立體幾何中的向量方法一

1、3.2立體幾何中的向量方法（一）【學習目標】1.掌握空間點、線、面的向量表示2理解直線的方向向量與平面的法向量的意義:會用待定系數(shù)法求平面的法向量3能用向量法證明直線與直線、直線與平而、平而與平面的平行問題.問題導學知識點一直線的方向向量與平面的法向量思考怎樣用向量來表示點、直線、平面在空間中的位置？答案（1）點：在空間中，我們?nèi)∫欢c。作為基點，那么空間中任意一點P的位置就可以用向量刃來表示.我們把向量加稱為點尸的位置向量.（2）直線：直線的方向向量：和這條直線平行或共線的非零向量.對于直線/上的任一點P，存在實數(shù)，使得崩=成，此方程稱為直線的向量參數(shù)方程.（3）平面：空間中平而a的位置可以

2、由a內(nèi)兩個不共線向量確定.對于平面a上的任一點P，a，力是平面a內(nèi)兩個不共線向量，則存在有序實數(shù)對（x，刃，使得加=取+）辦.空間中平面a的位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示.梳理（1）直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量能平移到直線上的非零向量,叫做直線的一個方向向量平面的法向量7直線/_La,取直線/的方向向量，叫做平面a的法向量空間中平行關系的向量表示設直線/，的方向向量分別為a，b,平而a,£的法向量分別為，。，則線線平行l(wèi)/m>a/b<a=kb(#£R)線而平行而面平行依（k£R）線線垂直l±m<al.b>

3、ab=O線面垂直ILao。R)面面垂直知識點二利用空間向量處理平行問題思考（1）設01=（",b,Cj）,02=（“2。2）分別是直線八，的方向向量.若直線八則向量。1，。2應滿足什么關系.(2)若已知平面外一直線的方向向量和平而的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？(3)用向量法處理空間中兩平而平行的關鍵是什么？答案(1)由直線方向向量的定義知若直線則直線/，/2的方向向量共線，即八，2。v/=機(2£R).(2)可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進而確定線面是否平行.(3)關鍵是找到兩個平面的法向量，利用法向量平行來說明兩平而平行.梳理利用空間

4、向量解決平行問題時，第一，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平而，把立體幾何問題轉化為向量問題：第二，通過向量的運算，研究平行問題：第三，把向量問題再轉化成相應的立體幾何問題，從而得出結論.題型探究類型一利用方向向量和法向量判定線面的位置關系例1(1)設。，力分別是不重合的直線八，2的方向向量，根據(jù)下列條件判斷八，L的位置關系：$«=(4,6,-2),/>=(2,3,1)；fl=(5.0,2),力=(0,0)；(2)設小。分別是不同的平面a,8的法向量，根據(jù)下列條件判斷a，£的位置關系：Q)“=(-l,l，2),0=(3,2，-3：“=

5、(300),。=(-2,00)：(3)設是平而a的法向量，。是直線/的方向向量，根據(jù)下列條件判斷平而a與/的位置關系：=(2,2,1),g=(6,8,4)；=(2,-3,0),g=(8,-12.0).解。=(4,6,-2),6=(-2,-3,1),:(!=一»,.a/b,:hM:a=(5,0,2),力=(0,1.0),:ab=0,，a_L力，(2)®V/=(-lJ,-2),p=(3,2,一；)，3+2+1=0,J_£.V/=(3A0),。=(一2,0.0),3.*./=2,a氏=(22-1),。=(-684),，。=-12+16-4=0,/Ua或l/a.，尸一3,

6、0),。=(8,-12,0).A/±a.反思與感悟利用直線的方向向量與平面的法向量判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系是直線的方向向量與平面的法向量的基本應用，解決此類問題時需注意以下幾點：(1)能熟練的判斷兩向量的共線,與垂直：(2)搞清直線的方向向量，平面的法向量和直線、平面位直關系之間的內(nèi)在聯(lián)系；(3)將向量問題轉化為幾何問題時的等價性.跟蹤訓練1根據(jù)下列條件，判斷相應的線、而位置關系：直線4與/2的方向向量分別是。=(2,3,-1),力=(-6,-9,3):(2)直線71與h的方向向量分別是。=(一2,1,4),6=(633)；(3)平面。與£的法向量分

7、別是=(2,3,4),0=(4,2,1)；(4)直線/的方向向量，平面a的法向量分別是g=(0,-8.12),=(0,2,3).解(1)。=(2,3,-1),力=(-6,9,3).,.“=一；力，.'.a/bt/i/12.(2)Va=(-2,l,4),6=(633),：.abQ且a不協(xié)伏£R),：,a,b既不共線也不垂直，即/)與，2相交或異面，但不垂直.(3).=(2,-3,4).3=(4,-2,1),且/W依(kR),與。既不共線也不垂直，即a和3相交但不垂直.(4)：。=(0,812),=(0,2,-3),：.pa,即Z±a.類型二求平面的法向量例2如圖，A8

8、CQ是直角梯形，/A8C=90。，SA,平面ABC。，SA=AB5上、=BC=1,AD=；,求平而SCO與平而S3A的法向量.V解A。、A3、AS是三條兩兩垂直的線段，以A為原點，以國)、施、行的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立坐標系，則40,0,0),從今0,0),C(1J,O),S(0.0.1),病=6，0,0)是平面SAB的法向量，設平面SCO的法向量=(1,X,H),則.次7=（1,2,）.（；，1,0）=異2=0,wDS=（1,九）.（一：，0,1）=一昇=0,綜上,平面SCO的方向量為=（1,-2,，），平面S84的法向量為歷=(表0.0).反思與感悟設直線I的方向向量為=3

9、1,/?!,C1),平面a的法向量。=(。2,/72,C2),則/±«=腦2,b=kb,C|=kc29其中R£R,平面的法向量的求解方法：設出平面的一個法向量為=(x,y,z),找出(或求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標：a=3i,bi,ci),b=(g,bifC2),依據(jù)法向量的定義建立關于x,y,z的方程組|/1«=0,|,。=0,解方程組，取其中的一個解，即得法向量，由于一個平面的法向量有無數(shù)多個，故可在方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量.跟蹤訓練2在正方體A8C。-ABCQ中，求證說I是平面ACQ的一個法向量.證明設正方體的棱長為1,分

10、別以反，DC,6為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系,則加1=(11/)，危=(一11.0),AD1=(-LOJ)于是有加1n=0,所以力瓦，公，即O8|_LAC,同理OB_LAd,又ACAAOi=A,所以平面ACQ,從而加是平面AC»的一個法向量.類型三利用空間向量證明平行關系例3已知正方體/WCO.A出©5的棱長為2,E、尸分別是5&、。5的中點，求證:(l)FCi平面AOE；(2)平面AOE平而的GE證明(1)建立如圖所示空間直角坐標系Ox”，則有O(O.O.O),A(2,0,0),C(0,2,0),G(0,2,2),七(2,2)，尸(0。1),&

11、;(2,2,2),所以正1=(021),扇=(2,00),AE=(0.2A).設1=(x1,)”，zi)是平面ADE的法向量，貝_LA£|i.DA=2xi=0.即jl/i-AE=2yi+zi=0,令Zi=2,則y1=L所以i=(0,1,2).因為正1=-2+2=0,所以尸匕，,又因為EG。平面AOE,所以FG平面AO£(2)因為露瓦=(2,00),設2=(小，”，Z2)是平面&G尸的一個法向量.由2,尸3,n2±QB)FCi=2y)+z2=0,xi09得彳一得1_ckcI=2.2=0,2”令Z2=2,得3,2=1，所以“2=(0,1,2),因為1=2,所以

12、平面AOE平面SGE反思與感悟利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標系，束出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關系證明平行問題.C跟蹤訓練3如圖，四棱錐P-A8C。中，力L平而ABC。，P8與底而成的角為45。，底面A8CO為直角梯形，NA8C=NBAD=90。，B4=BC=1AO=1,問在棱P。上是否存在一點E,使CE平而%B?若存在，求出E點的位置：若不存在，說明理由.解分別以A&A。，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,，P(0。/)，C(1/O),0(020),設封0,y,z),則厚=(0,y,z-1),麗=(0,2,-1),9PE/PD,D-2(z-

13、1)=0,屈)=(020)是平面出8的法向量，又走=(-1,y-l9z),CE平面RB,：.CE±AD.A(-l,y-hz)(0,2Q)=0.Ay=l,代入得z=1,是尸。的中點，存在E點，當點E為P。中點時，CE平面當堂訓練1 .若A(L0.1),8(1,4,7)在直線/上，則直線/的一個方向向量為()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,13)D.(3,2,1)答案A解析因為茄=(2.4,6),所以與嘉共線的非零向量都可以作為直線/的方向向量.2 .已知直線八的方向向量。=(2,-3,5),直線辦的方向向量。=(一4,即y),若兩直線法自則x,y的值分別是()A.6和一1

14、0B.一6和10C.一6和一10D.6和10答案A235解析由兩直線八/2,得兩向量。，力平行，即匕=丁=:，所以x，y的值分別是6和一10.3 .若=(2,3,1)是平面a的一個法向量，則下列向量中能作為平而a的法向量的是()A.(0,-3,1)B.(20,1)C.(2，3,1)D.(2,3，1)答案D解析能作為平面a的法向量的向量與=(2,3,1)共線，(-2.3,-1)=-/.4 .若直線/a,且/的方向向量為(2,")，平面a的法向量為(1，52),則小為()A.-4B.-6C.-8D.8答案C解析I"a,平面a的法向量為(1,今2),工(2,皿1)(1,1,2)=

15、0.e.2+，+2=0.，m8.5.在正方體ABCD-ASGQ中，平面AC5的一個法向量為.答案(1,1,1)(答案不唯一)解析不妨設正方體的棱長為1,建立空間直角坐標系，則各點坐標為：A(l.O.O),C(0/O),5(001),設平面ACD1的一個法向量4=a，y,z),則。元=0.。歷1=0.因為公=(一l/Q),Ab|=(-LOJ)»所以xy=0,/_z=0.所以尸).x+l.y+O.：O,1(l)x+Oy+1z=0.x=y9所以,不妨取x=l,(注：答案不唯一，只要與所給答案共線都對)J=Z,(規(guī)律與方法1(1)空間中一條直線的方向向量有無數(shù)個.方向向量在判斷線線、線而位置

16、關系時起到重要的作用.線段中點的向量表達式：對于耕=凝，當時，我們就得到線段中點的向量表達式.設點M是線段A8的中點，則向=：(蘇+勵)，這就是線段中點的向量表達式.利用待定系數(shù)法求平面的法向量，求出向量的橫、縱、豎坐標是具有某種關系的，而不是具體的值，可設定某個坐標為常數(shù)，再表示其他坐標.(5)證明線而平行的方法設是平面a的一個法向量，0是直線/的方向向量，則。_L且/上至少有一點A初，則l/a.根據(jù)線面平行的判定定理：“如果平面外直線與平而內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行”，要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量.根據(jù)共而向量定理可

17、知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共而向量，那么這個向量與這兩個不共線向量確定的平面必定平行，因此要證明平面外一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.(6)證明面而平行的方法面而平行的證明可轉化為線面平行的證明，即如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一平面，那么這兩個平面平行.利用平面的法向量，證明面而平行，即如果4J"平而外力，平面£,且。從那么a£.強化訓練拓展提升40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1.若直線/1，6的方向向量分別為。=(2,4,-4),b=(-6,9.6),則()B.hA.liD.以上均不正確A

18、.h/hC.人與，2相交但不垂直答案B解析=-12+36-24=0.：.a±b,：.h±h.2.已知。=a+l,0,2),力=(6.2-1么),若。"，則2與4的值可以分別是()A.2,1B.一IC.-3,2D.2,2答案A7+12解析由題意知：7一=如'2-1=0,3.已知平而a內(nèi)兩向量。=(1),力=(0,2,1)且c=mz+力+(4,4,1).若c為平面a的法向量，則小，的值分別為()A.1,2B.1,2C.1,2D.112答案A解析c=ma+汕+(4,4,1)=(m,?，川)+(0,2/?,一)+(4,4,1)="+4,?+2-4,c4=

19、0,f/n=1,加一+1),由c為平面a的法向量，得八得，-1c力=0,lzi=2.4.直線/的方向向量為§=(一1,1)，平而a的法向量為=(2,f+x,一x)，若直線/平而兀，則X的值為()A.-2B.2C巾D.±>/2答案D解析；/平面a,，s_L,即s=0./.(1,1J)-(2,f+x,x)=0,即一2+xx=0,5.設直線/的方向向量為。，平面a的法向量為從若ab=O,則（）A./aB.lC.aC.ILaD./Ua或/a答案D解析當。力=0時，/Ua或/a.6 .如圖所示，在正方體A8CQ-A山1G£h中，棱長為m",N分別為A歸和AC

20、上的點，AM=AN=,則MN與平面BBQC的位置關系是（）A.相交B.平行C.垂直D.不能確定答案B解析以G為坐標原點，分別以GS,CiDlGC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.因為AiM=AN=*a,所以mQ,I”，生Ml4，|«»所以面紂=（_*0,豺.又GQO0）,d（0,叱0）,所以3bi=（o,“,o）.所以加3bi=o,所以確_1_而九因為3bl是平面5&GC的法向量，且平面58CC，所以平面BBiGC.二、填空題7 .已知A（4,l,3）,3（231）,7（3,7,-5）,點P（x,-1,3）在平面ABC內(nèi)，則x的值為答案11解析.點戶在

21、平面ABC內(nèi)，存在實數(shù)六，M使舒=自花+女庶，即(%4,2,0)=&i(2,2,-2)+%2(1,6,8),2kl+6"=-2,Ki+4k2=。.ki=-4,k2=l."一4=一2品一心=81=7,即A'=11.8 .已知/a,且/的方向向量為(2,-8,1),平面a的法向量為(1,y,2),則y=.答案!解析a,/的方向向量(2,8,1)與平面a的法向量(1,)：2)垂直，.2X18X)，+2=0,9y=y9 .設平面a的法向量為(1,2,-2),平而£的法向量為(-2,-4,&),若a£,則&=.答案4Io2解析由a/

22、S'芋7=7="T"，解得k=4.24人三、解答題10 .已知A(0,2,y),B(l,-1.I),一2,1,是平面a內(nèi)的三點，設平面a的法向量G=a，y,z),求X：y：z的值.解法=(1,-3,一(),AC=(2,1,一；),a.Q=0,M_得a-AC=0.解得.2工=不，z=-%,貝IXy：z=|y:y:(一1y1)=2：3：(4).11 .已知空間四邊形ABC。，P,。分別是ABC和BCD的重心，求證：P。平面ACD證明連接AP并延長交5c于點E,連接ED,易知。在線段上。上，TP,。分別是zMBC和3CZ)的重心，：.PQ=EQ-EP=|ed-|ea=|(

23、ED-EA)：.PQ/AD.即PQA。，又AOU平面ACO,PQQ平面ACD,，P。平面ACD12 .在正方體ABC。一A山Ci。中，求證：平而A8O平面證明以。為原點，分別以向量a、DC,防的方向為x軸、y軸、z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.設棱長為1,則A。,。)，8(1,1,0),Di(OAl),Bi(l,LI),C(O/0),D(0A0),，疝=(-1,0,-1),府=(0，-1),面=(1,1.0),Et=(0.1,-1),設平面A山。的一個法向量為=3，巾,zi),iiAD=0.叫_Jh府=0,_XLZi=0,yizi=0,令Zl=l,得X|=11,V1=1.平面A山。

24、的一個法向量為川=(-1,1,1).設平面。由1的一個法向量為2=(X2，”，Z2),=0,n2DC=0=卜2+)?2=0,gZ2=0,令丁2=1,得小=-1，Z2=l，即，平面Ai5O平面CDB.13 .已知：四棱錐P-ABCO中，M，平面人8。，底面A8CO是菱形，且B4=AB=2,ZABC=60。，BC,PO的中點分別為E,F.在線段A3上是否存在一點G,使得AF平面PCG?若存在，指出G在A8上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.解由題意知以，平面A5CQ,又因為底面ABCO是菱形，得AB=3C且NABC=60。，所以AWBC是正三角形，連接AE,又因為E是8c的中點，由正三角形的

25、性質有8C_LAE,知以A£AD.AP分別為x軸，y軸，z軸AE9AD,AP彼此兩兩垂直，以點A為坐標原點,建立空間直角坐標系.因為%=A8=2,故A(O.O0),B(®一1,0),。(小，1,0),P(0.0,2),F(0JJ).假設在線段AB上存在點G,使得AF平面尸CG,則A6=/湎o<awi),因為油=(小，-1,0),所以45=派=(5九-X,0).因為麗=(0,0,-2),PG=0,“正=0,所以歷=萩+屆=(小2,一九一2),正=(小，1,-2).設平面PCG的法向量為=(x,y,z),因為病=(0.11),且萬'=0,解得2=;.故當G為線段A

26、3的中點時，有AF平面PCG3.2立體幾何中的向量方法（一）（學生版）【學習目標】L掌握空間點、線、而的向量表示2理解直線的方向向量與平面的法向量的意義:會用待定系數(shù)法求平面的法向量3能用向量法證明直線與直線、直線與平而、平而與平面的平行問題.問題導學知識點一直線的方向向量與平面的法向量思考怎樣用向量來表示點、直線、平面在空間中的位置？答案（1）點：在空間中，我們?nèi)∫欢c。作為基點，那么空間中任意一點P的位置就可以用向量刃來表示.我們把向量加稱為點尸的位置向量.（2）直線：直線的方向向量：和這條直線平行或共線的非零向量.對于直線/上的任一點P，存在實數(shù)，使得崩=成，此方程稱為直線的向量參數(shù)方程

27、.（3）平面：空間中平而a的位置可以由a內(nèi)兩個不共線向量確定.對于平面a上的任一點P，a，力是平面a內(nèi)兩個不共線向量，則存在有序實數(shù)對（x，刃，使得加=取+）辦.空間中平面a的位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示.梳理（1）直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量能平移到直線上的非零向量,叫做直線的一個方向向量平面的法向量7直線/_La,取直線/的方向向量，叫做平面a的法向量空間中平行關系的向量表示設直線/，的方向向量分別為a，b,平而a,£的法向量分別為，。，則線線平行l(wèi)/m>a/b<a=kb(k£R)線而平行而面平行依（k£R）線線垂直l&

28、#177;m<al.b>ab=O線面垂直ILao。R)而而垂直a±<=>/±r<=>/p=0知識點二利用空間向量處理平行問題思考設S=（，“，歷,a）,s=（2,b?,cz）分別是直線八，/2的方向向量.若直線八/2,則向量。1，02應滿足什么關系.(2)若已知平面外一直線的方向向量和平而的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？(3)用向量法處理空間中兩平而平行的關鍵是什么？答案(1)由直線方向向量的定義知若直線則直線/，/2的方向向量共線，即八，2。v/=機(2£R).(2)可探究直線的方向向量與平面的法向量是否

29、垂直，進而確定線面是否平行.(3)關鍵是找到兩個平面的法向量，利用法向量平行來說明兩平而平行.梳理利用空間向量解決平行問題時，第一，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平而，把立體幾何問題轉化為向量問題：第二，通過向量的運算，研究平行問題：第三，把向量問題再轉化成相應的立體幾何問題，從而得出結論.題型探究類型一利用方向向量和法向量判定線面的位置關系例1(1)設。，力分別是不重合的直線八，2的方向向量，根據(jù)下列條件判斷八，L的位置關系：$«=(4,6,-2),/>=(2,3,1)；fl=(5.0,2),力=(0,0)；(2)設小。分別是不同的平面a,

30、8的法向量，根據(jù)下列條件判斷a，£的位置關系：Q)“=(-l,l，2),0=(3,2，一：)：“=(300),。=(-2,00)：(3)設是平而a的法向量，。是直線/的方向向量，根據(jù)下列條件判斷平而a與/的位置關系：=(2,2,1),g=(6,8,4)；=(2,-3,0),g=(8,-12.0).反思與感悟利用直線的方向向量與平面的法向量判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系是直線的方向向量與平面的法向量的基本應用，解決此類問題時需注意以下幾點：(1)能熟練的判斷兩向量的共線與垂直：(2)犒清直線的方向向量，平面的法向量和直線、平面位正關系之間的內(nèi)在聯(lián)系；(3)將向量問題轉

31、化為幾何問邈時的等價性.跟蹤訓練1根據(jù)下列條件，判斷相應的線、而位置關系：(1)直線八與，2的方向向量分別是0=(2,3,-1),力=(-6,-9,3):(2)直線1與h的方向向量分別是0=(-2,1,與，b=(6,3,3)；(3)平面。與£的法向量分別是=(2,-3,4),0=(4,-2,1)：(4)直線/的方向向量，平面a的法向量分別是。=(0,-8.12),=(0,2,3).類型二求平面的法向量例2如圖，A8CQ是直角梯形，NABC=90。，SAL平面ABC。，SA=AB=BC=1,AO=1求平而SCO與平面S8A的法向量.反思與感悟設直線I的方向向量為=31,仇，ci),平面

32、a.的法向量u=(aifbi9C2),則l±a<:>/d<=>/=kv<>a=kaz,bi=kb?,Q=k;2,其中k£R,平面的法向量的求解方法：設出平面的一個法向量為=(x,y,z),找出(或求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標:d=(ai91八,ci),b=(a29bi,C2),依據(jù)法向量的定義建立關于x,y,z的方程組。=0,力=0,解方程組，取其中的一個解，即得法向量，由于一個平面的法向量有無數(shù)多個，故可在方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量.跟蹤訓練2在正方體A8CO-A由QO中，求證用I是平面AC0的一個法向量.類型三

33、利用空間向量證明平行關系例3已知正方體/WCD-A山iGG的棱長為2,E、尸分別是8叢、05的中點，求證:(1)FG平面AOE:(2)平面AOE平面&GF.反思與感悟利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關系證明平行問題.跟蹤訓練3如圖，四棱錐P-ABCQ中，布，平面ABC。，P8與底面成的角為45。，底而A8CQ為直角梯形，ZABC=ZBAD=90%PA=BC=AD=,問在棱P。上是否存在一點E,當堂訓練1.若A(1.0.1),8(147)在直線/上，則直線/的一個方向向量為()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2

34、,1,3)D.(3,2,1)2.已知直線人的方向向量。=(2,3,5),直線八的方向向量力=(-4,x,y),若兩直線八A,則X,y的值分別是()A.6和一10B.一6和10C.一6和一10D.6和103 .若=(2,-3,1)是平面a的一個法向量，則下列向量中能作為平而a的法向量的是()A.(0，-3,1)B.(2,0,1)C.(2,3,1)D.(2,3,-1)4 .若直線/a,且/的方向向量為(2,")，平面a的法向量為(1，2),則小為()A.-4B.-6C.-8D.85.在正方體ABCQ-ASGQ中，平面ACA的一個法向量為(規(guī)律與方法5j(1)空間中一條直線的方向向量有無數(shù)個.(2)方向向量在判斷線線、線而位置關系時起到重要的作用.(3)線段中點的向量表達式：對于/=麻，當尸;時，我們就得到線段中點的向量表達式.設點M是線段A8的中點，則而=；(晶+勵)，這就是線段48中點的向量表達式.利用待定系數(shù)法求平面的法向量，求出向量的橫、縱、豎坐標是具有某種關系的，而不是具體的值，可設定某個坐標為常數(shù)，再表示其他坐標.(5)證明線而平行的方法設是平面a的一個法向量，。是直線/的方向向量，則。_L且/上至少有一點A初，則l/a.根據(jù)線面平行的判定定理：“如果平面外直