考研線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)

1、?線性代數(shù)?復(fù)習(xí)提綱第一章、行列式1 .行列式的定義：用/個(gè)元素均組成的記號(hào)稱為n階行列式.1它表示所有可能的取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和；2展開式共有n!項(xiàng),其中符號(hào)正負(fù)各半；<2 .行列式的計(jì)算一階|a|二a行列式,二、三階行列式有對(duì)角線法那么；N階n23行列式的計(jì)算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行列的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和.方法：選取比擬簡(jiǎn)單的一行列,保保存一個(gè)非零元素,其余元素化為0,利用定理展開降階.特殊情況：上、下三角形行列式、對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積；.行列式值為0的幾種情況：I行列式某行列元素全為0;II行列式某行列的對(duì)應(yīng)

2、元素相同；III行列式某行列的元素對(duì)應(yīng)成比例；N奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式.3 .概念：全排列、排列的逆序數(shù)、奇排列、偶排列、余子式M、代數(shù)余子式4=-1產(chǎn)定理：一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換,改變排列的奇偶性.奇排列變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為基數(shù),偶排列為偶數(shù).n階行列式也可定義：D=為%的逆序數(shù)4 .行列式性質(zhì)：1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等.%2、互換行列式兩行或兩列,行列式變號(hào).假設(shè)有兩行列相等或成比例,那么為行列式0.3、行列式某行列乘數(shù)k,等于k乘此行列式.行列式某行列的公因子可提到外面.4、行列式某行列的元素都是兩數(shù)之和,那么此行列式等于兩個(gè)行列式之和.5、行列式某行列乘一個(gè)數(shù)加到另一行列上,

3、行列式不變.6、行列式等于他的任一行列的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式的乘積之和.按行、列展開法那么7、行列式某一行列與另一行列的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為0.5 .克拉默法那么：假設(shè)線性方程組的系數(shù)行列式DW0,那么方程有且僅有唯一解、=幺,x,=2,.,xn=o：假設(shè)線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解,那么系數(shù)行列式D=0.：假設(shè)無次線性方程組的系數(shù)行列式DW0,那么其沒有非零解.：假設(shè)無次線性方程組有非零解,那么其系數(shù)行列式D=0.二n=(adbe)",=n七兩式要會(huì)計(jì)算范德蒙德行列cd題型:Page21(例13)第二章、矩陣1 .矩陣的根本概念表示符號(hào)、一些特殊矩陣一一如單位矩陣、

4、對(duì)角、對(duì)稱矩陣等；2 .矩陣的運(yùn)算1加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果；2關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論：矩陣乘法一般不滿足交換律假設(shè)AB=BA,稱A、B是可交換矩陣；矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；假設(shè)A、B為同階方陣,那么|AB|=|A|*|B|；|kA|=kw*|A|o只有方陣才有幕運(yùn)算.3轉(zhuǎn)置：kAT=kAT,ABT=B1A14方陣的行列式：=卜4=同口|5伴隨矩陣：AA*=A*A=|A|E,A*=|A|EA-1,A*的行元素是A的列元素的代數(shù)余子式6共輒矩陣：A=%,A+B=A+B,kA=kA,AB=AB4+%+'A：A：7矩陣分塊法：A+B=J5,AT=；：3 .對(duì)稱陣：方陣AT

5、=A.對(duì)稱陣特點(diǎn)：元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.4 .矩陣的秩(1)定義：非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；(2)秩的求法：一般不用定義求,而用下面結(jié)論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)(每行的第一個(gè)非零元所在列,從此元開始往下全為.的矩陣稱為行階梯陣).求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩.(3)OWR(A1nxiJWminm,n；R(A,)=R(A)；假設(shè)AB,那么R(A)=R(B)；假設(shè)P、Q可逆,那么R(PAQ)=R(A);maxR(A),R(B)WR(A,B)WR(A)+R(B)；假設(shè)ABC,R(C)WminR(A),R(B)4.逆矩陣(1)定義：A>

6、;B為n階方陣,假設(shè)AB=BA=I,稱A可逆,B是A的逆矩陣(滿足半邊也成立)；ff(2)性質(zhì)：(AB)-1=,(AT=(A)；(AB的逆矩陣,你懂的)(注意順序)(3)可逆的條件：|A|工0；r(A)二n;A->l;(4)逆的求解：伴隨矩陣法A=d；初等變換法(A：l)->(施行初等變換)(l：A-D(5)方陣A可逆的充要條件有：存在有限個(gè)初等矩陣R,P,使A=尸,AE第三章、初等變換與線性方程組1、初等變換：(D(A)二(B),(A)(B),(A)i乂b)性質(zhì)：初等變換可逆.等價(jià)：假設(shè)A經(jīng)初等變換成B,那么A與B等價(jià),記作AB,等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性.初等矩陣：由單

7、位陣E經(jīng)過二次初等變換得到的矩陣.定理：對(duì)Az施行一次初等行變換,相當(dāng)于在A的左邊乘相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A.施行一次初等列變換,相當(dāng)于在A的右邊乘相應(yīng)的n階初等矩陣.等價(jià)的充要條件：R(A)二R(B)二R(A,B)&mxn的矩陣A、B等價(jià)O存在m階可逆矩陣P、n階可逆矩陣Q,使得PAQ二B.線性方程組解的判定定理：(1)r(A,b)n(A)無解；(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n有無窮多組解;特別地：對(duì)齊次線性方程組AX=0,r(A)二n只有零解；(2)r(A)<n有非零解;再特別,假設(shè)為方陣,|A|xO只有零解；(2)|A|=0有

8、非零解2.齊次線性方程組(1)解的情況：r(A)二no只有零解；r(A)<no有無窮多組非零解.(2)解的結(jié)構(gòu):X=cxax+c2a2+-c_ran_ro(3)求解的方法和步驟：將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣；寫出對(duì)應(yīng)同解方程組；移項(xiàng),利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；表示出根底解系；寫出通解.(4)性質(zhì)：假設(shè)x=4和x=蜃是向量方程A*X=0的解,那么x=4+蜃、x=嶼也是該方程的解.齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組是該齊次線性方程組的根底解系.假設(shè)R(4x)=r,那么n元齊次線性方程組A*X=0的解集S的秩Rs=n-小3.非齊次線性方程組(1)解的情況：有解=R(A)=R(A,b

9、)o唯一解oR(A)=R(A,b)二n.無限解u>R(A)=R(A,b)<no(2)解的結(jié)構(gòu)：X=U+c1«1+cm,+-cn_Tan_ro(3)無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同.(4)唯一解的解法：有克萊姆法那么、逆矩陣法、消元法(初等變換法).(5)假設(shè)x=%、X=%都是方程Ax=b的解,貝Ix=7-%是對(duì)應(yīng)齊次方程Ax=0的解x=是方程Ax=6的解,x=J是Ax=0的解,那么x=4+也是Ax=b的解.第四章、向量組的線性相關(guān)性1 .N維向量的定義(注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣一一行矩陣和列矩陣；默認(rèn)向量a為列向量).2 .向量的運(yùn)算:1加減、數(shù)乘運(yùn)算

10、與矩陣運(yùn)算相3向量同；長(zhǎng)K=yja+«；+-+6Z；2向量?jī)?nèi)積a'P=albl+a2b2+-+4向量單位化1/|a|a;anbn；3 .線性組合1定義：假設(shè)b=4%+人2+4m,那么稱b是向量組,出,4的一個(gè)線性組合,或稱b可以用向量組,2,%的線性表示.2判別方法：將向量組合成矩陣,記A=%,的,品B二外,%,%,P,那么：rA=rBob可以用向量組.,/,%線性表示.B=*%,那么:B能由A線性表示oRA=RA,BoAX=B有解=>RBWRA.3求線性表示表達(dá)式的方法：矩陣B施行行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣,那么最后一列元素就是表示的系數(shù).注：求線性表示的系數(shù)既是求解A

11、x二b4 .向量組的線性相關(guān)性1線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義設(shè)攵必+3%+尤勺=.,假設(shè)ki,k2,kn不全為0,稱線性相關(guān)；假設(shè)全為0,稱線性無關(guān).2判別方法：ral,a2,an<n,線性相關(guān)；ral,a2,.»an=n,線性無關(guān).假設(shè)有n個(gè)n維向量,可用行列式判別：n階行列式|a/|=0,線性相關(guān)#0無關(guān)A：,“2,B：4,“2,an,4"+1,彳；A相關(guān)那么B一定相關(guān),假設(shè)B相美A不一定相關(guān)；假設(shè)A無關(guān),B相關(guān),那么向量明必能由A線性表示,且表示式唯一.注：含零向量的向量組必定相關(guān).5 ,極大無關(guān)組與向量組的秩1定義：最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩2求法：設(shè)A

12、=?,即,明,將A化為階梯陣,那么A的秩即為向量組的秩,而每行的第一個(gè)非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無關(guān)組.3矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩.注：如何證實(shí)RAA=RA,P11.第五章、相似矩陣及二次型1、向量?jī)?nèi)積：卜內(nèi)積性質(zhì):x9y=y,x,Zv,y=內(nèi)y,x,x+z,y=y,x+z,x;:當(dāng)X=0時(shí),x,x=0,當(dāng)XwO時(shí),x,a>02、向量長(zhǎng)度：料|=x=Jx：+x；+x；性質(zhì):非負(fù)性|此0、齊次性網(wǎng)=岡岡、三角不等式|x+y|力|+帆3、正交：卜y=O稱x與y正交.假設(shè)x=O,那么x與任何向量都正交.正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量.定理：假設(shè)m維向量為,%

13、,明是正交向量組,那么的,外,明線性無關(guān).正交陣：A；An=E,AT=aT.性質(zhì)：假設(shè)A為正交陣那么4也是正交陣,且網(wǎng)=±1;假設(shè)A、B都正交,那么AB正交.標(biāo)準(zhǔn)正交基：設(shè)m維向量外,%是向量空間V的一個(gè)基,假設(shè)明兩兩正交,且都是單位向量,那么稱外,小,%是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.,以i,小L標(biāo)準(zhǔn)正交化：施密特正交化過程：4=%,2=%一枕可一“瓦而仇h也%露及戶正交變換：P為正交陣,y=Px稱為正交變換.有回|=用|4、矩陣的特征值和特征向量定義：對(duì)方陣A,假設(shè)存在非零向量x和數(shù)入使Ax=A,那么稱入是矩陣A的特征值,向量x稱為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值入的特征向量.特征值和特征向量的求解：

14、求出特征方程|4-花|二0的根即為特征值,將特征值人代入對(duì)應(yīng)齊次線性方程組A-花x=0中求出方程組的所有非零解即為特征向量.重耍結(jié)論與定理：1A可逆的充要條件是A的特征值不等于0；2A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A有相同的特征值；3不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān).4對(duì)A“=%.的特征值有：Z4=Z4；口4=同.iir5假設(shè)人是A的特征值,那么才是屋的特征值,妖刃是9A的特征值.64,22,4是方陣A的m個(gè)特征值,對(duì)應(yīng)特征向量是Pi,%,億,假設(shè)兒互不相等,那么0互不相關(guān).5、矩陣的相似定義：同階方陣A、B,假設(shè)有可逆陣P,P'AP=B,那么A與B相似.P為把A變?yōu)锽的相似變換矩陣.假設(shè)n階矩陣A與

15、對(duì)角陣A相似,那么對(duì)角陣元素4即是A的n個(gè)特征值.假設(shè)可人是矩陣A的特征多項(xiàng)式,那么耳A=0.A.與對(duì)角陣相似.A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.假設(shè)A0的n個(gè)特征值互不相等,那么A與對(duì)角線對(duì)視.求A與對(duì)角矩陣A相似的方法與步驟求P和A：求出所有特征值；求出所有特征向量；假設(shè)所得線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)與矩陣階數(shù)相同,那么A可對(duì)角化否那么不能對(duì)角化,將這n個(gè)線性無關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P,依次將對(duì)應(yīng)特征值構(gòu)成對(duì)角陣即為A.通過正交變換求與實(shí)對(duì)稱矩陣A相似的對(duì)角陣：方法與相同,但要將所得特征向量正交化且單位化.6、二次型二次型：n元二次多項(xiàng)式可內(nèi),匕=產(chǎn)x稱為二次型.假設(shè)%=0由,那么稱為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型.如果標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)為1、-1或0,那么為標(biāo)準(zhǔn)型.合同：A、B為n階矩陣,假設(shè)有可逆陣C,使8=.72,那么A與B合同.二次型標(biāo)準(zhǔn)化：配方法和正交變換法.正交變換法步驟與上方對(duì)角化完全相同,這是由于對(duì)正交矩陣Q,Q二Q',即正交變換既是相似變換又是合同變換.任意給定二次型/=£%七