《高等數(shù)學》教學大綱

1、高等數(shù)學教學大綱（2010年3月討論稿）全院專升本各專業(yè)適用一、課程的性質(zhì)與任務(wù) 高等數(shù)學課程，是成人高等教育本科各專業(yè)教學計劃中的一門必修基礎(chǔ)理論課，它不僅為專業(yè)計劃中多門后繼課程提供必要的數(shù)學基礎(chǔ)，而且也是為提高學生科學素養(yǎng)而設(shè)置的課程。 通過本課程的學習，要使學生獲得高等數(shù)學中的基本概念、基本理論和基本方法。要通過各個教學環(huán)節(jié)，逐步培養(yǎng)學生具備較熟練的運算能力和運用數(shù)學方法處理問題的初步能力。同時，在抽象思維和邏輯推理方面也有一定的提高，以提升學生的數(shù)學素質(zhì)，使自學能力提高一個層次，為以后深造打下堅實的基礎(chǔ)。 二、本課程的基本要求與重點 專升本數(shù)學教學是比較特殊的一種教學形式，因?qū)W生是專

2、科畢業(yè)生，已初步獲得一元微積分的基本知識。因此，根據(jù)成人高等教育以培養(yǎng)應(yīng)用型人才的目標，按基礎(chǔ)理論教材“必需、夠用”的原則，本課程的基本要求： 1.加深掌握一元函數(shù)微分和積分兩大基本數(shù)學方法的理解和應(yīng)用； 2.獲得多元函數(shù)微積分、常微分方程和無窮級數(shù)的系統(tǒng)的基本知識、基本理論和基本方法。 本課程的重點為：微分方程、二元函數(shù)微分學、二重積分、曲線積分和無窮級數(shù)。（說明：曲線積分和無窮級數(shù)經(jīng)管類不作要求） 三、課程內(nèi)容和考核要求第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)性 （一）課程內(nèi)容 1.初等函數(shù)與非初等函數(shù)； 2.函數(shù)的特性； 3.數(shù)列的極限； 4.函數(shù)的極限； 5.極限的運算法則； 6.兩個重要極限； 7.

3、無窮小量及其性質(zhì)和無窮大量； 8.無窮小量的比較； 9.函數(shù)的連續(xù)性概念和連續(xù)函數(shù)的運算； 10.函數(shù)的間斷點； 11.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 （二）考核要求 1.掌握求函數(shù)的定義域和函數(shù)值，理解函數(shù)記號的運用。 2.了解函數(shù)與其圖形之間的關(guān)系，掌握畫常用的簡單的函數(shù)圖像。 3.掌握求比較簡單函數(shù)的反函數(shù)；掌握復(fù)合函數(shù)的分解；了解初等函數(shù)的構(gòu)成；了解分段函數(shù)的表示。 4.理解函數(shù)的有界性和周期性，掌握判別函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性（用一階導(dǎo)數(shù)的符號）。 5.理解數(shù)列極限的直觀定義。 6.理解X時和XXo時函數(shù)極限的直觀定義。 7.理解函數(shù)的單側(cè)極限，了解函數(shù)極限與單側(cè)極限之間的關(guān)系。 8.掌握極限

4、的四則運算法則，并能熟練運用。 9.掌握兩個重要極限，并能熟練運用。 10.了解無窮小和無窮大，掌握運用無窮小的性質(zhì)，掌握判斷兩個無窮小的階的高低或是否等價。 11.理解函數(shù)在一點連續(xù)與間斷的含義，掌握求出函數(shù)的兩類間斷點。 12.掌握判別分段函數(shù)在區(qū)間分界點處的連續(xù)性。 13.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大（?。┲刀ɡ砗秃瘮?shù)取零值定理。 第二、三章 一元函數(shù)微分學 （一）課程內(nèi)容： 1.導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義； 2.可導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性； 3.可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則； 4.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 5.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 6.高階導(dǎo)數(shù)； 7.隱函數(shù)求導(dǎo)法； 8.微分概念及微分的

5、求法； 9.參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法； 10.介紹羅爾定理和拉格朗日中值定理； 11.洛必達法則； 12.函數(shù)單調(diào)性的判定； 13.函數(shù)的極值及其求法； 14.函數(shù)的最值及其應(yīng)用； 15.曲線的凹凸性與拐點； 16.曲線的漸近線。 (二)考核要求： 1.了解函數(shù)在一點可導(dǎo)與左、右導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，掌握判斷分段函數(shù)在分界點處是否可導(dǎo)。 2.了解函數(shù)在一點連續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)的必要條件。 3.掌握求曲線在一點處的切線方程和法線方程。 4熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式和函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則。 5.熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)（一層復(fù)合步驟為主）。 6.掌握求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。 7.掌握求隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。 8.掌握求

6、函數(shù)的微分。 9.掌握求參數(shù)式函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)。 10.熟練掌握運用洛必達法則求和型極限，掌握求和型極限。 11.掌握用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的增、減區(qū)間。 12.理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值。 13.了解函數(shù)最值得定義及其與極值的區(qū)別，掌握求簡單應(yīng)用問題的最值。 14.掌握確定曲線的凹凸區(qū)間，掌握求曲線的拐點。 第四、五章 一元函數(shù)積分學 （一）課程內(nèi)容： 1.原函數(shù)與不定積分的概念； 2.基本積分公式和不定積分的線性性質(zhì)； 3.不定積分的第一換元積分法（湊微分法）； 4.不定積分的第二換元積分法； 5.不定積分的分部積分法； 6.定積分概念及其幾何意義； 7.定積分的

7、性質(zhì)； 8.變上限積分及其導(dǎo)數(shù)公式； 9.牛頓-萊布尼茲公式； 10.定積分的換元法和分部積分法； 11.無窮區(qū)間上的廣義積分； 12.定積分的幾何應(yīng)用。 （二）考核要求： 1.理解原函數(shù)和不定積分的定義，了解它們的聯(lián)系與區(qū)別；理解微分運算與不定積分運算互為逆運算。 2.熟練掌握運用基本積分公式和不定積分的線性性質(zhì)求比較簡單函數(shù)的積分。 3.掌握第一換元積分法（湊微分法）。 4.掌握第二換元積分法（重點是根式代換）。 5.掌握分部積分法求被積函數(shù)屬于指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）與冪函數(shù)的乘積；對數(shù)函數(shù)（或反三角函數(shù)）與冪函數(shù)的乘積的積分。 6.理解定積分定義，及定積分與不定積分的區(qū)別，了解定積分的值

8、取決于被積函數(shù)和積分區(qū)間，而與積分變量采用的記號無關(guān)。 7. 掌握應(yīng)用定積分的性質(zhì)及在對稱區(qū)間上奇（偶）函數(shù)積分的結(jié)論。 8.掌握變上限積分的求導(dǎo)公式。 9.掌握用牛頓萊布尼茲公式計算定積分。 10.掌握計算分段函數(shù)（限于分兩段）的定積分。 11.掌握定積分的換元積分法和分部積分法。 12.掌握判斷無窮區(qū)間上的廣義積分的斂散性。 13.掌握在直角坐標系中計算平面圖形的面積。 14.掌握求簡單平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 第六章 微分方程 （一）課程內(nèi)容： 1.微分方程的基本概念； 2.變量可分離的一階微分方程； 3.一階線性微分方程； 4.齊次型的一階微分方程； 5.可降階的高階微分方

9、程； 6.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)； 7.二階常系數(shù)線性齊次微分方程； 8. 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程。 （二）考核要求： 1.了解微分方程的階、解、通解、特解及線性微分方程的含義。 2.掌握求解變量可分離的一階微分方程。 3.掌握用通解公式求解一階線性非齊次微分方程。 4.掌握用降階法求解形如和的二階方程。 5.了解二階線性齊次及非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)定理。 6.掌握求解二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征根法。 7.掌握非齊次方程右端函數(shù)屬型時，該方程特解待定形式的設(shè)置。 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何 （一）課程內(nèi)容： 1.向量及其運算； 2.空間的平面與直線； 3.常見的空間曲面與曲線

10、。（說明：這部分的內(nèi)容不作考核要求，由任課教師自主選擇授課內(nèi)容）。 第八章 多元函數(shù)微分學 （一）課程內(nèi)容： 1.二元函數(shù)的定義及其圖形； 2.二元函數(shù)的極限與連續(xù)性； 3.二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義； 4.偏導(dǎo)數(shù)的求法； 5.高階偏導(dǎo)數(shù)； 6.全微分； 7.多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則； 8.隱函數(shù)微分法； 9.二元函數(shù)的極值與最值； （二）考核要求： 1.理解二元函數(shù)函數(shù)值的記號及函數(shù)符號的運用。 2.理解二元函數(shù)的極限定義，了解其與一元函數(shù)極限的異同點。 3.了解二元函數(shù)在一點連續(xù)的含義。 4.理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義。 5.了解二元函數(shù)連續(xù)與可偏導(dǎo)沒有必然聯(lián)系。 6.掌握求偏導(dǎo)數(shù)及較簡單函數(shù)的二階偏導(dǎo)

11、數(shù)。 7.理解二元函數(shù)的全微分定義，掌握求二元函數(shù)的全增量和全微分。 8.掌握求全導(dǎo)數(shù)。 9.掌握由方程所確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。 10.掌握由方程所確定的隱函數(shù)的求偏導(dǎo)公式。 11.掌握求二元函數(shù)的極值。 12.掌握求簡單應(yīng)用問題的最值。第九章 重積分和曲線積分（說明：曲線積分部分經(jīng)管類不作要求）（一） 課程內(nèi)容：1. 二重積分概念及其幾何意義；2. 重積分的性質(zhì)；3. 直角坐標下二重積分的計算；4. 極坐標下二重積分的計算；5. 二重積分的應(yīng)用；6. 第一型曲線積分（對弧長的曲線積分）的概念與性質(zhì)；7. 對弧長曲線積分的計算；8. 第二型曲線積分（對坐標的曲線積分）的概念與性質(zhì)；9. 對坐

12、標曲線積分的計算；10. 格林公式；11. 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。（二） 考核要求：1. 理解二重積分實質(zhì)與定積分相同，也是一類和式的極限。2. 了解二重積分的性質(zhì)。3. 掌握直角坐標下二重積分的計算，選擇合理的積分順序。4. 掌握極坐標下二重積分的計算。5. 了解曲線積分有著與定積分相類似的性質(zhì)，但應(yīng)注意對弧長的曲線積分與積分路徑L的方向無關(guān)，而對坐標的曲線積分路徑有方向性。6. 了解對弧長曲線積分的計算方法。7. 掌握對坐標曲線積分的計算方法。8. 掌握格林公式的運用。9. 掌握平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件及其應(yīng)用。第十章 無窮級數(shù)（說明：經(jīng)管類不作要求）（一） 課程內(nèi)容：1 常數(shù)

13、項級數(shù)的概念和性質(zhì)；2 正項級數(shù)的審斂法；3 任意項級數(shù)的審斂法；4 函數(shù)項級數(shù)的收斂概念；5 冪級數(shù)的收斂范圍；6 冪級數(shù)的性質(zhì)；7 函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法；8 冪級數(shù)的和函數(shù)。（二） 考核要求：1. 無窮級數(shù)是個“無限和”，理解其收斂與發(fā)散的含義。2. 了解級數(shù)收斂的必要條件和級數(shù)的主要性質(zhì)。3. 了解正項級數(shù)審斂的比較判別法；掌握比較法的極限形式；掌握比值判別法。4. 掌握交錯級數(shù)的審斂法。5. 掌握任意項級數(shù)的審斂步驟。6. 掌握求冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間；了解收斂域。7. 了解冪級數(shù)的性質(zhì)。8. 了解函數(shù)直接展開成冪級數(shù)的方法；掌握間接展開法。四、推薦用書 1.教材：現(xiàn)代遠程教育與

14、繼續(xù)教育精品教材系列 高等數(shù)學（本科使用），吳滿 曾令武編著，華南理工大學出版社（2010版）2.教輔書：高等數(shù)學解題指引與同步練習，吳滿 曾令武編著，華南理工大學出版社（2008 版）五、課后練習（必做題） 同步練習 1-（1）（3）（4），3，58，1012，14，19，21-（1）（8），22，23-（1）（2）（4）， 26，27-（1）（5），28-（2），29，30-（1），31-（3），40-（1）（2）（3）（5）（6），41-（1）（3）（6）（8），42，4648，50，55，56，5861，63. 同步練習 1，3，5，1113，16，17-（1）（4）（6）（8），18

15、-（1）（2）（4）（6），19-（2），23，24-（1）（3），25，26，33-（1）（3），34，42-（1）（2），43，51，52，59，60，6567. 同步練習 6，7，8-（1）（2），9-（1）（4）（5），10-（2）（3），12-（1）（2）（3），13，18，22，23，24-（2），25，27，28，36-（1）（3）（4），40，41. 同步練習 1，2，6，10-（1）（2）（5）（7）（9），11-（1）（2）（3）（5）（6）（8）（10）（13）（16）（17）（19）（22）（24）（25）（27）（30），12，15，16，18-（1）（4）（6）（8

16、）（10），19，21. 同步練習 1，3，4，6-（1）（2），10，11-（2）（4），12-（1）（2），14-（1）（5）（7）（8）（12）（14），25-（1）（4），26，27，30-（7），33 ，35-（1）（4）（7），41-（1）（3），42-（2）（3），43，47，48-（1）（4）（6）（8），50，54，56，57，59，60. 同步練習 3，4，5，7，8-（1）（3）（5），9-（1）（2）（3），15-（1）（2）（3），16-(1)（3），25-（1）（2）,30,34-(1),35,36-(2),38,39-(1) (5)(7). 同步練習（說明：由任課

17、教師自主留題） 同步練習 2，3，5，6，15，16-（1）（2）（5）（6），18，20，2628，3236，40，4548，5559，61，67，68，70. 同步練習 3，4，7，8，9-（1）（2）（5）（8），10，11-（2），12，17，18，20，21，23.（說明：以下練習經(jīng)管類不作要求） 41，42，44，49，50-（1）（2），5457. 同步練習1,3,4-(1),5,6-(1)(2),7,10-(2),11-(1)(2)(4)(5),13,14-(1)(4),15,16,17-(2)(3),18,2426,29.華南理工大學繼續(xù)教育學院高等數(shù)學教學指導(dǎo)小組二一年三月

18、專升本統(tǒng)考樣題（理工類）一、 單項選擇題（每小題4分，共20分）1、設(shè)，則下列偏導(dǎo)數(shù)正確的是（ ）. . . 2、設(shè)，則（ ）. , , , .3、設(shè)，又，則（ ）. . .4、若冪級數(shù)的收斂半徑為，則下列敘述不正確的是( ).在處，該冪級數(shù)一定收斂， .在處，該冪級數(shù)一定發(fā)散，在處，該冪級數(shù)不一定發(fā)散，在處，該冪級數(shù)一定收斂.5、微分方程的通解為（ ）. . .二、 填空題 （每小題4分，共20分）6、設(shè)級數(shù)收斂，則常數(shù)的取值范圍是_.7、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分的積分次序，則 。8、微分方程特解的特定形式為_.9、微分方程的通解為 .10、設(shè)為橢圓，記其周長為,則曲線積分_ .三、 計算題 （每小題8分，共40分，解答應(yīng)寫出推理，演算步驟）11、求微分方程的通解.12、已知函數(shù)，求.13、計算二重積分，其中是由所圍成的區(qū)域.14、計算二重積分，其中是由所確定.15、求微分方程滿足初