粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

1、第七章第七章 粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 我們知道，我們知道，任何流體都是有粘性的任何流體都是有粘性的?，F(xiàn)在也發(fā)現(xiàn)，有些流體在極?，F(xiàn)在也發(fā)現(xiàn)，有些流體在極低的溫度條件下會(huì)出現(xiàn)超流現(xiàn)象（如同超導(dǎo)一樣），此時(shí)流體的粘性低的溫度條件下會(huì)出現(xiàn)超流現(xiàn)象（如同超導(dǎo)一樣），此時(shí)流體的粘性為零。但我們不去關(guān)注這些物理現(xiàn)象，把我們的注意力集中在通常時(shí)為零。但我們不去關(guān)注這些物理現(xiàn)象，把我們的注意力集中在通常時(shí)間空間和工程條件的規(guī)定的范圍內(nèi)，所以可以有上述的結(jié)論。間空間和工程條件的規(guī)定的范圍內(nèi)，所以可以有上述的結(jié)論。 在第四章（積分方程）和第五章（微分方程）基本方程的推導(dǎo)過(guò)在第四章（積分方程）和第五章（

2、微分方程）基本方程的推導(dǎo)過(guò)程中，我們盡量避免限制條件的引入，以使所建立的數(shù)學(xué)模型具有廣程中，我們盡量避免限制條件的引入，以使所建立的數(shù)學(xué)模型具有廣泛的適用性。但在應(yīng)用時(shí)卻又無(wú)一例外的加上了理想流體的限制，粘泛的適用性。但在應(yīng)用時(shí)卻又無(wú)一例外的加上了理想流體的限制，粘性仿佛成了使人望而生畏的東西。那么人們?yōu)槭裁磿?huì)談?wù)成?，他肯性仿佛成了使人望而生畏的東西。那么人們?yōu)槭裁磿?huì)談?wù)成儯隙〞?huì)對(duì)流動(dòng)過(guò)程產(chǎn)生影響，那么這種影響又是什么。怎樣建立描述粘定會(huì)對(duì)流動(dòng)過(guò)程產(chǎn)生影響，那么這種影響又是什么。怎樣建立描述粘性流體流動(dòng)過(guò)程的封閉方程組，以及在流動(dòng)過(guò)程中的合理簡(jiǎn)化方程并性流體流動(dòng)過(guò)程的封閉方程組，以及在

3、流動(dòng)過(guò)程中的合理簡(jiǎn)化方程并獲得解，等等。這些將使我們?cè)谶@一章要開(kāi)始接觸的問(wèn)題。當(dāng)然，粘獲得解，等等。這些將使我們?cè)谶@一章要開(kāi)始接觸的問(wèn)題。當(dāng)然，粘性流動(dòng)工程問(wèn)題的解決，我們更多的還是依賴于經(jīng)驗(yàn)，而性流動(dòng)工程問(wèn)題的解決，我們更多的還是依賴于經(jīng)驗(yàn)，而80年代以年代以后迅速發(fā)展的計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)也為我們提供了有力的武器。后迅速發(fā)展的計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)也為我們提供了有力的武器。 第一節(jié)第一節(jié) 流動(dòng)的粘性效應(yīng)流動(dòng)的粘性效應(yīng) 在理想流體的假設(shè)下，我們通過(guò)求解位勢(shì)流動(dòng)的拉普拉斯方程組在理想流體的假設(shè)下，我們通過(guò)求解位勢(shì)流動(dòng)的拉普拉斯方程組可以得到一些流動(dòng)圖畫(huà)。由于流體都是有粘性的，所以我們?cè)趯?shí)驗(yàn)條可以得到一些流動(dòng)

4、圖畫(huà)。由于流體都是有粘性的，所以我們?cè)趯?shí)驗(yàn)條件下的到的，總是粘性流體流動(dòng)的真實(shí)圖畫(huà)，那么兩者之間有什么區(qū)件下的到的，總是粘性流體流動(dòng)的真實(shí)圖畫(huà)，那么兩者之間有什么區(qū)別，粘性又會(huì)產(chǎn)生怎么樣的影響呢？下面我們通過(guò)幾個(gè)典型流場(chǎng)來(lái)討別，粘性又會(huì)產(chǎn)生怎么樣的影響呢？下面我們通過(guò)幾個(gè)典型流場(chǎng)來(lái)討論這一問(wèn)題，以建立初步的認(rèn)識(shí)。論這一問(wèn)題，以建立初步的認(rèn)識(shí)。 這里，粘性在流動(dòng)過(guò)程中的影響大小可用雷諾數(shù)來(lái)定性的表述，這里，粘性在流動(dòng)過(guò)程中的影響大小可用雷諾數(shù)來(lái)定性的表述，雷諾數(shù)的定義為：雷諾數(shù)的定義為：其其物理意義是慣性力與粘性力的比值物理意義是慣性力與粘性力的比值。不可壓縮粘性流動(dòng)過(guò)程的運(yùn)。不可壓縮粘性流動(dòng)過(guò)

5、程的運(yùn)動(dòng)方程為：動(dòng)方程為：上式是無(wú)量綱形式的粘性運(yùn)動(dòng)方程，關(guān)于無(wú)量綱化過(guò)程將在討論相似上式是無(wú)量綱形式的粘性運(yùn)動(dòng)方程，關(guān)于無(wú)量綱化過(guò)程將在討論相似理論再論述。由于雷諾數(shù)理論再論述。由于雷諾數(shù)=慣性力慣性力/粘性力，可知當(dāng)粘性力，可知當(dāng)Re時(shí)，粘性力時(shí)，粘性力的影響趨向于零，方程退化為理想流體的運(yùn)動(dòng)方程的影響趨向于零，方程退化為理想流體的運(yùn)動(dòng)方程歐拉方程。當(dāng)歐拉方程。當(dāng)Re0時(shí)，慣性力的影響趨向于零，方程退化為關(guān)于速度場(chǎng)的拉普拉時(shí)，慣性力的影響趨向于零，方程退化為關(guān)于速度場(chǎng)的拉普拉斯方程。實(shí)際的流動(dòng)過(guò)程，雷諾數(shù)總是在大于零而小于無(wú)窮的范圍內(nèi)。斯方程。實(shí)際的流動(dòng)過(guò)程，雷諾數(shù)總是在大于零而小于無(wú)窮的

6、范圍內(nèi)。那么，雷諾數(shù)在由那么，雷諾數(shù)在由0 變化的過(guò)程中，流動(dòng)現(xiàn)象是不是也在由粘性變化的過(guò)程中，流動(dòng)現(xiàn)象是不是也在由粘性流動(dòng)的圖畫(huà)向理想流動(dòng)的圖畫(huà)變化呢？流動(dòng)的圖畫(huà)向理想流動(dòng)的圖畫(huà)變化呢？一、圓柱繞流一、圓柱繞流 利用流場(chǎng)疊加法，均直流利用流場(chǎng)疊加法，均直流+ +偶極子，求得理想流體作圓柱繞流的偶極子，求得理想流體作圓柱繞流的流場(chǎng)，流譜左右和上下對(duì)稱。當(dāng)流場(chǎng)，流譜左右和上下對(duì)稱。當(dāng)ReRe很小時(shí)，這時(shí)慣性力相對(duì)粘性力很很小時(shí)，這時(shí)慣性力相對(duì)粘性力很小，可忽略慣性力?？傻玫秸承粤鲌?chǎng)的精確解，如圖。從流譜圖上看，小，可忽略慣性力?？傻玫秸承粤鲌?chǎng)的精確解，如圖。從流譜圖上看，兩者非常接近。兩個(gè)極限情

7、況圖畫(huà)是很相似的，但在細(xì)節(jié)上還是有不兩者非常接近。兩個(gè)極限情況圖畫(huà)是很相似的，但在細(xì)節(jié)上還是有不同的。同的。1 1，速度分布如圖。，速度分布如圖。2 2，壓力分布的左右不對(duì)稱。，壓力分布的左右不對(duì)稱。 這不是問(wèn)題的主要方面，問(wèn)題是，真實(shí)流動(dòng)隨著這不是問(wèn)題的主要方面，問(wèn)題是，真實(shí)流動(dòng)隨著ReRe的增大，流譜會(huì)發(fā)的增大，流譜會(huì)發(fā)生顯著變化：分離生顯著變化：分離( (回流區(qū)回流區(qū))對(duì)稱旋渦脫落對(duì)稱旋渦脫落層流卡門(mén)渦街層流卡門(mén)渦街湍流渦湍流渦核核湍流卡門(mén)渦街湍流卡門(mén)渦街湍流分離在附湍流分離在附湍流渦街重建。湍流渦街重建。 邊界層（附面層）分離邊界層（附面層）分離貓眼貓眼卡門(mén)渦街的故事卡門(mén)渦街的故事高爾

8、夫球的故事高爾夫球的故事二、二元翼形繞流二、二元翼形繞流 與圓柱繞流一樣，可以有多種方法求出理想流體二元翼型繞流的與圓柱繞流一樣，可以有多種方法求出理想流體二元翼型繞流的解。早期理想流體繞流解的結(jié)果指出，翼型的升力為零，阻力為零，解。早期理想流體繞流解的結(jié)果指出，翼型的升力為零，阻力為零，成了著名的達(dá)朗貝爾疑題。后來(lái)通過(guò)引入環(huán)量才能夠積分出升力，但成了著名的達(dá)朗貝爾疑題。后來(lái)通過(guò)引入環(huán)量才能夠積分出升力，但環(huán)量的大小由人為之因素確定。環(huán)量的大小由人為之因素確定。 在真實(shí)流場(chǎng)中，由于有粘性，則有邊界層，有尾跡區(qū)，流動(dòng)圖畫(huà)在真實(shí)流場(chǎng)中，由于有粘性，則有邊界層，有尾跡區(qū)，流動(dòng)圖畫(huà)在細(xì)節(jié)上有重要的區(qū)別

9、，由于有粘性，有旋渦產(chǎn)生，環(huán)量是確定的，在細(xì)節(jié)上有重要的區(qū)別，由于有粘性，有旋渦產(chǎn)生，環(huán)量是確定的，同時(shí)有了能量的損失，升力和阻力都是必然的結(jié)果。同時(shí)有了能量的損失，升力和阻力都是必然的結(jié)果。 流動(dòng)圖畫(huà)更大的區(qū)別是當(dāng)翼型攻角增大時(shí)，一般隨攻角的增加，流動(dòng)圖畫(huà)更大的區(qū)別是當(dāng)翼型攻角增大時(shí)，一般隨攻角的增加，升力會(huì)增加。但當(dāng)攻角增大到一定程度時(shí)，流場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)分離，使升力升力會(huì)增加。但當(dāng)攻角增大到一定程度時(shí)，流場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)分離，使升力迅速下降，直至為零，稱之為失速。迅速下降，直至為零，稱之為失速。三、管內(nèi)流動(dòng)三、管內(nèi)流動(dòng)1、充分發(fā)展段的速度分布、充分發(fā)展段的速度分布2、進(jìn)口段的附面層發(fā)展。、進(jìn)口段的附面層

10、發(fā)展。 層流層流 L120D 湍流湍流 L50D3、彎管段的二次流動(dòng)、彎管段的二次流動(dòng)4、緩變流和急變流，流動(dòng)損失。、緩變流和急變流，流動(dòng)損失。已知真實(shí)流體流動(dòng)過(guò)程的柏努力方程為：已知真實(shí)流體流動(dòng)過(guò)程的柏努力方程為：沿程損失：沿程損失：沿程阻力系數(shù)：沿程阻力系數(shù)局部損失：局部損失：局部阻力系數(shù)：局部阻力系數(shù)則總損失：則總損失：其中，其中，、分別代表流體從點(diǎn)流到點(diǎn)時(shí)，損失的總壓力和總分別代表流體從點(diǎn)流到點(diǎn)時(shí)，損失的總壓力和總水頭。在緩變流中是沿程損失，急變流中是局部損失。水頭。在緩變流中是沿程損失，急變流中是局部損失。1 2lp1 2lh第二節(jié)第二節(jié) 層流與湍流層流與湍流 人們從實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到，流

11、動(dòng)過(guò)程存在兩種完全不同的狀態(tài)，稱之人們從實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到，流動(dòng)過(guò)程存在兩種完全不同的狀態(tài)，稱之為層流狀態(tài)和湍流狀態(tài)，湍流也叫紊流，為層流狀態(tài)和湍流狀態(tài)，湍流也叫紊流，100多年前（多年前（1883年）年）,雷諾雷諾的著名實(shí)驗(yàn)對(duì)這兩種狀態(tài)能作出最好的說(shuō)明，即通過(guò)一個(gè)染色液線對(duì)的著名實(shí)驗(yàn)對(duì)這兩種狀態(tài)能作出最好的說(shuō)明，即通過(guò)一個(gè)染色液線對(duì)圓管內(nèi)的流動(dòng)進(jìn)行觀察。圓管內(nèi)的流動(dòng)進(jìn)行觀察。 染色液線穩(wěn)定，其直徑基本不變的流體狀態(tài)稱之為染色液線穩(wěn)定，其直徑基本不變的流體狀態(tài)稱之為層流層流。染色液線迅速發(fā)散的流動(dòng)狀態(tài)稱之為染色液線迅速發(fā)散的流動(dòng)狀態(tài)稱之為湍流湍流。湍流也稱為。湍流也稱為紊流紊流。 雷諾的實(shí)驗(yàn)告訴我們

12、，當(dāng)流速較慢雷諾的實(shí)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)流速較慢(或圓管直徑較小或圓管直徑較小)時(shí)，流動(dòng)處于時(shí)，流動(dòng)處于層流狀態(tài)，增加流速層流狀態(tài)，增加流速(或增加雷諾數(shù)或增加雷諾數(shù))到某一臨界值以后，染色液線開(kāi)始到某一臨界值以后，染色液線開(kāi)始抖動(dòng)，并隨著抖動(dòng)，并隨著Re的增加抖動(dòng)趨劇烈，直至的增加抖動(dòng)趨劇烈，直至Re大于某一值之后，染色線大于某一值之后，染色線迅速發(fā)散，進(jìn)入湍流狀態(tài)。層流與湍流之間的區(qū)域稱之為過(guò)渡流狀態(tài)。迅速發(fā)散，進(jìn)入湍流狀態(tài)。層流與湍流之間的區(qū)域稱之為過(guò)渡流狀態(tài)。 層流流動(dòng)是一種穩(wěn)定流動(dòng)，流場(chǎng)中每一點(diǎn)速度的大小和方向都是層流流動(dòng)是一種穩(wěn)定流動(dòng)，流場(chǎng)中每一點(diǎn)速度的大小和方向都是不隨時(shí)間改變的。即使

13、外界對(duì)流動(dòng)過(guò)程作用一個(gè)擾動(dòng)，其擾動(dòng)導(dǎo)致的不隨時(shí)間改變的。即使外界對(duì)流動(dòng)過(guò)程作用一個(gè)擾動(dòng)，其擾動(dòng)導(dǎo)致的流動(dòng)偏離也會(huì)逐漸消失，恢復(fù)到原流動(dòng)狀態(tài)。這種狀態(tài)也稱為無(wú)條件流動(dòng)偏離也會(huì)逐漸消失，恢復(fù)到原流動(dòng)狀態(tài)。這種狀態(tài)也稱為無(wú)條件穩(wěn)定狀態(tài)。實(shí)驗(yàn)表明存在一個(gè)臨界穩(wěn)定狀態(tài)。實(shí)驗(yàn)表明存在一個(gè)臨界Rec1，當(dāng)流動(dòng)參數(shù)小于此，當(dāng)流動(dòng)參數(shù)小于此Re數(shù)時(shí)。數(shù)時(shí)。流動(dòng)是流動(dòng)是無(wú)條件穩(wěn)定無(wú)條件穩(wěn)定的。而如果雷諾數(shù)大于此臨界的。而如果雷諾數(shù)大于此臨界Rec1，流動(dòng)會(huì)進(jìn)入這，流動(dòng)會(huì)進(jìn)入這樣一種狀態(tài)，它對(duì)于低頻小振幅的擾動(dòng)是穩(wěn)定的，但對(duì)于高頻大振幅樣一種狀態(tài)，它對(duì)于低頻小振幅的擾動(dòng)是穩(wěn)定的，但對(duì)于高頻大振幅的擾動(dòng)引起的偏離不會(huì)

14、再回到原來(lái)的狀態(tài)，這種擾動(dòng)所導(dǎo)致的流動(dòng)偏的擾動(dòng)引起的偏離不會(huì)再回到原來(lái)的狀態(tài)，這種擾動(dòng)所導(dǎo)致的流動(dòng)偏離會(huì)在流場(chǎng)中保持并發(fā)展，即流動(dòng)是不穩(wěn)定的。我們稱之為離會(huì)在流場(chǎng)中保持并發(fā)展，即流動(dòng)是不穩(wěn)定的。我們稱之為有條件穩(wěn)有條件穩(wěn)定定狀態(tài)。而當(dāng)進(jìn)一步增加狀態(tài)。而當(dāng)進(jìn)一步增加Re數(shù)時(shí)，流動(dòng)的抗擾動(dòng)能力會(huì)越來(lái)越弱，以數(shù)時(shí)，流動(dòng)的抗擾動(dòng)能力會(huì)越來(lái)越弱，以至于存在這樣一個(gè)臨界雷諾數(shù)至于存在這樣一個(gè)臨界雷諾數(shù)Rec2，當(dāng)流動(dòng)參數(shù)大于此，當(dāng)流動(dòng)參數(shù)大于此Rec2時(shí)，對(duì)于時(shí)，對(duì)于任何的擾動(dòng)，流動(dòng)過(guò)程都會(huì)將其放大，使流動(dòng)失去穩(wěn)定，而變成劇烈任何的擾動(dòng)，流動(dòng)過(guò)程都會(huì)將其放大，使流動(dòng)失去穩(wěn)定，而變成劇烈的隨機(jī)的不穩(wěn)定的流動(dòng)

15、，稱之為的隨機(jī)的不穩(wěn)定的流動(dòng)，稱之為無(wú)條件不穩(wěn)定無(wú)條件不穩(wěn)定狀態(tài)。狀態(tài)。 對(duì)于圓管內(nèi)流動(dòng)：對(duì)于圓管內(nèi)流動(dòng)： Rec1=2300，Rec2=2300100000。 湍流是流動(dòng)的一種無(wú)規(guī)律、不穩(wěn)定湍流是流動(dòng)的一種無(wú)規(guī)律、不穩(wěn)定的狀態(tài)。速度的大小和方向都在隨機(jī)的的狀態(tài)。速度的大小和方向都在隨機(jī)的脈動(dòng)。一般認(rèn)為，湍流是由無(wú)數(shù)大大小脈動(dòng)。一般認(rèn)為，湍流是由無(wú)數(shù)大大小小的旋渦（渦團(tuán)）組成。而旋渦，我們小的旋渦（渦團(tuán)）組成。而旋渦，我們已知道，是由粘性產(chǎn)生的。這就使我們已知道，是由粘性產(chǎn)生的。這就使我們得出這樣的結(jié)論，湍流是由于流體的粘得出這樣的結(jié)論，湍流是由于流體的粘性作用而導(dǎo)致產(chǎn)生的。性作用而導(dǎo)致產(chǎn)生的

16、。 實(shí)際上這里有很多看來(lái)很矛盾的東西，比如，我們知道，理想流實(shí)際上這里有很多看來(lái)很矛盾的東西，比如，我們知道，理想流體是流體的粘性體是流體的粘性0時(shí)的極限狀況，也就是說(shuō)，粘性流體的流動(dòng)圖畫(huà)時(shí)的極限狀況，也就是說(shuō)，粘性流體的流動(dòng)圖畫(huà)在在Re時(shí)，應(yīng)與理想流體相同。但實(shí)際情況并不是這樣，如圓柱體時(shí)，應(yīng)與理想流體相同。但實(shí)際情況并不是這樣，如圓柱體繞流，似乎繞流，似乎Re越大，偏離理想流動(dòng)圖畫(huà)也越遠(yuǎn)，阻力也越大。又比如，越大，偏離理想流動(dòng)圖畫(huà)也越遠(yuǎn)，阻力也越大。又比如，我們說(shuō)粘性的作用會(huì)耗散掉流體擾動(dòng)的動(dòng)能，因而使流動(dòng)趨于穩(wěn)定，我們說(shuō)粘性的作用會(huì)耗散掉流體擾動(dòng)的動(dòng)能，因而使流動(dòng)趨于穩(wěn)定，同時(shí)我們又說(shuō)，

17、粘性是產(chǎn)生旋渦的原因。同時(shí)我們又說(shuō)，粘性是產(chǎn)生旋渦的原因。層流流動(dòng)在垂直于流線方向的質(zhì)量、動(dòng)量、能量的輸運(yùn)靠的是分子運(yùn)層流流動(dòng)在垂直于流線方向的質(zhì)量、動(dòng)量、能量的輸運(yùn)靠的是分子運(yùn)動(dòng)，而湍流的質(zhì)量、動(dòng)量、能量輸運(yùn)靠的是湍流渦團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。由于湍動(dòng)，而湍流的質(zhì)量、動(dòng)量、能量輸運(yùn)靠的是湍流渦團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。由于湍流渦團(tuán)的尺度和運(yùn)動(dòng)距離遠(yuǎn)大于分子運(yùn)動(dòng)，所以湍流的輸運(yùn)能力，體流渦團(tuán)的尺度和運(yùn)動(dòng)距離遠(yuǎn)大于分子運(yùn)動(dòng)，所以湍流的輸運(yùn)能力，體現(xiàn)在擴(kuò)散性、粘性與導(dǎo)熱性上，遠(yuǎn)大于層流流動(dòng)?，F(xiàn)在擴(kuò)散性、粘性與導(dǎo)熱性上，遠(yuǎn)大于層流流動(dòng)。第三節(jié)第三節(jié) 廣義牛頓應(yīng)力公式廣義牛頓應(yīng)力公式 關(guān)于湍流的問(wèn)題，我們先對(duì)其現(xiàn)象作這些介紹，以后

18、再進(jìn)一步討關(guān)于湍流的問(wèn)題，我們先對(duì)其現(xiàn)象作這些介紹，以后再進(jìn)一步討論。下面我們先建立粘性流體動(dòng)力學(xué)的基本方程組，在第五章建立的論。下面我們先建立粘性流體動(dòng)力學(xué)的基本方程組，在第五章建立的微分方程組中，應(yīng)力張量包含了六個(gè)未知數(shù)，下面我們就通過(guò)牛頓粘微分方程組中，應(yīng)力張量包含了六個(gè)未知數(shù)，下面我們就通過(guò)牛頓粘性定律建立應(yīng)力張量與變形速率張量之間的補(bǔ)充關(guān)系。性定律建立應(yīng)力張量與變形速率張量之間的補(bǔ)充關(guān)系。 一、應(yīng)力張量分析一、應(yīng)力張量分析 在第五章流體動(dòng)力學(xué)的微分方程中，我們首次建立了應(yīng)力張量的在第五章流體動(dòng)力學(xué)的微分方程中，我們首次建立了應(yīng)力張量的概念，并對(duì)其進(jìn)行了分析。指出：在運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)的

19、應(yīng)力狀態(tài)，概念，并對(duì)其進(jìn)行了分析。指出：在運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，即表面力狀態(tài)，可以利用九個(gè)分量即表面力狀態(tài)，可以利用九個(gè)分量pij來(lái)表示，它們構(gòu)成一個(gè)二階張量來(lái)表示，它們構(gòu)成一個(gè)二階張量: 這個(gè)張量是一個(gè)對(duì)稱張量，式中，這個(gè)張量是一個(gè)對(duì)稱張量，式中， 分別為與坐標(biāo)軸分別為與坐標(biāo)軸x,y,z垂直垂直的平面上的應(yīng)力。的平面上的應(yīng)力。 這樣，流場(chǎng)中任一表面的應(yīng)力可表示為：這樣，流場(chǎng)中任一表面的應(yīng)力可表示為： 而在靜止流體中，而在靜止流體中， 的大小與方向無(wú)關(guān)，這時(shí)流體處于熱力學(xué)平衡的大小與方向無(wú)關(guān)，這時(shí)流體處于熱力學(xué)平衡狀態(tài)。狀態(tài)。p就是經(jīng)典熱力學(xué)平衡態(tài)意義上的壓力。在粘性流體的流動(dòng)過(guò)程就是經(jīng)

20、典熱力學(xué)平衡態(tài)意義上的壓力。在粘性流體的流動(dòng)過(guò)程中，熱力學(xué)的平衡已經(jīng)被打破，我們也證明了，過(guò)一點(diǎn)在不同面上的法中，熱力學(xué)的平衡已經(jīng)被打破，我們也證明了，過(guò)一點(diǎn)在不同面上的法向應(yīng)力值并不相等，因此，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)已不存在平衡態(tài)意義上的壓力（至向應(yīng)力值并不相等，因此，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)已不存在平衡態(tài)意義上的壓力（至少我們沒(méi)有理由認(rèn)為如此）少我們沒(méi)有理由認(rèn)為如此） 。np 現(xiàn)在我們要做的工作是，依據(jù)牛頓粘性定律建立應(yīng)力張量與變形現(xiàn)在我們要做的工作是，依據(jù)牛頓粘性定律建立應(yīng)力張量與變形速率張量之間的關(guān)系。根據(jù)牛頓的理論，應(yīng)力與變形速率成正比，兩速率張量之間的關(guān)系。根據(jù)牛頓的理論，應(yīng)力與變形速率成正比，兩個(gè)張量：個(gè)張量

21、： 應(yīng)力張量分為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力，變形速率張量也分為線變形應(yīng)力張量分為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力，變形速率張量也分為線變形速率和角變形速率。但是當(dāng)變型速率張量速率和角變形速率。但是當(dāng)變型速率張量E0時(shí)，流體趨于靜止，這時(shí)，流體趨于靜止，這時(shí)應(yīng)力張量不會(huì)趨于零，或者說(shuō)法向應(yīng)力分量（正應(yīng)力）趨于時(shí)應(yīng)力張量不會(huì)趨于零，或者說(shuō)法向應(yīng)力分量（正應(yīng)力）趨于p。也也就是說(shuō)，在建立這種關(guān)系時(shí)要注意，有一部分正應(yīng)力是不會(huì)引起變形就是說(shuō)，在建立這種關(guān)系時(shí)要注意，有一部分正應(yīng)力是不會(huì)引起變形的。另一方面，在流動(dòng)過(guò)程中，我們?nèi)匀荒芨杏X(jué)到壓力的存在，雖然的。另一方面，在流動(dòng)過(guò)程中，我們?nèi)匀荒芨杏X(jué)到壓力的存在，雖然它不是平衡狀

22、態(tài)意義的壓力。它不是平衡狀態(tài)意義的壓力。 為此我們可以定義一個(gè)平均意義上的壓力為此我們可以定義一個(gè)平均意義上的壓力pm，它是球行流體微團(tuán)，它是球行流體微團(tuán)表面所承受的法向應(yīng)力的平均值的負(fù)值：表面所承受的法向應(yīng)力的平均值的負(fù)值： 即平均應(yīng)力為三個(gè)坐標(biāo)面上的法向應(yīng)力的算術(shù)平均值，這樣，應(yīng)力張即平均應(yīng)力為三個(gè)坐標(biāo)面上的法向應(yīng)力的算術(shù)平均值，這樣，應(yīng)力張量可以寫(xiě)成：量可以寫(xiě)成： 其中其中D為偏應(yīng)力張量。為偏應(yīng)力張量。二、變形速率張量二、變形速率張量三、應(yīng)力張量與變形速率張量之間的關(guān)系三、應(yīng)力張量與變形速率張量之間的關(guān)系 為了建立兩者之間的關(guān)系，斯托克斯根據(jù)牛頓粘性公式提出了以為了建立兩者之間的關(guān)系，斯

23、托克斯根據(jù)牛頓粘性公式提出了以下假定：下假定： 1、應(yīng)力與變形速率成線形關(guān)系。、應(yīng)力與變形速率成線形關(guān)系。 2、應(yīng)力與變形速率的關(guān)系在流體中各向同性。、應(yīng)力與變形速率的關(guān)系在流體中各向同性。 3、在靜止流體中，切應(yīng)力為零，正應(yīng)力的數(shù)值為靜壓力、在靜止流體中，切應(yīng)力為零，正應(yīng)力的數(shù)值為靜壓力p。 在建立應(yīng)力在建立應(yīng)力變形速率關(guān)系之前，我們還要澄清一個(gè)概念，前變形速率關(guān)系之前，我們還要澄清一個(gè)概念，前面已將應(yīng)力張量分解為：面已將應(yīng)力張量分解為： ，其中，其中pm為平均正應(yīng)力，尚不是熱為平均正應(yīng)力，尚不是熱力學(xué)平衡意義上的壓力力學(xué)平衡意義上的壓力p，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，這兩者之間不一定相等。我們，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，這

24、兩者之間不一定相等。我們定義定義pm - p為為平均壓力偏量，平均壓力偏量，其目的是為了將來(lái)能應(yīng)用假設(shè)其目的是為了將來(lái)能應(yīng)用假設(shè)3。 在建立應(yīng)力在建立應(yīng)力變形速率關(guān)系時(shí)，我們分兩步走：第一步，建立偏變形速率關(guān)系時(shí)，我們分兩步走：第一步，建立偏應(yīng)力張量應(yīng)力張量D與變形速率張量與變形速率張量E之間的關(guān)系；第二步，建立平均壓力偏之間的關(guān)系；第二步，建立平均壓力偏量量pm - p與變形速率與變形速率E之間的關(guān)系，這里可以設(shè)想，之間的關(guān)系，這里可以設(shè)想，pm和和p不會(huì)直接與不會(huì)直接與E發(fā)生關(guān)系。發(fā)生關(guān)系。mPDp（一）偏應(yīng)力張量（一）偏應(yīng)力張量D與變形速率張量與變形速率張量E之間的關(guān)系之間的關(guān)系 根據(jù)斯

25、托克斯假定根據(jù)斯托克斯假定1、2，其關(guān)系可以假定為：，其關(guān)系可以假定為：其中其中a,b是待定系數(shù)，與方向無(wú)關(guān)的標(biāo)量（各向同性）。是待定系數(shù)，與方向無(wú)關(guān)的標(biāo)量（各向同性）。考慮如圖的情況，由牛頓粘性應(yīng)考慮如圖的情況，由牛頓粘性應(yīng)力公式：力公式：知：知：有：有： 將正應(yīng)力項(xiàng)帶入：將正應(yīng)力項(xiàng)帶入： 三式相加：三式相加： 最終可得關(guān)系：最終可得關(guān)系：（二）平均壓力偏量與變形速率之間的關(guān)系（二）平均壓力偏量與變形速率之間的關(guān)系 已知平均壓力已知平均壓力pm并不能等同于平衡壓力并不能等同于平衡壓力p，這種差別即平均壓力偏，這種差別即平均壓力偏量量pm p。他反映了由于速度場(chǎng)的不均勻造成的流體質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)對(duì)于

26、平他反映了由于速度場(chǎng)的不均勻造成的流體質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)對(duì)于平衡態(tài)的偏離。而這種偏離也是與流體的變形速率有關(guān)的，注意衡態(tài)的偏離。而這種偏離也是與流體的變形速率有關(guān)的，注意pm和和p是是標(biāo)量，由假設(shè)標(biāo)量，由假設(shè)1、2有：有：(1)(1a)其中：其中：g和和c是待定系數(shù)。利用斯托克斯的第三條假設(shè)，當(dāng)流體靜止時(shí)：是待定系數(shù)。利用斯托克斯的第三條假設(shè)，當(dāng)流體靜止時(shí)： 可得：可得： c0 所以：所以：令令g = = ，稱第二粘性系數(shù)，則：，稱第二粘性系數(shù)，則：（三）應(yīng)力張量和變形速率張量的一般關(guān)系（三）應(yīng)力張量和變形速率張量的一般關(guān)系 將前兩步得出的關(guān)系將前兩步得出的關(guān)系(1)(1)、(2)(2)代入應(yīng)力張量式

27、：代入應(yīng)力張量式： (2)整理后即有：整理后即有：以上即是以上即是廣義牛頓粘性應(yīng)力公式。它建立了應(yīng)力張量與變形速率張量廣義牛頓粘性應(yīng)力公式。它建立了應(yīng)力張量與變形速率張量之間的關(guān)系，也就是表面應(yīng)力與速度之間的關(guān)系。之間的關(guān)系，也就是表面應(yīng)力與速度之間的關(guān)系。 （四）討論（四）討論，假定的應(yīng)用范圍假定的應(yīng)用范圍1 1、線性性，激波層、線性性，激波層2 2、各向同性，長(zhǎng)分子結(jié)構(gòu)的流體、各向同性，長(zhǎng)分子結(jié)構(gòu)的流體3 3、平均壓力偏量的偏差，、平均壓力偏量的偏差，不可壓縮流不可壓縮流：因：因 0 0，有，有pm=p，可壓縮流可壓縮流： 一般是小量可以忽略，僅激波這樣的突變區(qū)域內(nèi)例外一般是小量可以忽略，

28、僅激波這樣的突變區(qū)域內(nèi)例外第四節(jié)第四節(jié) 粘性流體動(dòng)力學(xué)的基本方程粘性流體動(dòng)力學(xué)的基本方程 可以認(rèn)為，廣義牛頓粘性應(yīng)力公式為第五章中建立的流體力學(xué)基可以認(rèn)為，廣義牛頓粘性應(yīng)力公式為第五章中建立的流體力學(xué)基本方程組提供了本方程組提供了6 6個(gè)獨(dú)立的補(bǔ)充方程，同時(shí)引入了一個(gè)新的未知量個(gè)獨(dú)立的補(bǔ)充方程，同時(shí)引入了一個(gè)新的未知量p，將其所表述的應(yīng)力張量關(guān)系代入到基本方程中，就可以得到粘性流體將其所表述的應(yīng)力張量關(guān)系代入到基本方程中，就可以得到粘性流體動(dòng)力學(xué)的基本方程組。動(dòng)力學(xué)的基本方程組。一、連續(xù)方程一、連續(xù)方程二、運(yùn)動(dòng)方程二、運(yùn)動(dòng)方程 由第五章得到了運(yùn)動(dòng)方程的一般形式：由第五章得到了運(yùn)動(dòng)方程的一般形式

29、： 如果流體滿足斯托克斯三假設(shè)，應(yīng)力張量就可以用廣義牛頓粘性公式表如果流體滿足斯托克斯三假設(shè)，應(yīng)力張量就可以用廣義牛頓粘性公式表示，注意應(yīng)力張量的梯度運(yùn)算：示，注意應(yīng)力張量的梯度運(yùn)算： 將廣義牛頓粘性應(yīng)力公式代入：將廣義牛頓粘性應(yīng)力公式代入：或?qū)懗煞至啃问剑夯驅(qū)懗煞至啃问剑哼@就是著名的納維這就是著名的納維斯托克斯方程，又稱斯托克斯方程，又稱NS方程。方程。 對(duì)于不可壓縮流動(dòng)在對(duì)于不可壓縮流動(dòng)在=const時(shí)，有：時(shí)，有：而此時(shí)有而此時(shí)有 0，所以，所以NS方程可簡(jiǎn)化為：方程可簡(jiǎn)化為：或：或：寫(xiě)成分量形式，在直角坐標(biāo)系中：寫(xiě)成分量形式，在直角坐標(biāo)系中： 寫(xiě)成分量形式，在圓柱坐標(biāo)系中：寫(xiě)成分量形式

30、，在圓柱坐標(biāo)系中： 其中：其中：三、能量方程三、能量方程 第五章給的能量方程的一般形式為：第五章給的能量方程的一般形式為：其中利用傅立葉定律：其中利用傅立葉定律： 將廣義牛頓應(yīng)力公式代入，并經(jīng)過(guò)運(yùn)算后最后可得：將廣義牛頓應(yīng)力公式代入，并經(jīng)過(guò)運(yùn)算后最后可得：其中：其中： 表示的是粘性力所做的功，它的物理意義是單位質(zhì)量流體在單位時(shí)表示的是粘性力所做的功，它的物理意義是單位質(zhì)量流體在單位時(shí)間內(nèi)，由于粘性摩擦而耗散的機(jī)械能，這部分能量完全轉(zhuǎn)變成了熱能間內(nèi)，由于粘性摩擦而耗散的機(jī)械能，這部分能量完全轉(zhuǎn)變成了熱能的形式，故的形式，故又稱耗散函數(shù)，可以證明又稱耗散函數(shù)，可以證明永遠(yuǎn)大于零。永遠(yuǎn)大于零。 由焓

31、的定義：由焓的定義： ，經(jīng)整理后能量方程還可以寫(xiě)成：，經(jīng)整理后能量方程還可以寫(xiě)成： pie四、粘性流體動(dòng)力學(xué)方程組的封閉性四、粘性流體動(dòng)力學(xué)方程組的封閉性()0Vt 以上基本方程中，設(shè)質(zhì)量力為重力，物性參數(shù)關(guān)系已知，輻射換熱以上基本方程中，設(shè)質(zhì)量力為重力，物性參數(shù)關(guān)系已知，輻射換熱qR為溫度的函數(shù)，則未知變量包括為溫度的函數(shù)，則未知變量包括 、V、p、e、T共共7個(gè)參數(shù)。還需要補(bǔ)個(gè)參數(shù)。還需要補(bǔ)充兩個(gè)方程。當(dāng)流體是可壓縮流體時(shí)，假設(shè)為完全氣體，則可補(bǔ)充狀充兩個(gè)方程。當(dāng)流體是可壓縮流體時(shí)，假設(shè)為完全氣體，則可補(bǔ)充狀態(tài)方程和熱量方程：態(tài)方程和熱量方程：, vpRTec T當(dāng)流體為不可壓縮流體時(shí)，當(dāng)

32、流體為不可壓縮流體時(shí)， =const，V=0，則連續(xù)方程和動(dòng)量方程，則連續(xù)方程和動(dòng)量方程簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：0V 此時(shí)獨(dú)立方程是四個(gè)，獨(dú)立未知變量此時(shí)獨(dú)立方程是四個(gè)，獨(dú)立未知變量V，p也是四個(gè)，所以對(duì)于不可壓也是四個(gè)，所以對(duì)于不可壓縮的粘性流動(dòng)，連續(xù)方程和動(dòng)量方程就已經(jīng)構(gòu)成了封閉的方程組。縮的粘性流動(dòng)，連續(xù)方程和動(dòng)量方程就已經(jīng)構(gòu)成了封閉的方程組。五、邊界條件五、邊界條件 邊界條件不再很細(xì)的討論，粘性流體與理論流體在邊界條件的處邊界條件不再很細(xì)的討論，粘性流體與理論流體在邊界條件的處理上是不可滑移條件，這種不可滑移性包括速度和溫度，即在固體壁理上是不可滑移條件，這種不可滑移性包括速度和溫度，即在固體

33、壁面處有：面處有：第五節(jié)第五節(jié) 不可壓縮粘性流動(dòng)的解析解不可壓縮粘性流動(dòng)的解析解 不可壓縮粘性流動(dòng)的基本方程為：不可壓縮粘性流動(dòng)的基本方程為：這是一個(gè)封閉的偏微分方程組，理論上講，在適當(dāng)?shù)某踹呏禇l件下，是這是一個(gè)封閉的偏微分方程組，理論上講，在適當(dāng)?shù)某踹呏禇l件下，是可以解出流場(chǎng)的解析解的。但由于動(dòng)量方程是一個(gè)非線性的二階偏微分可以解出流場(chǎng)的解析解的。但由于動(dòng)量方程是一個(gè)非線性的二階偏微分方程，目前在數(shù)學(xué)上還沒(méi)有一般的求解方法，甚至，對(duì)解的一般特性我方程，目前在數(shù)學(xué)上還沒(méi)有一般的求解方法，甚至，對(duì)解的一般特性我們也不甚了解。但對(duì)于少數(shù)特殊的流動(dòng)問(wèn)題，我們可以對(duì)簡(jiǎn)化后的方程們也不甚了解。但對(duì)于少數(shù)

34、特殊的流動(dòng)問(wèn)題，我們可以對(duì)簡(jiǎn)化后的方程組求得其解析解，進(jìn)而驗(yàn)證所建立的方程，以及在此過(guò)程中所引入的假組求得其解析解，進(jìn)而驗(yàn)證所建立的方程，以及在此過(guò)程中所引入的假設(shè)的合理性。這是學(xué)習(xí)這一節(jié)的內(nèi)容的主要目的之一。設(shè)的合理性。這是學(xué)習(xí)這一節(jié)的內(nèi)容的主要目的之一。 學(xué)習(xí)這一節(jié)內(nèi)容的另一個(gè)目的，是通過(guò)對(duì)部分流動(dòng)過(guò)程的解析解，學(xué)習(xí)這一節(jié)內(nèi)容的另一個(gè)目的，是通過(guò)對(duì)部分流動(dòng)過(guò)程的解析解，對(duì)其流場(chǎng)的分析，了解粘性流動(dòng)的一般規(guī)律，以及粘性對(duì)流動(dòng)過(guò)程的影對(duì)其流場(chǎng)的分析，了解粘性流動(dòng)的一般規(guī)律，以及粘性對(duì)流動(dòng)過(guò)程的影響，形成初步的概念，為今后分析流場(chǎng)打下基礎(chǔ)。響，形成初步的概念，為今后分析流場(chǎng)打下基礎(chǔ)。一、圓管內(nèi)的

35、定常流動(dòng)一、圓管內(nèi)的定常流動(dòng) 在圓管內(nèi)的定常流動(dòng)，假設(shè)流體做層在圓管內(nèi)的定常流動(dòng)，假設(shè)流體做層流流動(dòng)，忽略質(zhì)量力，且圓管足夠長(zhǎng)。取流流動(dòng)，忽略質(zhì)量力，且圓管足夠長(zhǎng)。取如圖所示的圓柱坐標(biāo)系，由于邊界條件關(guān)如圖所示的圓柱坐標(biāo)系，由于邊界條件關(guān)于于z z軸對(duì)稱，故流動(dòng)也是軸對(duì)稱的，且經(jīng)軸對(duì)稱，故流動(dòng)也是軸對(duì)稱的，且經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的距離后，流動(dòng)得到充分發(fā)展，過(guò)足夠長(zhǎng)的距離后，流動(dòng)得到充分發(fā)展，也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，u ur r=0=0，u u =0=0，速度沿速度沿z z向不發(fā)向不發(fā)生變化。生變化。由連續(xù)由連續(xù)方程方程知道：知道： 由于由于u ur r = = u u = 0 = 0，動(dòng)量，動(dòng)量方程組中的第

36、一式和第二式為零，與速度有關(guān)的方程組中的第一式和第二式為零，與速度有關(guān)的項(xiàng)均為零，因此動(dòng)量方程退化為：項(xiàng)均為零，因此動(dòng)量方程退化為： 說(shuō)明，在流動(dòng)橫截面上壓力等于常數(shù)，即圓管截面是等壓面。說(shuō)明，在流動(dòng)橫截面上壓力等于常數(shù)，即圓管截面是等壓面。由動(dòng)量方程第三式：由動(dòng)量方程第三式：最終方程簡(jiǎn)化為：最終方程簡(jiǎn)化為：(a)由于等式由于等式(a)(a)的左邊僅與的左邊僅與z z有關(guān)，而其右邊僅與有關(guān)，而其右邊僅與r r有關(guān)，所以除非兩邊都等有關(guān)，所以除非兩邊都等于同一常數(shù)，否則該等式不能相等。假設(shè)壓力下降是線性的，于同一常數(shù)，否則該等式不能相等。假設(shè)壓力下降是線性的， 2112, ()pppppppzL

37、L (a)式成為常微分方程：式成為常微分方程：() ()1prpd rrdrddur drdrLdudrL (b)(b)式的邊界條件為：式的邊界條件為：0: 0; : 0zzdurrRudr積分一次：積分一次： 211 22cdup rdup rrcdrdrrLL 代入代入r0處的邊界條件，可以解得處的邊界條件，可以解得c1=0。再積分一次：再積分一次： (c)(c) 224purcL 代入代入rR處的邊界條件，可以解得處的邊界條件，可以解得: 224pcRL代入代入(c)式最終求得速度場(chǎng)分布：式最終求得速度場(chǎng)分布：22()4puRrL這是一個(gè)拋物線方程，表明速度這是一個(gè)拋物線方程，表明速度u

38、 uz z在圓管截面上按拋物線規(guī)律分布。除此在圓管截面上按拋物線規(guī)律分布。除此之外，我們還能得到什么信息呢？之外，我們還能得到什么信息呢？ 1、最大速度、最大速度umax 最大速度發(fā)生在最大速度發(fā)生在r=0處：處：22max416ppDuRLL2、體積流量、體積流量Q22222000442()2()488128RRRppQurdrRrrdrd RrppRDLLLL 3、平均流速、平均流速u(mài)m422228832mQpRppuRDRRLLL可知：可知：max12muu4、流動(dòng)粘性造成的壓力損失流動(dòng)粘性造成的壓力損失 p p 22832mmpuuLLRD 定義壓力損失系數(shù)為：定義壓力損失系數(shù)為：21

39、2mpLuD有：有：212mLpuD 將壓力損失將壓力損失(d)(d)代入損失系數(shù)公式：代入損失系數(shù)公式： 222646411Re2232mmmmupLLu DuuDDLD5 5、我們求解得到的是層流流動(dòng)的結(jié)果、我們求解得到的是層流流動(dòng)的結(jié)果，或者說(shuō)，我們得到的解與層流試，或者說(shuō)，我們得到的解與層流試驗(yàn)結(jié)果是吻合得很好的。隨著驗(yàn)結(jié)果是吻合得很好的。隨著u u增加，增加，ReRe將增加，但此結(jié)果不能反映層流將增加，但此結(jié)果不能反映層流向湍流的轉(zhuǎn)淚及湍流的流動(dòng)規(guī)律。向湍流的轉(zhuǎn)淚及湍流的流動(dòng)規(guī)律。 (d)6、其他可解的類(lèi)似、其他可解的類(lèi)似流動(dòng)流動(dòng) (1)、同軸環(huán)形空間內(nèi)的軸向流動(dòng)、同軸環(huán)形空間內(nèi)的軸

40、向流動(dòng)(2)、兩無(wú)限大平行平板間的流動(dòng)、兩無(wú)限大平行平板間的流動(dòng)笛卡爾坐標(biāo)系，二維泊肅葉流動(dòng)；上平板有運(yùn)動(dòng)速度。笛卡爾坐標(biāo)系，二維泊肅葉流動(dòng)；上平板有運(yùn)動(dòng)速度。二、同軸環(huán)形空間的層流流動(dòng)二、同軸環(huán)形空間的層流流動(dòng) 在足夠長(zhǎng)的同軸圓柱組成的環(huán)形空間內(nèi)，在足夠長(zhǎng)的同軸圓柱組成的環(huán)形空間內(nèi)，充滿粘性不可壓縮流體，內(nèi)圓柱以等角速度充滿粘性不可壓縮流體，內(nèi)圓柱以等角速度 繞軸旋轉(zhuǎn)，外圓柱不動(dòng)，如圖所示。求環(huán)內(nèi)繞軸旋轉(zhuǎn)，外圓柱不動(dòng)，如圖所示。求環(huán)內(nèi)速度場(chǎng)及內(nèi)圓柱所受阻力矩。速度場(chǎng)及內(nèi)圓柱所受阻力矩。1、因圓柱足夠長(zhǎng)，可視為平面流，、因圓柱足夠長(zhǎng)，可視為平面流，Vz=02、由于邊界條件關(guān)于、由于邊界條件關(guān)于

41、z軸對(duì)稱，軸對(duì)稱，3、忽略質(zhì)量力?？稍O(shè)、忽略質(zhì)量力?？稍O(shè)Vr=00由以上條件可知，流動(dòng)是定常的，且連續(xù)方程自動(dòng)滿足。動(dòng)量方程經(jīng)簡(jiǎn)由以上條件可知，流動(dòng)是定常的，且連續(xù)方程自動(dòng)滿足。動(dòng)量方程經(jīng)簡(jiǎn)化后，化后，r方向的方程為：方向的方程為：2Vdpdrr(a) 方向的方程：方向的方程：22210d VdVVdrr drr(b)z方向的方程（該方程說(shuō)明壓力沿方向的方程（該方程說(shuō)明壓力沿z方向不變）：方向不變）：01 pz邊界條件為：邊界條件為： 1, 0VrV12r=rr=r（）（）我們首先求解常微分方程我們首先求解常微分方程(b)式，求得式，求得V (r)后，再代入后，再代入(a)式求式求p(r)。為

42、求。為求解解(b)式，先令式，先令 ，則有：，則有：lnr22222211111dVdVdVddrddrr dd VdVdVdVd Vdddrddrrr drdrdrd 代入代入(b)式有：式有：220d VVd這是一個(gè)經(jīng)典的二階線形微分方程，其通解為：這是一個(gè)經(jīng)典的二階線形微分方程，其通解為：12Vc ec e將將代入有：代入有：121Vc rcr代入邊界條件的兩個(gè)方程，可以解出兩個(gè)積分常數(shù)：代入邊界條件的兩個(gè)方程，可以解出兩個(gè)積分常數(shù)：22211222222121rr rVrrrrrr 2221121222222121, rr rccrrrr 速度最終解：速度最終解：當(dāng)當(dāng)r2時(shí)，時(shí)，c c

43、1 10， ，此時(shí)：，此時(shí)：2222222121221222122limlim2rrr rr rcrrrr21rVr根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿旋轉(zhuǎn)柱體外圓的速度環(huán)量為：根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿旋轉(zhuǎn)柱體外圓的速度環(huán)量為：21122LV dlVrr 所以：所以：2Vr此結(jié)果與理想流體位勢(shì)流動(dòng)的結(jié)果是一致的，即與自由渦在此結(jié)果與理想流體位勢(shì)流動(dòng)的結(jié)果是一致的，即與自由渦在rr1以外的流以外的流場(chǎng)一致。粘性流的解與理想流重合，場(chǎng)一致。粘性流的解與理想流重合，NS方程的解與歐拉方程的解一致方程的解與歐拉方程的解一致的，這種情況在流體力學(xué)中是極少見(jiàn)的。的，這種情況在流體力學(xué)中是極少見(jiàn)的。 由此結(jié)果，我們也可以認(rèn)

44、為，自有渦反映了一個(gè)環(huán)量為定值，半徑趨由此結(jié)果，我們也可以認(rèn)為，自有渦反映了一個(gè)環(huán)量為定值，半徑趨向于零的固體渦在空間誘導(dǎo)出來(lái)的流場(chǎng)。所謂誘導(dǎo)，實(shí)際上就是粘性作用向于零的固體渦在空間誘導(dǎo)出來(lái)的流場(chǎng)。所謂誘導(dǎo)，實(shí)際上就是粘性作用的結(jié)果。的結(jié)果。 將此解代入將此解代入(a)式，可求得徑向壓力分布。以式，可求得徑向壓力分布。以r2的情況為例，將上的情況為例，將上面的速度代入面的速度代入(a)(a)式：式： 22314dpdrr邊界條件：邊界條件：r，p p= =p p。積分上式有：。積分上式有：22218pcr 代入邊界條件可解得：代入邊界條件可解得： c=p。最終有：。最終有：22218ppr注意：由于