討論多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系

1、討論多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系祁麗梅赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，赤峰024000摘要:本文先是對二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在及可微之間的關(guān)系就具體實例進(jìn)行了討論，然后推廣到多元函數(shù)由此來總結(jié)有關(guān)多元函數(shù)微分學(xué)中關(guān)于上述三個概念之間的關(guān)系，并通過二元函數(shù)具體的實例詳細(xì)加以證明。關(guān)鍵詞:二元函數(shù)；多元函數(shù)；連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)；存在；可微一、引言多元函數(shù)微分學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容,是微積分學(xué)在多元函數(shù)中的具體體現(xiàn)，多元函數(shù)的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)存在及可微性之間的關(guān)系是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中易發(fā)生的概念模糊和難以把握的重要知識點。盡管它與一元函數(shù)的微分學(xué)有許多共同點，但它們之間也同樣有一些差異，這些差異是由“

2、多元”這一特殊性引起的。二、二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系1、若二元函數(shù)f在其定義域內(nèi)某點可微，則二元函數(shù)f在該點偏導(dǎo)數(shù)存在，反過來則不一定成立?？晌⒌谋匾獥l件：若二元函數(shù)在p0x0,y0可微，則二元函數(shù)zfx,y在p0x0,y0存在兩個偏導(dǎo)數(shù)，且全微分dzAxBy中的A與B分別是AfxXo,yo與BfyM,y。其中x,y為變量x,y的改變量，則xdx,ydy，于是二元函數(shù)的全微分為dzfxxo,yodxfyxo,yody類似的n元函數(shù)ufx1,x2,xn在點Qx1,x2,xn的全微分為dudx1Xidx 2X2dx 2X2dx我們知道一元函數(shù)的可微與可導(dǎo)是等價的，但通過上述情況可以

3、知道二元函數(shù)可微一定存在兩個偏導(dǎo)數(shù)，反之二元函數(shù)存在兩個偏導(dǎo)數(shù)卻不一定可微。函數(shù)fx,yRxy在原點0,0存在兩個偏導(dǎo)數(shù)，由偏導(dǎo)數(shù)定義有fx 0,0fy 0,0lim fx 0x,0 f 0,0xlim f 0, y f 0,0y 0ylim 0x 0 xlim 0y 0 y兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，但f x, y、：xy在原點0,0不可微證明：假設(shè)它在原點可微dffx0,0xfy0,0y0ff0x,0yf0,0xy22,xy特別地，取xy有f71xyvlx|2Ix丁42x2v12|xlim 30x1lim-一0x02x.2即fdx比不是高階無窮小0。與可微定義矛盾，于是函數(shù)fx,y：xy在原點0,0

4、不可微。二元函數(shù)z f x, y在Po xo, y0的全微分dzfx xo, Yo x fy xo,yo y涉及函數(shù) f x, y在點Poxo,Yo鄰域內(nèi)所有點的函數(shù)值，而偏導(dǎo)數(shù)fxxo,Yo與fyx0,y0存在并不能保證函數(shù)zfx,y在PoXo,y可微。2、若二元函數(shù)函數(shù)f在其定義域內(nèi)的某點可微，則二元函數(shù)f在該點連續(xù)，反過來則不定成立。3、函數(shù)zfx,y在PoXo,y0可微是指fx,y在該點的全增量z與其全微分dz之差是關(guān)于的高階無窮小，當(dāng)x0,y0時的高階無窮小，即zXo,yoxx0,yyxy22,xy從全微分定義可知，zfxxo,yoxfyxo,yoy,則！畋zoyyo因此函數(shù)zfx,

5、y在Poxo,yo連續(xù)。若函數(shù)zfx,y在點Poxo,yo可微，則它在該點一定連續(xù)，但反之是不一定成立的。fx,ysin%；x2y2在原點o,o連續(xù)，但fx,ysinvx2y2在原點o,o不可微。事實上fox,ofo,olimxovsinx|,入右lim不存在xoyfo,oyfo,osiny山limlim-也不存在yoyxoy即該函數(shù)在原點o,o的偏導(dǎo)數(shù)是不存在的。例22xy2222,xyo設(shè)fx,yx2y222o,x2y2o則fx,y在點o,o連續(xù)，偏倒數(shù)存在，但在該點不可微。1)fxo,ofolim一xox,ofo,ox2)0,0連續(xù)。所以3) lim 330limx, y 0,0f0,0

6、yf0,0fy0,0lim,0yy0y故fx,y在點0,0偏導(dǎo)數(shù)存在fx,y在點此時，若取xlym 0,02x2xlxm0x|1 k2fdf一一此極限顯然不存在，所以limo不存在，故x,y在點0,0不可微。3、二院函數(shù)f在其定義域內(nèi)某點是否連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在無關(guān)我們知道，若一元函數(shù)yfx在點/可導(dǎo)，則yfx在小連續(xù)。但反過來若一元函數(shù)yfx在x0連續(xù)，則它在該點的導(dǎo)數(shù)卻不一定存在。這就是所謂的可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。然而，二元函數(shù)zf x,y在某點p0 xO, y0有關(guān)于x和y的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,可是zf x,yP0 x0,y0存在關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)fx x0,y0 ,在點P0x0,y卻不一定連

7、續(xù)。這是因為zfx,y在點只能得到一元函數(shù)zfx,y0在點x0連續(xù)。同樣，由fyx0,y0存在，只能得到一元函數(shù)zfx0,y在y0連續(xù)，但是，并不能得出zfx,y在點p0x0,y0連續(xù)。f x, y22x y ,xy 01,xy 0f 0,0x,0f 0,0lim x 0X 0同理fy 0,00于是，函數(shù)f x, y在點0,0存在兩個偏導(dǎo)數(shù)，但是沿著直線2y 0 ,有 lim f x,0 lim x 0。x 0x 0沿著直線 y x x 0 ,有l(wèi)im f x,x x 0lxm0 1 1即函數(shù)f x,y在點0,0不存在極限，則函數(shù)f x, y在點0,0不連續(xù)。例5f x, y、；x2y2在點0

8、,0連續(xù)，但它在點0,0處偏導(dǎo)卻不存在事實上：lim f x, y 0 f 0,0x,y 0,0即f x,y4x2 y2在點0,0連續(xù),02. 0202lim ,此極限不存在 x 0 xf0,0yf0,0同理lim也不存在。y0y以上兩例題說明：1）二元函數(shù)zfx,y在點P0x0,y0偏導(dǎo)數(shù)存在，二元函數(shù)zfx,y在點px。可以不連續(xù)；2）二元函數(shù)zfx,y在點P0x0,y0連續(xù)，二元函數(shù)zfx,y在點P0x0,y0偏導(dǎo)數(shù)也可能不存在；即二元函數(shù)zfx,y在點P0x0,y0偏導(dǎo)數(shù)存在與否，與其在該點是否連續(xù)無關(guān)。但反之是不一定成立的。4、函數(shù)zfx,y的偏導(dǎo)數(shù)再點P0xO,y的某鄰域內(nèi)存在，且

9、在點px,y處連續(xù)，則二元函數(shù)f在該點可微fy x0,y0 在如果函數(shù)zfx,y的偏導(dǎo)數(shù)在某點p0x0,y0的某鄰域內(nèi)存在，且fxx0,y0某點PoXo,yo連續(xù)（函數(shù)zfx,y在PoXo,yo已經(jīng)連續(xù)），那么函數(shù)zfx,y在某點PoXo,yo可微。把全增量z記作zfXox,yoyfXo,y0fXox,yoyfx,yoyfx,yyfX0,y0第一個括號里部分是函數(shù)fx,yoy關(guān)于x的偏增量；第二個括號部分，則是函數(shù)fXo,y關(guān)于y的偏增量。對它們分別應(yīng)用一元函數(shù)的拉格朗日中值定理，得zfxXo1x,yoyXfyXo,yo2y,01,21由于 fx Xo, yofy Xo,yo 在點 Po Xo

10、,yo連續(xù)，因此有fx Xo1x,yoyfx Xo, yolim0fy Xo , yofy Xo , yolimo從而,于是fx xo, yofy Xo, yof Xox,yoyf Xo, yofxXo,yoXfyXo,yoy即函數(shù)X, y在點Po Xo,yo可微。5、定理1:設(shè)函數(shù)fx,y在點poxo,yo的某領(lǐng)域UPo內(nèi)有定義，若fxo,y作為y的一元函數(shù)在yyo連續(xù)，fxx,y在UPo內(nèi)有界，則fx,y在點PoXo,yo連續(xù)。證明：任取xox,yoyUPo則fXox,yyfXo,y0fXox,yoyfXo,yoyfXo,yoyfx0,yo(1)因為又由fXX,y在UPo內(nèi)有界，所以對于取

11、定的yoy,fX,yy作為x的一元函數(shù)在以Xo和Xox為兩端點的閉區(qū)間上可導(dǎo)，所以依據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中的拉格朗日中值定理fXox,yoyfXo,yoyfx Xox, yo代入（1）式有f XoX,yo yxo,yofx Xox, yoxo,yoy f Xo, yo(2)因為XoX, yoU Pofx XoX, yoy有界，所以當(dāng) x, y 0,0時有 fx Xox, yo y由fXo,y作為y的一元函數(shù)在yy連續(xù)，所以當(dāng)x,y0,0時，有fXo,yoyfXo,yoo所以由（2）有l(wèi)imofXo,yoyfXo,yo0yo所以fx,y在點PoXo,yo連續(xù)。同理可得如下的定理定理2：設(shè)函數(shù)fx,y

12、在點PoXo,yo的某領(lǐng)域UPo內(nèi)有定義，若fXo,y作為x的一元函數(shù)在xXo連續(xù)，fxx,y在UPo內(nèi)有界，則fx,y在點Pox0,yO連續(xù)。三、將定理1推廣到多元的情形中去定理3：設(shè)函數(shù)fXi,X2,Xn在點PoXi,X2,Xn的某領(lǐng)域UP內(nèi)有定義，若fxix1,x2在Up0有界，i1,2,nfx1,x2,xi1,xi0,xi1,xn作為x1,x2,xi1,xi1,xn的n1元函數(shù)在點00x1,x2,xi00,xi1,0,xn連續(xù)，則在則在x1,x2,xn在點p0x1,x2,0,xn連續(xù)。證明：p0內(nèi)任取點0x10x1x1,x2x,0,xnx1,x2x2,xnxnxnfx1,x2,0,xn

13、fx100x1,x2x2,0,xnxn0fx10x1,x2x2,0,xi10xi1,xi,xi1xi0,xnxnfx100x1,x2x2,xi00xi1,xi,xi1xi01,xnxn00fx1,x2,0,xn3)又因為fxix1,x2,xn在Up0內(nèi)有界1,2,n，所以對于固定的xjxjj1,2,ni)，fx100x1,x2x2,xi00xi1,xi,xi1xi10,xnxn作為xi的一元函數(shù)在以0x1和為端點的閉區(qū)間上可導(dǎo)，從而根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中的Lagrange中值定理0,1fx100x1,x2x,0,xnxn0fx10x1,x2x2,0,xi1xi001,xi,xi1xi10,xnx

14、nfxxi0x1x1,x2x2,xi0xi1,xixi,xixi0,xnxnxi4)x100x1,x20x2,xi1xi01,xi0xi,xi1xi10,xnxnUp0所以fxx10x1,x2x2,xixi1,xixi,xixi1,xnxn有界，所以當(dāng)x1,x2,xn0,0,000有fxix1x1,x2x2,0,xi1xi01,xi0xi,xi1xi0,xnxnxi0又依據(jù)定理條件：fx1,x2,0,xi1,xi,xi1,xn作為x1,x2,xi1,xi1,xn的n1元函數(shù)在點0000x1,x2,xi1,xi1,xn0 連續(xù)所以，當(dāng)x1,x2,xn0,0,0時，有0fx10x1,x2x2,xi

15、xi1,xi00,xi1xi10,xnxn所以，當(dāng)fx10,0x2,0,xi1,xi0,xi10,xnx1,x2,xn0,0,0時，由（3）（4），有,fx100x1,x2x,0,xnxn00x1,x2,0,xnfxx10xi10x1,x2x2,xi0xi1,xi0xi,xi1xi0,xnxnxifx100x1,x2x2,0,xi10xi1,xi,xixi10,xnxn00fx1,x2,0,xn所以，fx1,x2,xn在點p0x1,x2,0,xn連續(xù)?？偨Y(jié)上述結(jié)論說明zfx,y在點p0x0,y0連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、及可微之間雖然沒有直接的聯(lián)系但它們都有間接的聯(lián)系，而以上所述是多元函數(shù)中n2時的情

16、況，最后將部分關(guān)系推廣到了多元函數(shù)中。參考文獻(xiàn)1田曉正許小艷多元函數(shù)基本概念之間的關(guān)系J科技資訊SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION20061942孫本利多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)、全微分之間的關(guān)系J科技創(chuàng)新報ScienceandTechnologyInnovationHerald20101283張一敏函數(shù)連續(xù)性、可微性與導(dǎo)函數(shù)存在的關(guān)系J綏化學(xué)院學(xué)報201131(4)188-1904周良金王愛國偏導(dǎo)數(shù)存在、函數(shù)連續(xù)及可微之間的關(guān)系J高等函授學(xué)報200519(5)34-405高等教育出版社數(shù)學(xué)分析講義（下冊）第五版M20084136-208Discussmultivariatef

17、unctiondifferentiablecontinuous,partialderivatives,therelationshipbetweenQIlimeiCollegeofmathematicsandstatistics，ChifengUniversity,chifeng024000Abstract:Inthispaper,thecontinuity,thepartialderivativeofbinaryfunctionandtherelationshipbetweenthedifferentiablebyinstancetodoin-depthdiscussion,andthenextendedtomultivariatefunc