一個(gè)幾何公理的應(yīng)用-陳群

1、 兩點(diǎn)最短距離公理的應(yīng)用及推廣作者：陳 群 指導(dǎo)老師：楊燦榮安慶師范學(xué)院2006級(jí)數(shù)學(xué)函授班 學(xué)號(hào)：002200220摘要：在所有連接兩點(diǎn)的線中，直線最短。這是中學(xué)平面幾何公理體系中的公理之一。本文就該公理給出了簡單、直接的應(yīng)用。著重討論了平面幾何、立體幾何中的最短路線問題，并把所謂的“架橋”選址問題做了一些推廣。關(guān)鍵詞：兩點(diǎn)距離；直線最短；應(yīng)用公理：在所有連接兩點(diǎn)的線中，直線最短。該公理直觀上是很明顯的，在中學(xué)平面幾何教材里把它作為公理，但在一般的幾何書上，它不是公理，而是定理。其證明在通常的幾何書上可以找到。雖然該公理看上去非常簡單，但是應(yīng)用卻很廣泛，又非常重要，許多命題的證明都少不了它。

2、下面著重討論這個(gè)公理在平面幾何、立體幾何中，求最短路線的問題的應(yīng)用，并把架橋選址問題做了一些簡單推廣。1 平面幾何例1 如圖1，直線段道路MN的兩側(cè)有兩個(gè)生活小區(qū)A、B，怎樣在MN上選建一個(gè)郵政所P，使得A、B到郵政所P的距離之和最小?解 這個(gè)問題是很簡單的，只要連結(jié)AB，設(shè)AB交MN于P，則點(diǎn)P即為所求。事實(shí)上，在MN上任取一點(diǎn)P，由公理知：PA+PBAB=AP+PB.當(dāng)且僅當(dāng)P與P重合時(shí)，PA + PB =AB =AP+PB例2 在例1中，如果A、B在MN的同側(cè)時(shí)(如圖2)，試在MN上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小。解 作B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B，把此題化為例1，即AB與MN的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)。

3、事實(shí)上在MN上任取一點(diǎn)P，則PA+PB=PA+PB AB=AP+PB=PA+PB例3 在同底等高的三角形中以等腰三角形的周長為最小。證明 設(shè)ABC為等腰三角形(圖3)，AB=AC，ABC與ABC同底等高，即A、A到BC的距離相等。顯然AABC，延長BA到C，使AC=AC，連AC，易證CAACAA，即有AC=AC，于是BA+AC=BA+ACBC=BA+AC=BA+AC，證畢。例4 如圖4，試在直線MN上求一點(diǎn)c，使ZXABC的周長最小。本題實(shí)質(zhì)上是例2，而例3是例4的特殊情形，即MNAB時(shí)，把例1的條件稍加改變，得到下面例5例5 如圖5，設(shè)公路兩邊為兩條平行直線l1與l2 ，怎樣畫出一條斑馬線P

4、Q，使得小區(qū)A內(nèi)的學(xué)生到學(xué)校B的距離最短?解 作B于公路的對(duì)稱點(diǎn)B，A關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)A，連AB交l2于P，過P作斑馬線 PQl2：，則PQ即為所求 事實(shí)上，在l2上任取一點(diǎn)P，作PQ l2，交l1于Q，于是：AP+BQ=AP+BPAB=A P+PB =AP+BQ證畢。推廣例5得下面例子： 例6 如圖6，設(shè)河岸為兩條平行線的兩條河、，怎樣垂直于河岸分別造兩座橋 PQ、RS，使AP +PQ+QR+RS+SB為最??？解 1)作 A關(guān)于河的對(duì)稱點(diǎn)A1，延長AA1至A2，使A1A2=2d(如圖，d為兩河岸n、l的距離)，再延長AA2至A3，使A2A3=d(如圖，河的寬度) 2)作B關(guān)于河岸k的對(duì)稱點(diǎn)B

5、1，連A3B1交河岸k于S，造橋SR3)作R關(guān)于河岸n的對(duì)稱點(diǎn)R1，連R1A1交n于Q，造橋QP。 綜上所述，則兩橋SR、QP即為所求。事實(shí)上，在河、上任造兩座橋SR，QP，則有B1S +SA3B1A3 (1) 作R關(guān)于河岸n的對(duì)稱點(diǎn)R1，連R1A1，R1Q，A1Q則有 R1Q +QA1R1A1 (2) 由作圖所知四邊形A1A3S R1為平行四邊形，即有 A1 R1 =A3S， 同理 又BS=B1S，RQ=R1Q，AP=A1Q根據(jù)(1)、(2)式，得BS+SR+RQ+QP+PA=B1S+SR +QP+R1Q+QA1 B1S+R1A1+SR+QP=B1S+SA3+SR+QPB1A3+SR+QP=

6、BS+SA3+SR+QP=BS+SR+R1A1+QP=BS+SR+RQ+QP+PA證畢。例7 如圖7，設(shè)河岸為互相平行的三條河流、 、，怎樣垂直于河岸分別造三座橋TV、PQ、RS，使AT+TV+VP+PQ+QR+RS+SB最小?解 1)作A關(guān)于河流的對(duì)稱點(diǎn)A1，延長AA1至A2，使A1 A2=2d1+l，再延長AA2至A3，使A2A3=2d2+ l 作B關(guān)于河流的同側(cè)河岸線的對(duì)稱點(diǎn)B1，連A3B1交此河岸線S，造橋SR, 2)作R關(guān)于河流的同側(cè)河岸線的對(duì)稱點(diǎn)R1，連A2R1交此河岸線于Q，造橋QP 3)作P關(guān)于河流的同側(cè)河岸線的對(duì)稱點(diǎn)P1，連A1P1交此河岸線于V，造橋VT則三座橋TV、PQ、

7、RS即為所求。 證明方法與例6完全相同。 我們可以推廣到N條河流的“架橋”問題。例8 如圖8，設(shè)河岸為兩條平行線m、n，它們的外側(cè)各有兩個(gè)村莊A、B，怎樣造一座橋PQ，平行于定直線XY，(XY分別交m、n于X、Y)使得A村經(jīng)過橋PQ到B村的路線最短? 解：作 ACXY(AC與XY同向)，且AC=XY，則C為定點(diǎn)。連BC交n于Q，造橋QP，則QP即為所求。事實(shí)上，任造一座橋PQ(PQXY)，則四邊形ACQP與ACQP都為平行四邊形，于是有AP=CQ，AP=CQ，而 PQ=PQ為定長，C為定點(diǎn)，根據(jù)公理，得BQ+QCBC 即 BQ+APBC=BQ+QC=BQ+AP 故 AP+PQ+QBAP+PQ+

8、QB證畢 從例8可以看出，例5也可以為例8的特殊情形求解。例9 如圖9，設(shè)兩岸平行的兩條河流、(、可不平行)，兩河的外側(cè)各有村莊A、B，在河、分別架橋PQ、RS，且PQ定直線XY，RS定直線ZW，求A經(jīng)過兩橋到B的最短路線。 解 分別作AA1 XY，BB1ZW ，顯然A1、B1都是定點(diǎn)，連A1B1分別交兩河、的內(nèi)河岸線于R、Q，則兩橋PQ、RS即為所求 事實(shí)上，設(shè)兩河、分別架橋?yàn)镻Q(PQ XY)，RS (RS ZW)，易知AP=A1Q，BS=B1R 由公理，得BlR +RQ+QAlBlAl=BlR+RQ +QAl 于是有 BS+SR+RQ+QP+PABS+SR+RQ+QP+PA例10 ABC

9、為正三角形，DEF為它的內(nèi)接三角形，(如圖10)，證明DEF的周長1/2ABC的周長。 解 設(shè)法把ABC的周長化為一條線段，將ABC連續(xù)翻轉(zhuǎn)5次，(圖 11)，各次對(duì)稱軸分別為AC、CB1、B1A1、A1C1、C 1B2，最后得到一個(gè)平行四邊形ABB2A2，此時(shí)，ABC的周長=AA2，2DEF的周長為折線 FED1F2E2D3F，其折線長 A A2 特別地，當(dāng)D、E、F分別為ABC的三條高線的垂足時(shí)，內(nèi)接DEF的周長最小，將該題推廣得下面的法尼阿諾問題。銳角三角形的所有內(nèi)接三角形中，垂足三角形的周長最小。 該問題的證明，詳見12 立體幾何21多面體例 11 如圖l2，長方體 ABCD-A1B1C1D1中，P在矩形ABCD內(nèi)，Q在矩形A1B1C1D1內(nèi)，試在BCC1B1內(nèi)求一點(diǎn)R，使 RP+RQ為最小。 解