,P=V,容易驗(yàn)證A(a,P)是V上的雙線性函數(shù)，把它記成g®h,即(g®h)(a,P)=g(ot)h(P),Va,PVV,把g®h稱為線性函數(shù)g與h的張量積。命題7V的一個(gè)基%,%,它的對(duì)偶基為fi，f2，llt,fn，則(1)fl:fl，fl=f2,ll|,fi二小2二012二f2,",f2二fn,fn二31n=fz'IIHn二3是TJV)的一個(gè)基；(2)設(shè)雙線性函數(shù)A在基%,三)“，%下的度量矩陣為向設(shè)，則雙線性函數(shù)A在T2(V)的一個(gè)基L二51:f2,HI,f1二52二f1f2

8、;f2,川,f2二JMfn二Un二手21n:3下的坐標(biāo)為(aii,a12,|J,ain,a21,a22,|11,a2n,HI,an1,an2,|,ann)°四、考慮VmU上的所有雙線性函數(shù)構(gòu)成的線性空間P(V,U)命題8設(shè)V的一個(gè)基%,%,Ik冊(cè)，它的對(duì)偶基為fi，f23|，fn，U的一個(gè)基Pl,PzJIl'Pm,它的對(duì)偶基為gi，g2,lll'gm,則nm個(gè)雙線性函數(shù)gi®hj,i=1,2,|H，n,j=1,2,|,m是P(V,U)的一個(gè)基。命題9dimpV,U=dimVdimU五、線性空間的張量積及泛性(同調(diào)代數(shù)中一個(gè)重要性質(zhì))定義2設(shè)V、U與MB是域F

9、的線性空間，A是VmU至IW的一個(gè)雙線性映射，A具有這樣的性質(zhì)：從VmU到域F上任意一個(gè)線性空間M的任一個(gè)雙線性映射7,存在W1M的唯一的線性映射中,使得七=9A(即存在交換圖)，那么W就稱為V與U的一個(gè)張量積。注4定義2中的性質(zhì)稱為張量積的特征性質(zhì)，在同調(diào)代數(shù)中常稱為泛性。命題10VxUiJP(V*,U*)的雙線性映射仁(u,P)6Ct®P,口WV,PWU,具有張量積的特征性質(zhì)。注5命題10說(shuō)明了兩個(gè)線性空間的張量積存在。命題11設(shè)M是域F上的一個(gè)線性空間，詢是VmU到M的雙線性映射，它也具有張量積的特征性質(zhì)，則有線性空間同構(gòu)M三P(V,U)。注6命題11說(shuō)明了兩個(gè)線性空間的張量積

10、在同構(gòu)的意義下是唯一的，我們用V®U表小V與U的張量積，它就是線性空間p(V,u),而且比原來(lái)的兩個(gè)空間都“大”。命題12設(shè)%,4wV,p,P1,p2wV,V®V2中的元素具有如下性質(zhì)：(1) (%十%)®P=%®P十%®P,a®匹+P2)=a®冏+a®P2(2) k：-二-二二kB)=k1工£F')，kF(3)設(shè)4,|1,一是V的一個(gè)基,，,lk”m是V的一個(gè)基，那么4®1,i=1,2,|,n,j=1,2,1nLm是V®V2勺一個(gè)基，因而V®V2的維數(shù)為nm,即di

11、mV®V=dimVdimV2。r(4)V®V中的元素可表示成有限和的形式，即£%®艮，%wV,RwV2，i1i=1,2,|,r,但表示法不唯注7(1)a®曰于日®"(因?yàn)殡p線性映射未必具有對(duì)稱性)；(2) 0®P=o(。0=0,說(shuō)明雙線性映射不是單射；(3)表示法不唯一，說(shuō)明雙線性映射不是滿射。命題13設(shè)V，V2,V3是域F上的有限維線性空間，則有同構(gòu)映射甲1:(V®V2V3TV®M®V3),使巴(a®P)®n="®(P®7);有同構(gòu)映射中2：V®MtV®V，使七(a®P)=P®a,其中aWV，pw2,7V。注8命題13說(shuō)明在同構(gòu)的意義下，張量積滿足結(jié)合律，交換律。六、進(jìn)一步推廣1、由雙線性映射推廣到多重線性映射、多重線性函數(shù)，例如