第二章向量組和向量空間

1、第二章 向量組和向量空間教學(xué)安排說明章節(jié)題目：2.1 n維向量及其線性運算； 2.2向量組的線性相關(guān)性； 2.3向量組的秩學(xué)時分配：共 6 學(xué)時。 2.1 n維向量及其線性運算2 學(xué)時 2.2 向量組的線性相關(guān)性2 學(xué)時 2.3 向量組的秩2 學(xué)時本章教學(xué)目的與要求：目的：使學(xué)生掌握向量的線性運算及線性相關(guān)性的判定，為下一章理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)打基礎(chǔ)。要求：1、理解n 維向量的概念和運算。2、深刻理解向量的線性組合、向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念（本章的難點） 。3、深刻理解向量組的極大無關(guān)組和向量組秩的概念。會求向量組的秩和極大無關(guān)組（本章的難點）。4、掌握向量組線性相關(guān)性的判定課堂教學(xué)方

2、案課程名稱：2.1 n維向量及其線性運算授課時數(shù)：2學(xué)時授課類型：理論課教學(xué)方法與手段：講授法教學(xué)目的與要求：掌握向量的定義及其線性運算滿足的規(guī)律，掌握向量內(nèi)積、火角、正交等概念教學(xué)重點、難點：重點是向量內(nèi)積、夾角、正交等概念教學(xué)內(nèi)容 2.1 n維向量及其線性運算一、n維向量的概念定義1所謂一個n維向量就是由n個數(shù)組成的有序數(shù)組（ai,a2, ,an）（1）ai稱為向量（1）的第i分量.通常用小寫希臘字母為P,Y,來代表向量.向量通常是寫成一行：*一 =（4道2,，an）.有時也可以寫成一列：Tb2.+M 1為了區(qū)別，前者稱為行向量，后者稱為列向量。它們的區(qū)別只是寫法上的不同分量全為零的向量（

3、0,0，0）稱為零向量，記為0全體n維實向量的集合記作Rn1 1 線性方程組an、+42X2 + H|+anXn =b1,J a2iXi +a22X2 +|+a2nXn = b2,IIIIIIHIIIIIIHHIIIIIIamiX +am2X2 +川 + amnXn = bm中的每一個方程都可以用一個n+1維向量（七問2,|”,七力）表示2 2、例3見教材二、向量的線性運算如果n維向量丁 u（a1，a2, ,an） ； =（“心,h）的對應(yīng)分量都相等，即ai =6 （i =1,2, ,n）.就稱這兩個向量是相等的，記作 :二，3 .向量的加法定義2已知向量a =（40,，an） ,P =出14

4、,，bn）,向量、（ai 匕色 b2, ,an bn）稱為向量二二（a1,a2, ,an） , - - （b1, b2 , ,bn）的和，記為 =I，：4 .數(shù)乘向量定義3設(shè)k為數(shù)，向量（ka1, ka2，kan）稱為向量口 = （a1,a2，an）與數(shù)k的數(shù)量乘積，記為k：向量（-a1,-a2,，-an）稱為向量口 =（a1，a2,，an）的負(fù)向量，記為一汽.5 .向量的減法已知向量 =（a1，a2,，an） , P =（片,，bn）,定義向量=二 -1= (a1 - bl, a2 - b2| | ,an - bi )稱為向量;二(ai,a2,自)J：=(心,h)的減法，記為 =：二6 .向

5、量的轉(zhuǎn)置稱(ahazMhan)為向量a = a2的轉(zhuǎn)置，記作口,或aT * *an /顯然向量的運算滿足以下運算規(guī)律交換律：.： = ：:.(2)結(jié)合律：；(：+7)=(：，口) .(3)二 0 二二.(4)二(-二)=0.(5)k(、 P) =k。：: k： ,(6)(k l)： = k,二 l 二 ,(7)k(l : ) =(kl)： ,(8)1- - - .(9)(6)(9)是關(guān)于數(shù)量乘法的四條基本運算規(guī)則.由(6) (9)或由定義不難推出：0：=0,(10)(T)：- -：,(11)k0=0.(12)如果k #0 ,汽#0，那么(13)k： :0.補(bǔ)充例題例1 .計算 1 (2, 0,

6、-1) + (-1,-1, 2) +- (0, 1, -1);32(ii) 5 (0, 1, -1) -3 (1, 1, 2) + (1, -3, 1).3例2.證明：如果a (2, 1, 3) + b (0,1,2) + c (1, -1, 4) = (0, 0, 0), 那么 a = b = c = 0.三、向量的內(nèi)積定義4 在Rn中，設(shè)向量S=(a1,a2|,| % )B；=b(b2|lh ”稱)實數(shù)abi +a2b2 +| + anbn為向量cc,P的內(nèi)積，記作k,P】向量的內(nèi)積具有以下性質(zhì)：1) ,?= ?,;2) Ika, P = k L, P ；3) 口 + Pj= b,】+P,

7、;4)卜尸】20,當(dāng)且僅有a =0時fc(, a =0定義5非負(fù)實數(shù)】稱為向量a的長度，記作|a|顯然向量的長度滿足非負(fù)性、齊次性和三角形法則。向量的長度一般是正數(shù), 只有零向量的長度才是零。長度為1的向量叫做單位向量.如果4#0 ,向量就是個單位向量用向量a的長度去除向量a ,得到一個與a成比例的單位向量，通常稱為把a(bǔ)單位化.兩個向量之間最簡單的關(guān)系是成比例.所謂向量與P成比例就是說有一數(shù)k命題1設(shè)向量久邛e Rn,則有fo,p |a|JP|,且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)兩向量 對應(yīng)分量成比例定義6非零向量a,F的夾角 規(guī)定為-/ , - I.arccos 02),如果其中存在一個向量是其余m-1個向

8、量的線性組合，則稱向量組 ,立2,Gm線性相關(guān)定理1向量組%,口2，0fm (m2)線性相關(guān)的充分必要條件是存在不全為零的數(shù) k1,k2,lll,km ,使kr 1 k2 2 HI * m =0如果當(dāng)且僅當(dāng)k1,k2,|,km=0時上式成立,則稱向量組 %產(chǎn)2,%線性無關(guān)。定義10設(shè)向量組%p213m (m2),如果存在不全為零的數(shù)k1,k2M|,km , 使I： 1k2： 2 IM * m =0那么稱向量組%戶2，口m (m2)線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。從定義可以看出，單獨一個零向量線性相關(guān)，單獨一個非零向量線性無關(guān).任意一個包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的.向量組。1。2線性相關(guān)就表示%

9、=ks或者U2 = ku 1(這兩個式子不一定能同時成立).在P為實數(shù)域，并且是三維時，就表示向量出與七共線.三個向量 02,5線性相關(guān)的幾何意義就是它們共面.并且如果一向量組線性無關(guān)，那么它的任何一個非空的部分組也線性無關(guān).特別地，由于兩個成比例的向量是線性相關(guān)的，所以，線性無關(guān)的向量組中一定 不能包含兩個成比例的向量.不難看出，由n維單位向量鳥，運,，鼎組成的向量組是線性無關(guān)的.例 9 判斷必=(2, -1,3 )02, = (4, -2,5 ),% =(2, -1,4 )是否線性相關(guān)?例 10 %，=(1,0,0=(0,1,0),%=(0,0,1 )是否線性相關(guān)?命題3若向量,%Mm的部

10、分組豆1P2,|,%(Sm)線性相關(guān)二%尸2,惘,線性相關(guān)。反之，%,%MIPm線性無關(guān)二口1,2,川Ps線性無關(guān)。證：因為%,%,八線性相關(guān)，則存在不全為零的k1,k2川,ks,使K： 1 k2： 2 川大 s=0 =則%,%,IH,Qm線性相關(guān)。命題4記a1ja = : Pj +, jkr 1 III ks： s 0： S1 HI 0： m=0+=*,( j =1,，m)arjlar 4 j J若%,%,4線性無關(guān)= B/2，/線性無關(guān)。反之，若Pj/”,0m線性 相關(guān)二%,%,用Pm線性相關(guān)。即如果向量組線性無關(guān)，那么在每一個向量上添一 個分量所得到的n+1維的向量組也線性無關(guān).記 A=

11、342 川 % B 尸 P(iP,Pm,髭然 r(A)Er(B),因為%，出川m線性無關(guān),知r(A)=m,因而r(B) 3m.2因為B只有m列，所以r(B) Mm.由1。和20知r(B) =m,知3凡JHPm 線性無關(guān)。定理2設(shè)向量組%P21Mm線性無關(guān)，jRllam下線性相關(guān)二P可由 %,%川lm表示，且表示法唯一。證：記 A = (%Q2, IM,am),B =3i,U2Ml4m,P),顯然 r(A)Wr(B).1。因為必產(chǎn)2#lm線性無關(guān)，知r(A) = m2因為叫 P/MPm, P線性相關(guān)，知r(B) m+1因此r(B) = m,知，Ax = 31,%,M,Sm)x=b有解且唯一。二B

12、可由產(chǎn)2川,只 表示，且表示法唯一?？诙ɡ恚涸O(shè)補(bǔ)充知識：j =1,2,| ,n ),則向量口可由向量組% ,口2,用,線性表示的充要條件是：以巴,二21119n為列向量的矩陣與以%P2JII,%, P為列向量的矩陣有相同的秩。定理：向量組1P2M,其中a,a2j%=:j=12 川，n,*amj則四,0(2,111,4線性相關(guān)的充要條件是：以 巴,口2,III,“為列向量的矩陣的秩小于向 量的個數(shù)n。定理：m個n維向量組成的向量組“1，%，惘，%,當(dāng)nm時=四*2，Hhm線 性相關(guān)。證：記，沏=(%MI,1am),因為 nm= r(Anxm)Mnm,則% 2, 川4 m 線性 相關(guān)。具體判斷一個

13、向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)的問題可以歸結(jié)為解方程組的問題向量組叫，。2,川巴線性相關(guān)匕齊次線性方程組 2l+X/2 + |+Xn%=0有非零 解?；蛘哒f齊次線性方程組X%+X2%+用+%=0只有零解=”,外川Qn線性 無關(guān)。推論 設(shè)n個向量叫=(a1j ,a2j J|,anj )( j =1,2,川,n),向量組%,%,|,%線性 相關(guān)的充要條件是：all a12 III a1na21a22川a2n-.=0+k1+Pkan1an2IIIann注：這里把叫內(nèi)2”,%應(yīng)理解為列向量。補(bǔ)充例題例 1 向量組 g =(1, -2,0,3 ), o2 =(2,5,-1,0 ), % =(3,4,1,2

14、 )是否線性相關(guān).例2判斷向量% =(1,-2,3)42 =(2,1,0),% =(1,-7,9)是否線性相關(guān)。例3證明：若向量組%,口2P3線性無關(guān)，則向量組2%+口2,口2+分3,4口3+31也 線性無關(guān).課后作業(yè)：P61 1 , 2, 3, 4課堂教學(xué)方案課程名稱：2.3向量組的秩授課時數(shù)：2學(xué)時授課類型：理論課教學(xué)方法與手段：講授法教學(xué)目的與要求：理解向量組的秩的概念，掌握有關(guān)定理及推論教學(xué)重點、難點：極大無關(guān)組的判定教學(xué)內(nèi)容定義11:設(shè)兩個向量組1,2,IH,t （1）4邛2,，Ps （2）如果向量組（1）中的每個 名都可以由向量組（2）線性表示，那么稱向量組%P2,用,巴可由日1邛

15、2,，氏線性表示。如果向量組（2）中的每個向量Pi也可以 由向量組（1）線性表示，那么向量組（1）與（2）稱為等價。例如：% =（1,2,3） , 口2 =（1,0,2）與向量組 A= （3,4,8）,氏=（2,2,5）, 3= （0,2,1）等價。因為% =-日2, 52=202,1；向量組的等價關(guān)系具有如下性質(zhì)：1）反身性：每一個向量組都與它自身等價；2）對稱性：如果向量組（1）與向量組（2）等價，那么向量組（2）也與向 量組（1）等價；3）傳遞性：如果向量組（1）與向量組（2）等價，而向量組（2）又與向量 組工, HIM等價，那么向量組（1）與向量？172,用。也等價。定義12 n維向量

16、組% p2,，as的一個部分組稱為一個極大線性無關(guān)組，如果這個部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這個向量組中任意添一個向量（如果還有的話），所得的部分向量組都線性相關(guān).一個線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組就是這個向量組本身.極大線性無關(guān)組的一個基本性質(zhì)是，任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價.例11 n個n維單位向量就是Rn的一個極大無關(guān)組.例 12 R3 的向量組% =(1,0,0),a 2 =(0,1,0)戶3 =(1,1,0),在這里 %,5線性無關(guān)，而汽3 =口1 +32 ,所以 口 1,口 2 是一個極大線性無關(guān)組.另一方面，j,口3 ,豆2,汽3也都是向量組 1,2,3 的極大線性無

17、關(guān)組.上面的例子可以看出，向量組的極大線性無關(guān)組一般不是唯一的.定理3：設(shè)402Mlim與1,邑,川，團(tuán)是兩個向量組.如果向量組日1,久,川，凡可以經(jīng)3,0f2, I,%線性表出，且Sm,那么向量組P1,P2,lll,Ps必線性相關(guān).推論1如果向量組 白，EMI,久可以經(jīng)向量組 巴,。2,用,gm線性表出，且總,以川，久線性無關(guān)，那么sm.推論2任意n +1個n維向量必線性相關(guān)推論3兩個線性無關(guān)的等價的向量組，必含有相同個數(shù)的向量.一向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個數(shù)的向量 .因此，極大線性無關(guān)組所 含向量的個數(shù)與極大線性無關(guān)組的選擇無關(guān)，它直接反映了向量組本身的性質(zhì).因此有定義13向量組%

18、產(chǎn)2,，色的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩.一向量組線性無關(guān)的充要條件是它的秩與它所含向量的個數(shù)相同.每一向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價.由等價的傳遞性可知，任意兩個等 價向量組的極大線性無關(guān)組也等價.所以，等價的向量組必有相同的秩.含有非零向量的向量組一定有極大線性無關(guān)組，且任一個線性無關(guān)的部分向 量都能擴(kuò)充成一極大線性無關(guān)組.全部由零向量組成的向量組沒有極大線性無關(guān) 組.規(guī)定這樣的向量組的秩為零.例13,矩陣1 i 3 r0 214 A =0 0 0 5e 0 0 0， 的行向量組是：1 = (1,1,3,1)2 =。2,-1,4),： 3 =(0,0,0,5),二 4 =(0,0,0,0)它的秩是3.它的列向量組是(1,0,0,0) ；2 =(1,2,0,0)=(3,一1,0,0)= (1,