論文 傅里葉級(jí)數(shù)及其應(yīng)用

1、傅里葉級(jí)數(shù)及其應(yīng)用專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí):姓名:引言31 傅立葉級(jí)數(shù)的計(jì)算51.1 傅立葉級(jí)數(shù)的幾何意義51.2 傅里葉級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題101.3 傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)111.4 關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的個(gè)別簡(jiǎn)便算法161.5 利用二元函數(shù)微分中值定理研究函數(shù)性質(zhì)192 傅里葉級(jí)數(shù)的相關(guān)定理及其應(yīng)用212.1 n元函數(shù)中值定理及其幾何意義212.2 利用n元函數(shù)微分中值定理研究函數(shù)的性質(zhì)283 微分中值定理在復(fù)數(shù)域上的推廣323.1 復(fù)數(shù)域上的中值定理323.2 利用復(fù)數(shù)域內(nèi)中值定理研究函數(shù)性質(zhì)36結(jié)論39致謝40參考文獻(xiàn)41摘要為了更好地認(rèn)識(shí)和應(yīng)用微分中值定理，使微分中值定理能夠最大的發(fā)揮其重要作

2、用，在深刻理解和掌握教材內(nèi)微分中值定理的基礎(chǔ)上，將微分中值定理在n元函數(shù)以及復(fù)數(shù)域內(nèi)推廣及應(yīng)用加以探討.首先根據(jù)一元函數(shù)微分中值定理的內(nèi)容，給出了羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的統(tǒng)一形式而后又仿照一元函數(shù)微分中值定理的形式對(duì)教材中二元函數(shù)微分中值定理進(jìn)行補(bǔ)充，給出了二元函數(shù)羅爾定理、柯西中值定理和二元函數(shù)泰勒中值定理的表述，并且構(gòu)造“輔助函數(shù)”給出了證明過(guò)程，然后討論了二元函數(shù)羅爾定理與拉格朗日定理的幾何意義接著通過(guò)對(duì)比一元函數(shù)與二元函數(shù)微分中值定理，給出了n元函數(shù)羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同樣借助構(gòu)造的“輔助函數(shù)”把n元函數(shù)轉(zhuǎn)化

3、為一元函數(shù)，進(jìn)而給出了四個(gè)定理的證明，并通過(guò)幾個(gè)典型例題驗(yàn)證了n元函數(shù)微分中值定理的可用性最后從二元函數(shù)微分中值定理著手，給出了復(fù)數(shù)域上的羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同時(shí)通過(guò)幾個(gè)例題驗(yàn)證了復(fù)數(shù)域上微分中值定理的可用性關(guān)鍵詞：n 元函數(shù)； 微分中值定理；幾何意義； 復(fù)數(shù)域AbstractInordertounderstandandmakebetteruseofthedifferentialmeanvaluetheoremwhichcanplayalargestroleinapplication,weexplorethegeneralizationandtheapplicati

4、onofthedifferentialmeanvaluetheoreminn-variablefunctionsandcomplexfieldbasedonthecomprehensionandmasteryofthedifferentialmeanvaluetheoremintextbook.Atfirst,accordingtothedifferentialmeanvaluetheoremofone-variablefunction,wegivetheuniformofRolletheorem,Lagrangetheorem,Cauchymeanvaluetheorem,Taylormea

5、nvaluetheorem.Thenwecomplementthedifferentialmeanvaluetheoremoftwo-variablefunctionintextbookfollowingone-variablefunction,givetheexpressionsofRolletheorem,Cauchymeanvaluetheorem,Taylormeanvaluetheoremoftwo-variablefunction,constituteauxiliaryfunctionandgivetheproofprocedure,discussthegeometricsigni

6、ficanceoftheRolletheoremandLagrangetheoremoftwo-variablefunction.Later,wegivetheexpressionsoftheRolletheorem,Lagrangetheorem,Cauchymeanvaluetheorem,Taylormeanvaluetheoremofn-variablefunctionbycomparingthedifferentialmeanvaluetheoremofone-variablefunctionandtwo-variablefunction.Similarly,byconstituti

7、ngauxiliaryfunction,wechangen-variablefunctionintoone-variablefunctionandgivetheproofoffourtheorems.Checktheavailabilityofthedifferentialmeanvaluetheorembysometypicalexamples.Atlast,proceedfromthedifferentialmeanvaluetheoremoftwo-variablefunction,wegivetheexpressionsofRolletheorem,Lagrangetheorem,Ca

8、uchymeanvaluetheoremincomplexfieldandchecktheavailabilityofthedifferentialmeanvaluetheorembysometypicalexamplesatthesametime.Keywords:n-variable function; differential meanvalue theorem; geometric significance;complexfield引言微分中值定理是微分學(xué)的核心定理，它是聯(lián)系函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的橋梁，微分中值定理把函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值與其導(dǎo)數(shù)值聯(lián)系起來(lái)，應(yīng)用局部狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的

9、“整體”性態(tài)，它是研究函數(shù)性態(tài)的重要工具在大學(xué)四年的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了一些有關(guān)一元微分中值定理的內(nèi)容，我們知道一元函數(shù)的羅爾定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分別建立了函數(shù)與一階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系和函數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在實(shí)際應(yīng)用中，很多情況要突破一元微分學(xué)和平面領(lǐng)域這些局限，為了更好的利用微分學(xué)中值定理這個(gè)重要工具，需要把它的應(yīng)用范圍加以擴(kuò)展，使之能夠在n元微分學(xué)即n1維空間以及復(fù)數(shù)域上得以使用本文將分三部分對(duì)微分中值定理進(jìn)行推廣，第一部分中，首先從數(shù)學(xué)分析教材入手，梳理教材中學(xué)過(guò)的有關(guān)一元函數(shù)微分中值定理的相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)而研究一元函數(shù)羅爾定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之間的

10、關(guān)系，試圖找出統(tǒng)一的中值公式，通過(guò)這個(gè)公式全面認(rèn)識(shí)這四個(gè)定理其次，對(duì)照一元函數(shù)微分中值定理的分析研究，探討二元函數(shù)羅爾定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函數(shù)泰勒中值定理的形式及成立的條件，然后探討定理之間的關(guān)系，找到統(tǒng)一的中值公式，透過(guò)這個(gè)公式再認(rèn)識(shí)微分中值定理，接著仿照一元函數(shù)微分中值定理給出證明及其幾何意義第二部分中，對(duì)比一元函數(shù)與二元函數(shù)微分中值定理，給出n元函數(shù)微分中值定理的成立條件和中值公式，同樣通過(guò)構(gòu)造“輔助函數(shù)”證明定理成立，并自由想象多元函數(shù)微分中值定理的幾何意義第三部分中，從二元函數(shù)微分中值定理入手，仿照二元函數(shù)中值定理的形式，探討微分中值定理在復(fù)數(shù)域上的表述接著再通過(guò)構(gòu)

11、造“輔助函數(shù)”給出定理證明1 傅立葉級(jí)數(shù)自然界中周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述就是周期函數(shù)最簡(jiǎn)單的周期現(xiàn)象，如單擺的擺動(dòng)等，都可以用正玄函數(shù)yasinwt或余弦函數(shù)yacoswt表示.但是，復(fù)雜的周期現(xiàn)象，如熱傳導(dǎo)、電磁波以及機(jī)械振動(dòng)等，就不能僅用一個(gè)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)表示，需要用很多個(gè)甚至無(wú)限多個(gè)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的疊加表示因此，傅里葉級(jí)數(shù)就應(yīng)運(yùn)而生傅里葉級(jí)數(shù)就是將周期函數(shù)展成無(wú)限多個(gè)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之和的一種解決問(wèn)題的簡(jiǎn)便方法其主要是研究級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題，從而利用傅里葉級(jí)數(shù)解決其他生活中的很多相關(guān)問(wèn)題傅里葉級(jí)數(shù)應(yīng)用到我們生活中的各個(gè)角落，主要是在數(shù)字信號(hào)處理等方面有重要應(yīng)用，為我們的生活無(wú)私的奉獻(xiàn)著

12、1.1 一元函數(shù)中值定理及其幾何意義從“幾何”的角度來(lái)看待傅里葉級(jí)數(shù)，當(dāng)我們把一個(gè)周期函數(shù)表達(dá)成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，其實(shí)我們只是在做一個(gè)動(dòng)作，那就是把函數(shù)“投影”到一系列由三角函數(shù)構(gòu)成的坐標(biāo)軸上考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的二維平面的例子.如下圖所示，給定兩個(gè)向量u和v，從u的末端出發(fā)作到v所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，得到一個(gè)跟v同向的新向量p.這個(gè)過(guò)程就稱(chēng)作u到v所在直線(xiàn)的投影，得到的新向量p就是u沿v方向的分量。圖中的系數(shù)c是p跟v的比例，也就是u在v軸上的“坐標(biāo)”.可以用尺規(guī)作圖來(lái)完成投影這個(gè)動(dòng)作，問(wèn)題是：如果給定的向量u和v都是代數(shù)形式的，怎么用代數(shù)的方法求c？圖片1 ：向量u到V所在直線(xiàn)的投影知道ucv這個(gè)向量是“正

13、交”于v的，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是（ucv）Tv0.馬上就可以得到c的表達(dá)式如下:TuVcTVV如下圖所示，現(xiàn)在引進(jìn)一組正交基V1,V2,那么u可以展開(kāi)成以下形式uc1Vlc2V2圖片2：向量u在正交基Vi,V2上的展開(kāi)從圖上來(lái)看，式其實(shí)說(shuō)的是可以把u“投影”到V1和V2這兩個(gè)坐標(biāo)軸上,G和C2就是u的新“坐標(biāo)”.問(wèn)題是：怎么求G和C2呢？利用之前關(guān)于投影的討論，可以直接得出答案，直接利用式就可以得到如下的表達(dá)式：TTuv1uv2c；c；Mv1v2v2如果想把一個(gè)向量在一組正交基上展開(kāi)，也就是找到這個(gè)向量沿每條新“坐標(biāo)軸”的“坐標(biāo)”，那么我們只要把它分別投影到每條坐標(biāo)軸上就好了，也就是把式中的v換

14、成新坐標(biāo)軸就好了.這些東西跟傅里葉級(jí)數(shù)有什么關(guān)系？給定一個(gè)周期是21的周期函數(shù)fx,它的傅里葉級(jí)數(shù)為：nxa0ancosbnsinn1l其中系數(shù)表達(dá)式如下:a0anifxdxJ2l1fnxfxcosdxl,n1lbn1nx.fxsindx1il,n從幾何角度來(lái)看，f組成的“正交基”來(lái)展開(kāi),x可以用下面這組由無(wú)限多個(gè)三角函數(shù)（包括常數(shù)）X.一x_2x2x,1,cos，sin，cos,sin,llll從幾何投影的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看待傅里葉級(jí)數(shù)，理解變得更加容易，因?yàn)槿菀桌斫馔队暗母拍?；同事，傅里葉級(jí)數(shù)所有的公式都可以輕松的記住，想忘記都難了.還可以嘗試著用不同的角度去看待同一個(gè)問(wèn)題，這樣做會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的簡(jiǎn)便方

15、法和問(wèn)題.1.2 傅里葉級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題定義1若函數(shù)fx在區(qū)間a,b除有限個(gè)第一類(lèi)剪短點(diǎn)外皆連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)fx在a,b逐段連續(xù).若函數(shù)fx與它的導(dǎo)函數(shù)f'x都逐段連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)fx在a,b逐段光滑.顯然，逐段光滑的函數(shù)是可積的.1.2.1 相關(guān)定理定理1若fx是n元函數(shù)f在凸區(qū)域R上以2為周期的在，逐段光滑的函數(shù)，則函數(shù)fx的傅里葉級(jí)數(shù)在R收斂，其和函數(shù)式1-fx0fx0,即x,有21 ,八-a0.-fx0fx0ancosnxbnsinnx.2 2n1這就是一元函數(shù)的羅爾定理的公式nfxi x10i1x1, x20x2 ,L , xn0xnxi0 n特別地，當(dāng) n 1 時(shí)，fxix10

16、x1,x20x2,L,xn0xnxi0變?yōu)閕1x x0 ，所以， fx00 f x0x x0x x0 x x00,0.1 即f c 0 ， c x0 ,x n 元函數(shù)羅爾定理的幾何意義：在n1維空間里，閉區(qū)域D上有連續(xù)超曲面yfx10,x20,L,xn0，超曲面上每一點(diǎn)都存在超切平面，且在超曲面的底面與x1x2Lxn1面平行，則超曲面上至少有一點(diǎn)C1,2,L,n,f1,2,L,n，使得過(guò)該點(diǎn)的超切平面平行于x1x2Lxn1面上連續(xù)，定理2（n元函數(shù)拉格朗日定理）設(shè)n元函數(shù)f在凸區(qū)域DR在 D 的所有內(nèi)點(diǎn)都可微，對(duì)D 內(nèi)任意兩點(diǎn)，P1x10x1 ,x20x2 ,L ,xn0xn ，P2 x10

17、,x20 ,L ,xn0D ，0,1 ，使得f x10x1, x20x2,L ,xn0xnx10 ,x20 ,L ,xn0nfxi x10i1x1 ,x20x2 ,L , xn0xnxi (2-1)證明 令 tf x10t x1, x20t x2 L xn0t xn ，t10,1 ，使得它是定義在0,1上的一元函數(shù)，由定理中的條件知t在0,1上連續(xù)，在0,1由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則fXXixi0X1 , X20X2,L,Xn0XnX1 Lf X10X1，X20X2，L ,Xn0Xn Xn.nfXi i 1X1，X20X10X2，LXi, X20，Xn0XnX2,L ,Xn0XnXi ,0,1 .f

18、 X10,X20,L ,Xn0 .所以,X1, X20X2,L ,Xn0Xnf X10 , X20 ,L ,Xn0nfXi為0X1,X20X2,L,Xn0i1特別地，當(dāng)n1,則由（2-1）式有f x f X0f x0 xX0這就是一元函數(shù)的拉格朗日中值公式.n元函數(shù)拉格朗日定理的幾何意義：在1維空間里，閉區(qū)域D上有連續(xù)超曲面yfX10，X20,L,x超曲面上每一點(diǎn)都存在超切平面，超曲面被超平面所切得面，則超曲面上至少有一點(diǎn)C1，2Ln，f1，2，L,n,使得過(guò)該點(diǎn)的超切曲面平行于面定理3（n元函數(shù)柯西中值定理）設(shè)n元函數(shù)f和g在凸開(kāi)域DRn上連續(xù)，在D內(nèi)關(guān)于各個(gè)變?cè)哂羞B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)D內(nèi)任意

19、兩點(diǎn)P1（X10,X20,Xn°）,nP2(X10X1,X20X2,L,Xn0Xn)D,9為的。X1，,Xn0Xn)Xi0,則有i1f(X10g(X10X1，L,Xn0Xn)f(X10,L,Xn0)X1,L,Xn0Xn)g(X10,L,Xn0)fx(x10xn)xii1ngXi(X10X1,L,Xn0i1，(0Xn)Xi1).證明首先證明g(X10X1,Xn0Xn)g(X10,Xn0)0,用反證法.假設(shè)g(X10X1,Xn0Xn)g(X10,Xn0)0g(Xl0Xi,xn)g(Xl0,根據(jù)n元函數(shù)的羅爾定理,(0,1),使得與已知條件g，X10i1其次作輔助函數(shù)f(X10tX1,f(

20、X10X1,Xn0g(X10X1,Xn0gXi(X101X1,Xn0,Xn0tXn)X1,Xn0Xn)XiXn)Xi0矛盾.f(X10,Xn0)Xn)f(X10,Xn0)r/.-；g(X10tX1,Xn)g(X10,Xn0)其中0t1.由定理中的條件知在0,1上連續(xù),(0)0,根據(jù)一元函數(shù)的羅爾定理，存在(0數(shù)的求導(dǎo)法則n()fXi(X10X1,Xn0Xn)Xii1f(X10g(X10X1,L,Xn0Xn)f(X10,L,Xn0)X1,L,Xn0Xn)g(X10,L,Xn。),Xn0tXn)g(X10,在(0,1)內(nèi)可微,1)使得()0ng(X10X1,L,Xn0i1,Xn0),0,Xn)Xi

21、又()0.所以,f(X10X1,Xn0g(X10X1,Xn0Xn)f(X10,Xn。)Xn)g(X10,Xn0)nfXi(Xi0Xi,Xn0Xn)Xj，(0i).gXi(Xi0Xi,Xn0Xn)Xiii函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示的是曲線(xiàn)在這點(diǎn)的切線(xiàn)，一元函數(shù)微分中值定理表示的是過(guò)一點(diǎn)的切線(xiàn)與割線(xiàn)的位置關(guān)系.那么當(dāng)函數(shù)變?yōu)閚元函數(shù)時(shí)，中值定理又對(duì)應(yīng)著怎樣的幾何意義呢?通過(guò)對(duì)一元函數(shù)泰勒中值定理與二元函數(shù)泰勒中值定理的探討，不難有這樣的問(wèn)題：在n元函數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)有怎樣的關(guān)系，泰勒中值定理又會(huì)變成怎樣的形式呢?定理4(n元函數(shù)的泰勒中值定理)設(shè)函數(shù)Uf(Xi,X2,L,Xn)在點(diǎn)且具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

22、,P0(Xi0,X20,L,Xn0)的某一鄰域UR內(nèi)連續(xù),(Xi0Xi,X20X2,L,Xn0Xn)U(P。)，則(0,1),使得f(Xi0Xi,X20X2,Xn0Xn)nf(Xi0,X20,L,Xn0)f(X)0,X20,L,Xn0)-'Xi其中Ri2!2f(Xi0Xi,X20X2,Xn0Xn)XiXjXi證明考慮函數(shù)(t)f(Xi0tXi,X20tX2,Xn0tXn)(0)f(Xi0,X20,Xn。),(i)f(Xi0Xi,X20X2,Xn0Xn).由于函數(shù)Uf(Xi,X2,Xn)在點(diǎn)P0(Xi0,X20,Xn0)的某一鄰域U(P。)內(nèi)連續(xù),并且具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而復(fù)合函

23、數(shù)(t)f(Xi0tXi,X20tX2,Xn0tXn)在t0的鄰域內(nèi)對(duì)t有連續(xù)的一階及二階導(dǎo)數(shù).由一元函數(shù)的泰勒公式可以得(0)1(0)t(2!t)t2,0(2-2)因?yàn)?t)x10tx1,X20tX2，L,Xn0tXnXi(t)nd1dtf(Xi0tXi,X20tX2,L,Xn0tXn)Xi2fX10tK,X20tX2,L,Xn0tXnXXjXj所以,(0),(t)(0),fX101n2!i1(0)fX10,X20,L,Xn0Xi2fX10tX1,X20tX2,L,Xn0tXnXXjXiXj(t)代入(2-2)式后再令t1,便得到泰勒公式X，4X2，L,Xn0Xnf(X10,X20,Xn0)

24、n2nfX10X1,X20fX10,X20,L,Xn0XiR,XXjX2,L,Xn0XnXiXj如果設(shè)函數(shù)uf(X1，X2，,Xn)在點(diǎn)P0(X10,X20,Xn°)的某一鄰域且具有n1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(X10X1,X20X2,Xn0Xn)U(P0),U(P0)內(nèi)連續(xù)則(0,1),使得fX10X1,X20X2,L,Xn0Xn其中Rn日余項(xiàng).因?yàn)閒xl0,X20,L,xn0kik!f(xi0,x20,L,xno)xfxi0,x20,L,xn0Rn,證明nifX0xi,L,xn0xn作輔助函數(shù)(0)f(xio,x20,ddtxi這稱(chēng)為拉格朗(t)f,xn0),f(xi0xio(1)x1,x

25、20f(xi0t4,x20txif(xi0,x20,L,xn0)xixi,x20x2,xn0x2,Xn0tXn)Xixifxi0txi,L,xn0d2dt2用數(shù)學(xué)歸納法可以得到n(k)(t)ii由一元泰勒公式(0)將（0）f(xi0，x20，式得Xi0Xi,Lf(Xw，Lf(xi0,x20,Lxn0)f(xi0,x20,L,xn0)(0)xif(xi0xi,L,xn0xif(xi0txi，L,xn0xn)i,2,n).?!(0)，xn0)xnin!f(xi0(n)(0)i(ni)!(n(0(2-3)xi,x20x2,xn0xn),(n)(0)代入(2-3)f(xl0,X20,L,xn0)f(x

26、i0，L，xn0)2!i1f(X10,X20,L,Xn0)XiXif(x10,L,xn0)L1f(X10,X20,L,Xn0)n!i1XinXfX10,L,Xn0Rn,n1f(X10,X20,L,Xn0)XiXifX10X1,L,Xn0Xn)(01)2.2利用n元函數(shù)微分中值定理研究函數(shù)的性質(zhì)例2.1設(shè)n元函數(shù)f在凸開(kāi)域DRn上可微，D上取定一點(diǎn)Po(Xio,X2o,4°)且P(X10X1,X20X2,Xn0Xn)D,有fXi(P)0,i1,2,n,則PD,有f(P)C(常數(shù))，即f(P)是常數(shù)函數(shù).證明n元函數(shù)f在D上滿(mǎn)足n元函數(shù)的拉格朗日定理的條件，根據(jù)n元函數(shù)的拉格朗日定理,(

27、0,1),使得f ( X10X1, X20X2 ,因?yàn)辄c(diǎn) P1(X10X1,X20fX X10X1 , X201X2,L ,Xn0Xn Xi .X2,Xn0Xn)所以，fXi(P1) 0.即f (X10X1 , X20X2, ,XnoXn)f (X10 , X20 ,Xn0 ) 取 f(X10,X20, ,Xn0) C ,f(P)C ,即f(P)是常數(shù)函數(shù).例2.2 若n元函數(shù)f和g在凸開(kāi)域DRn上連續(xù)，在D內(nèi)關(guān)于各個(gè)變?cè)?Xn0Xn)f(X10,X20,Xn°)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，D上取定一點(diǎn)P0(X10,X20,Xn0),且對(duì)任意的點(diǎn)P(X10X1,X20nX2 ,L , Xn0X

28、n ) D ,fXi (P)g%(P),i1,2,L,n.而且gX(X10X1,L,Xn0Xn)i1不為零.則PD,有f(P)g(P)C,其中C是常數(shù)，0證明因?yàn)閚元函數(shù)f和g在D滿(mǎn)足n元函數(shù)的柯西定理的條件，則f(X10X1,Xn0Xn)f(X10,Xn°)g(X10X1,Xn0Xn)g(X10,Xn°)nfx(X°X1,L,Xn0Xn)Xii1ngXi(X10X1,L,Xn0,(01).Xn)Xi又P(X10X1,Xn0Xn)D,所以,fX(R)gXi(R),i1,2,n.即所以,即f(P)g(P)f(P。)設(shè)f(P。)例2.3P|(Xi0,X20,f(X10

29、X1,中i1,2,L證明nfXi(P1)Xii1ngxi(P1)Xi.i1f(X10X1,L,Xn0g(Xi0X1,L,Xn0g(P。).Xn)Xn)g(P。)C,則PD,有f(P)證明：設(shè),Xn0),F2(X10,Xn0Xn)f(Xi0,L人)g(Xio,L,Xn。).n元函數(shù)f在凸開(kāi)域Dg(P)C,其中C是常數(shù).X1,X20X2,L,Xn0Xn)f(X10,Xn0),且fx(P)Rn上可微，對(duì)D內(nèi)任意兩點(diǎn)a,PD(a是常數(shù)且a0)其nXii10.因?yàn)閚元函數(shù)f在D上滿(mǎn)足n元函數(shù)的羅爾定理的條件，所以,(0,1),使得nfXi(x10X1,Xn0Xn)Xi0)i1由已知條件，點(diǎn)P3(Xi0X

30、i,XnoXn)D,有f*(2)a,i1,2,n所以，nnaxi0,axi0.i1i1n因此，xi0.i1例2.4若f(x,y,z)sinxsinysinz,證明對(duì)某(0,1)有-cossinsinsincossinsinsincos8334643466346D的所D ,根證明三元函數(shù)f(x,y,z)sinxsinysinz在凸開(kāi)域DR3上連續(xù)，在有內(nèi)點(diǎn)都可微，則對(duì)D內(nèi)任意兩點(diǎn)弓國(guó),乙)，P,(x1x1,y1%,乙乙)據(jù)n元函數(shù)的拉格朗日定理，(0,1),使得f(x1x1，y1y1,Z1Z1)f(x1,y1,z1)fx(x1x1,y1y1,z1z1)x1fy(x1x1,y1y1,z1Z1)y1

31、fz(x1x,1y1,Z1z1)z1.即sin(x1x1)sin(y1y1)sin(z1z1)sinx1siny1sinz1cos(x1x1)sin(y1y1)sin(z1z1)x1sin(x1x1)cos(y1y1)sin(z1z1)y1sin(x1x1)sin(y1y1)cos(z1z1)z1；,z1則sin x1 sin y1 sin z1sin(x1一)sin(y1一)sin(z1一)346cos(x1一)sin(y1一)sin(z1一)一3463sin(xi)cos(yi)sin(zi一)一3464sin(x1一)sin(y1一)cos(z1一346取xiyizi0,則sinsins

32、incossinsinsincos346334643sinsincos,6346即cossinsinsincossinsinsin83346434663例2.5若在區(qū)域DRn內(nèi)f的諸偏導(dǎo)數(shù)fxi(P)(ii,2,函數(shù)f在D內(nèi)連續(xù).證明假設(shè)|fxi(P)|M,PD,ii,2,n.任取PPP(xixi,x2x2,xnxn),與連接P及PP的直線(xiàn)段(設(shè)P|P|充分小)全部包含在的拉格朗日定理，得n|f(PP)f(P)|fXi(PP)xi|iin1fxi(PP)l1xi|nM|iinM/n(x)2,0i.ii于是，0,/nM,使得當(dāng)P|P|時(shí)，有1f(PP)f(P)l.)6-一sin一461cos.4

33、6,n)存在且有界，則D,設(shè)D內(nèi)，則由n元函數(shù)P|所以，函數(shù)f在點(diǎn)P連續(xù).由P的任意性知，函數(shù)f在D內(nèi)連續(xù).例2.6將函數(shù)f(x,y,z)x3y3z33xyz在點(diǎn)1,1,1展成泰勒公式.解f(1,1,1)0fx(1,1,1)fy(1,1,1)fz(1,1,1)0，fxx(1,1,1)fyy(1,1,1)fzz(1,1,1)6，fxy(1,1,1)fyz(1,1,1)fzx(1,1,1)3，fx3(1,1,1)fy3(1,1,1)fz3(1,1,1)6，fxyz(1,1,1)3，fxy2(1,1,1)fyz2(1,1,1)fzx2(1,1,1)fyx2(1,1,1)fzy2(1,1,1)fxz2

34、(1,1,1)0，且高于3階的偏導(dǎo)數(shù)都恒為0.于是，由n元函數(shù)的泰勒公式，有f(x,y,z)x3y3z33xyz3(x1)2(y1)2(z1)2(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)(x1)3(y1)3(z1)33(x1)(y1)(z1)小結(jié)n元函數(shù)微分中值定理的表述形式與二元函數(shù)中值定理的形式類(lèi)似，都是函數(shù)值與各偏導(dǎo)數(shù)和增量乘積的關(guān)系在證明上也是采用了構(gòu)造“輔助函數(shù)”的方法在實(shí)數(shù)域中，微分中值定理聯(lián)系了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，無(wú)論是一元函數(shù)、二元函數(shù)還是n元函數(shù)，微分中值定理都對(duì)研究函數(shù)性質(zhì)有重要的輔助作用，那么如果函數(shù)定義在復(fù)數(shù)域中，微分中值定理還適用嗎？3微分中值定理在復(fù)數(shù)域上的推廣由于二

35、元函數(shù)在固定某個(gè)變量為暫時(shí)常量下可以看作一元函數(shù)，再由偏導(dǎo)數(shù)的定義，我們可先將一元微分中值定理推廣到二元實(shí)函數(shù)上而二元實(shí)函數(shù)與復(fù)函數(shù)都是以有序數(shù)對(duì)為自變量的函數(shù)，它們之間有著密切的聯(lián)系，因此在有關(guān)性質(zhì)上也應(yīng)該有著密切聯(lián)系，所以又可利用二元實(shí)函數(shù)的微分中值定理，將實(shí)數(shù)域上的微分中值定理推廣到復(fù)數(shù)域上，得到解析函數(shù)的微分中值定理，為應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究解析函數(shù)的性質(zhì)提供了新工具，構(gòu)建了有用的平3.1 復(fù)數(shù)域上的中值定理引理1(可微的充要條件)設(shè)函數(shù)fzux,yivx,y在區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)zxiy可微的充要條件是：(1)二元函數(shù)ux,y、vx,y在點(diǎn)x,y可微；(2)ux,y、vx,y在點(diǎn)x,y滿(mǎn)足C.R方程，

36、即'，,，xyyx上述條件滿(mǎn)足時(shí)，fz在點(diǎn)zxiy的導(dǎo)數(shù)可以表示為下列形式之一：工u.vv.ufziixxyyu.uv.vii-.xyyx證明設(shè)fz在D內(nèi)一點(diǎn)z可微，則fzfzzz,其中是隨z0而趨于零的復(fù)數(shù).若令fzi,zxiy,fzuiv,貝Ufzfzzz可寫(xiě)成uivxyixy1i2,這里iRex,2Imz是zdz2y2的高階無(wú)窮小.比較上式兩端的實(shí)、虛部，即得uxy1,vxy2.由數(shù)學(xué)分析二元函數(shù)的微分定義即知,u x,y與v x, y在點(diǎn)x, y可微，且UxVy,UyVx.由ux,y與vx,y的可微性即知，在點(diǎn)x,y有uuxxuvyxyJVvxxvyy2.其中i與2是，L的高階

37、無(wú)窮小.再由C.R.方程，可設(shè)UxVy,UyVx.于是，有fuivxy1ixy2ixiy1i2.所以，limi.即z0zU.VV.ufziiixxyyu.uV.Vii.xyyx定理1（費(fèi)馬定理）設(shè)函數(shù)fzux，yiVx，y在定義域內(nèi)一點(diǎn)z0x0iy0的某領(lǐng)域Uz0內(nèi)有定義，并且在z0處可導(dǎo)，若對(duì)任意zxiyUz0有ux0,y0ux,y或ux0,y0ux,y,vx0,y0vx,y或vx0,y0vx,y.則必有fz00.證明根據(jù)引理可知函數(shù)ux,y和函數(shù)vx,y在點(diǎn)x0,y0可微，且fz04x0,y0ivxx0,y0.要使fz00,只需川x0,y00,vxx0,y00.先證uxx0,y00.由于u

38、x,y在定義域內(nèi)一點(diǎn)x0,y0可微，則ux,y在該點(diǎn)u x,y在點(diǎn)x0,y0的鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)關(guān)于每一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)存在.又因?yàn)閤,y有uXo,youx,y或uXo,youx,y.故uxx0,y00同理可證vxx0,y00定理2（羅爾定理）若fzux,yivx,y滿(mǎn)足下列條件：(1)在有界閉區(qū)域D上連續(xù);(2)在D內(nèi)解析；(3) fZifZ2,其中Zi,Z2為D內(nèi)的兩定點(diǎn)ZiXiiyi,z?x?iy?.則至少存在一點(diǎn)z0x0iy0使得fz00證明由解析函數(shù)的定義知fZ在D內(nèi)任意一點(diǎn)x,y可導(dǎo)，根據(jù)引理得到u x, y 和 v x, y 在 D 內(nèi)任一點(diǎn)x, y 可微，且 f Z u x, yi

39、v x, y 的求導(dǎo)公式為fZuxivxvyiuyfZifZ2，其中Zi,Z2為D內(nèi)的兩定點(diǎn)Zixiiyi，Z2x2iy2并且uxi,yiux2,y2，vxi,yivx2,y2令Fx,yux,yvx,y，則函數(shù)Fx,y在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D內(nèi)可微，并且有Fxi,yiFx2,y2則至少有一點(diǎn)x0,y0D，使得0Fxx0,y00，F(xiàn)yx0,y0因?yàn)镕xx0,y0uxx0,所以，uxx0,y0根據(jù)引理可知uxvy,uyuxx0,y0y0vxx0,y0，F(xiàn)yx0,y0vxx0,y00，uyx0,y0Vx,于是，有vyx0,y00，uyx0,y0uyx0,y0Vyx0,y0Vyx0,y00Vxx0,

40、y00所以,fzUxX0,y0iVxX0,y00.定理3 (拉格朗日定理)若復(fù)函數(shù)fzux,yivx,y滿(mǎn)足下列條件:(1)在有界閉區(qū)域D上連續(xù);(2)在D內(nèi)解析；(3)4與Z2是D內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)zi則至少存在一點(diǎn)Z0D,使得f4證明令FzfzfZiZ2連續(xù)，在D內(nèi)解析，并且Fz1Fz2,Fz根據(jù)羅爾定理可得至少存在一點(diǎn)z0Fzfzz2fz2fz1z24zzi,則函數(shù)Fz在有界閉域D上zifz2f4fz214ziD,使得fz2fzic0.z2zi定理4(柯西中值定理)若函數(shù)fz與gz滿(mǎn)足下列條件:(i)復(fù)函數(shù)fz與gz在有界閉區(qū)域D上連續(xù);復(fù)函數(shù)fz與gz在D內(nèi)解析；fz與gz在D內(nèi)不同時(shí)為零；

41、gzigz2,zi與z2是D內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)ziz2.則至少存在一點(diǎn)z0D,使得工fz2f.g4gz2gzi證明做輔助函數(shù)fz2fZ1FzfzfZigzgZi.gZ2gZi易見(jiàn)F在D內(nèi)滿(mǎn)足羅爾定理，故存在ZoD,使得fZ2fZjFZofZogZo0.gZ2g4因?yàn)間Zo0,所以，有fZofZ2fzigZogz2gzi微分中值定理不僅在實(shí)數(shù)域內(nèi)建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的橋梁，在復(fù)數(shù)域內(nèi)也適用聯(lián)系函數(shù)與導(dǎo)數(shù).這使中值定理在函數(shù)性態(tài)研究中有了更全面的理論和更廣泛的應(yīng)用.3.2利用復(fù)數(shù)域內(nèi)中值定理研究函數(shù)性質(zhì)例3.1設(shè)函數(shù)fz在復(fù)數(shù)域D內(nèi)解析，并且zD,有fzo,證明fz在D內(nèi)為常數(shù).證明任取D內(nèi)的兩個(gè)互異的點(diǎn)z

42、i和Z2,若豆含于D.與拉格朗日中值定理可得fzifz24Z2由已知條件，fzo.所以，fZifZ2.ZiZ2含于D,在D中取有限個(gè)點(diǎn)oZi,nZ2,使線(xiàn)段jij含于D中ji,2,n,有fZififnfZ2.所以，fz在D內(nèi)為常數(shù).例3.2若函數(shù)f和g在復(fù)數(shù)域D上連續(xù)，在D內(nèi)解析，D內(nèi)任取一點(diǎn)“，使得ZozD且有fZogZ0.則zD,有f(z)g(z)C,其中C是常數(shù).證明函數(shù)f和g在復(fù)數(shù)域D上連續(xù)，在D內(nèi)解析，D內(nèi)取有兩互異點(diǎn)zo和Zoz.即點(diǎn)Zo和點(diǎn)的點(diǎn)Zoz的連線(xiàn)在D內(nèi).根據(jù)柯西中值定理，得fZo-fZoZfzgZogZoZgZ其中z在D內(nèi).因?yàn)閒zgZ,所以，fZofZoZgZogZoZ.即fZogZofZoZgZoZ.取fZoZgZoZC,貝UZD,有f(z)g(z)C,